2023-2024学年广东省东莞市高二下学期期末教学质量检查数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市高二下学期期末教学质量检查数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=sinxcsx，则f(x)的导函数为
A. f′(x)=sin2x−cs2xB. f′(x)=cs2x−sin2x
C. f′(x)=1D. f′(x)=−1
2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(X<3)P(X<1)=4，则P(2A. 35B. 23C. 310D. 13
3.两个相关变量x，y满足如下关系：
根据表格已得经验回归方程为y=10.2x+5.2.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是
A. 35.5B. 36C. 36.5D. 37
4.在区间(0,1)上，若f′(x)>1，则下列四个图中，能表示函数y=f(x)的图象的是( )
A. B. C. D.
5.某中学推出了篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足．现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有( )
A. 316种B. 360种C. 216种D. 288种
6.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则X=4的概率为( )
A. 514B. 57C. 542D. 521
7.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为
A. 34B. 57C. 1320D. 1321
8.已知实数x，y，z满足eylnx=yex且ezln1x=zex，若0A. x>y>zB. x>z>yC. y>z>xD. y>x>z
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.变量x与y的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为y=b1x+a1，相关系数为r1，决定系数为R12；经过残差分析确定第二个点B为离群点(对应残差过大)，把点B对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线l2的方程为y=b2x+a2，相关系数为r2，决定系数为R22，则以下结论正确的是
A. r1R22C. b110.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在x=1处取到极大值1，则以下结论正确的是
A. 3a+2b+c=0B. d=2a+b+1C. b<−3aD. b>−3a
11.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=712，P(B)=12，P(A+B)=23，则( )
A. P(AB)=14B. P(AB)=512C. P(A|B)=12D. P(B|A)=47
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若ax2+1x5的展开式中x4的系数是80，则实数a=_________．
13.若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有x个苹果、1个梨子、2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件A，若P(A)≥12，则整数x的最小值为_________．
14.若直线y=kx+m是曲线y=ex−2的切线，也是曲线y=ex−1的切线，则m=_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=sinxax的图象在点(π,0)处的切线方程是x+πy−π=0．
(1)求实数a的值；
(2)若x>0，求证：f(x)<1．
16.(本小题15分)
某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查．调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼．
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表；根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？
(2)从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率．
附：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
②临界值表
17.(本小题15分)
某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化．经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i=1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i=1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
其中，ui=ln xi(i=1，2，…，5)，x，y，u分别为数据xi，yi，ui(i=1，2，…，5)的平均数．
(1)请从样本相关系数的角度，判断y=bx+a与y=dlnx+c哪一个模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系？
(2)根据(1)的结果解决下列问题：
(ⅰ)建立y关于x的经验回归方程(斜率的结果四舍五入保留整数)；
(ⅱ)如果日产量x(单位：吨)与日生产总成本c(x)(单位：万元)满足关系c(x)=12x+3，根据(ⅰ)中建立的经验回归方程估计日产量x为何值时，日利润r(x)最大？
附：①相关系数r=i=1nxi−xyi−y i=1nxi−x2 i=1nyi−y2；
②经验回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx；
③参考数据： 1612≈40， 1.6×161.2≈16， 39×15.9≈25．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln x．
(1)若g(x)=f(x)−a(x−1)x+1，讨论函数g(x)的单调性；
(2)若0x+1ex．
19.(本小题17分)
设集合A={1,2,3,…,n}(n∈N ​∗)，B⊆A，且B≠⌀，记集合B中的最小元素和最大元素分别为随机变量X，Y．
(1)若X≥3的概率为731，求n；
(2)若n=20，求X=8且Y=18的概率；
(3)记随机变量Z=X+Y2，证明：E(Z)=n+12．
答案解析
1.B
【解析】解：f ′(x)=(sinx) ′csx+sinx(csx) ′=cs2⁡x−sin2⁡x。
2.C
【解析】解：因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，
所以该正态曲线关于直线x=2对称，
则P( X<3)=1−P( X>3)=1−P( X<1)．
又 P(X<3)P(X<1)=4，
所以P( X<3)= 45，P( X>3)= 15，
所以P(22)−P( X>3)= 12−15=310 ．
3.B
【解析】解：因为x=2+3+4+5+65=4，
所以y=10.2×4+5.2=46．
设模糊不清的数据为a，
则25+a+46+58+65=5y=230，
解得a=36．
故选B．
4.D
【解析】解：在区间0,1上，若f′(x)>1，
则函数y=f(x)的图像在区间0,1上的切线的斜率均大于1，
观察选项可知只有D符合，
故选D．
5.D
【解析】解：当四位同学没人选羽毛球时，需2人一组，跟其余两人共三组分到其余4类中，
共有C42·A43=144种方法；
当四位同学恰有1人选羽毛球时，需从4人中选取1人，选羽毛球，
其余3人再选2人一组，跟剩余1人共2组分到其余4类中，
共有C41·C32·A42=144种方法；
故总的方法种数位144+144=288．
故选D．
6.A
【解析】
解： 分两种情况，①第4次取出黑球，共有A43·C31·C51·=360种情况；
②第4次取出白球，共有A53·C31·C41·=720种情况；
∴P(X=4)=360+720A94=514．
故选：A．
7.D
【解析】解：由题，第20行的系数为C20r，且第20行共有21项，
因为C203=1140,C204=4845,C2016=4845,C2017=1140，
所以第20行中第4至第16项的数大于2024，共13项，
故第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为P=1321．
故选D．
8.A
【解析】解：因为ey⋅lnx=y⋅ex且eyy=exlnx，
∵01，∴eyy>0，
∴exlnx>0，
∴lnx>0，
∴x>1，
∵ez⋅ln1x=z⋅ex，
∴ezz=exln1x=−exlnx<0，
∵ez>0，
∴z<0；
综上：x>y>z．
9.AC
【解析】解：因为共8个点，离群点B的横坐标较小，而纵坐标相对过大，
去掉离群点B后回归方程的斜率更大，而截距变小，故D错误，C正确；
去掉离群点B后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，
∴r1故选AC．
10.ABC
【解析】解：根据题意可得f′(x)=3ax2+2bx+c，
f′(1)=3a+2b+c=0，A正确；
f(1)=a+b+c+d=1，d=1−a−b−c=1−a−b−(−3a−2b)=2a+b+1， B正确；
因为x=1处取到极大值，
所以当a>0时，−2b2×3a>1，解得b<−3a，
当a<0时，−2b2×3a<1，解得b<−3a，
故C正确．
11.ACD
【解析】解：由P(A)=712可知P(A)=1−712=512 ，
由P(A+B)=P(B)+P(A)−P(AB)=23可得P(AB)=14 ，
由 P(AB)+P(AB)=P(B)可得P(AB)=14，故A正确；
由 P(AB)+P(AB)=P(A) 可知， P(AB)=16 ，故B错误；
由条件概率公式可得 P(A|B)=P(AB)P(B)=1412=12 ，故C正确；
又P(AB)+P(AB)=P(A)可得P(AB)=13 ，同理P(B|A)=P(AB)P(A)=13712=47 ，故D正确．
故选：ACD．
12.2
【解析】解：(ax2+1x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r⋅a5−r⋅x10−3r，
令10−3r=4，求得r=2，
故展开式中x4的系数为C52⋅a3=80，
则实数a=2．
13.3
【解析】解：设 B1= “从甲筐中取出的是苹果”，
B2= “从甲筐中取出的是梨子”，
B3= “从甲筐中取出的是橙子”，故
P(B1)=12,P(B2)=310,P(B3)=15，
P(A|B1)=x+1x+4,P(A|B2)=xx+4,P(A|B3)=xx+4，
根据全概率公式可得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=12×x+1x+4+310×xx+4+210×xx+4⩾12 ，解得 x⩾3 ，所以 x 的最小值为 3 ．
故答案为：3
14.−2ln2
【解析】解：设函数y=kx+m与曲线y=ex−2的切点为(x1,ex1−2)，与曲线y=ex−1的切点为(x2,ex2−1)，
∵y=ex−2的导数y′=ex，∴ex1=k，且kx1+m=ex1−2，故kx1+m=k−2，①
∵y=ex−1的导数y′=ex−1，∴ex2−1=k，且kx2+m=ex2−1，故kx2+m=k，②
因为ex1=ex2−1=k，所以x1=x2−1，即x1−x2=−1．
①−②得，k(x1−x2)=−2，所以k=2．
所以ex1=2，解得x1=ln2，
所以m=k−2−kx1=2−2−2ln2=−2ln2．
故答案为：−2ln2．
15.解：(1)求导得f′(x)=xcsx−sinxax2，则f′(π)=−1aπ，
由切线方程是x+πy−π=0得切线斜率为−1π，
所以−1aπ=−1π，解得a=1；
(2)记g(x)=sinx−x(x>0)，
求导得g′(x)=csx−1≤0恒成立，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以g(x)所以sinx因为x>0，所以sinxx<1．
【解析】(1)求导得f′(x)，则切线斜率为f′(π)，结合点(π,0)即可求解；
(2)记g(x)=sinx−x(x>0)，利用导数判断其单调性，即可得证．
16.解：(1)由题意得2×2列联表如下：
零假设为H0:性别与经常体育锻炼无关，
根据列联表中的数据，经计算得到χ2=100×(45×10−5×40)250×50×85×15=10051≈1.9608<3.841=x0.05，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，即不能认为性别因素会影响经常体育锻炼．
(2)记“选出2份问卷其中一份是‘没有时间，”为事件A，
则n(A)=C41C111+C42=44+6=50，
记“选出2份问卷其中一份是‘没有运动伙伴””为事件B，
则事件AB为“选出2份问卷其中一份是‘没有时间′，一份是‘没有运动伙伴”，
则n(AB)=C41C61=4×6=24，
所以P(B|A)=n(AB)n(A)=2450=1225．
【解析】
(1)由题意得2×2列联表，求出χ2，根据小概率值α=0.05，即可判断；
(2)由古典概型和条件概率直接求解即可．
17.解：(1)模型y=bx+a的线性相关系数：
r1=i=15(xi−x)(yi−y) i=15(xi−x)2i=15(yi−y)2=39 10×161.2≈3940=15.616=0.975，
模型y=dlnx+c的线性相关系数：
r2=i=15(ui−u)(yi−y) i=15ui−u 2∑5i=1(yi−y)2=15.9 1.6×161.2≈15.916=0.994，
所以|r1|<|r2|，由相关系数的相关性质得，模型y=dlnx+c更适合刻画日销售额为y关于日产量x的关系．
(2)(i)因为d=i=15(ui−u)(yi−y)i=15(ui−u)2=15.91.6≈10，
又因为u=15i=15ui=0.96，y=15i=15yi=14.6，
所以c=y−du=14.6−10×0.96=5，
所以y关于x的经验回归方程为y=10lnx+5．
(ii)由题意得r(x)=y−c(x)=(10lnx+5)−(12x+3)，(x≥1)，
所以r(x)=10lnx−12x+2，(x≥1)，所以r′(x)=10x−12=20−x2x，
令r′(x)=0，得x=20∈[1,+∞)，
当r′(x)>0时，x∈(1,20);当r′(x)<0时，x∈(20,+∞)，
所以r(x)=10lnx−12x+2在(1,20)上单调递增，在(20,+∞)上单调递减，
所以估计日产量为20吨时，日利润r(x)最大．
【解析】
(1)分别求出两个模型的相关系数，比较其大小，结合相关系数的相关性质可得结论；
(2)(i)由最小二乘法可求得d，代入(u,y)，可求得c，进而可求y关于x的经验回归方程；
(ii)根据题意列出r(x)的表达式，利用导数确定单调性，进而可求其最大值．
18.解：(1)由题得g(x)=lnx−a+2ax+1，x>0，
求导得g′(x)=1x−2a(x+1)2=(x+1)2−2axx(x+1)2=x2+2(1−a)x+1x(x+1)2，
①当Δ=4(1−a)2−4≤0，即0≤a≤2时，g′(x)≥0恒成立，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当Δ=4(1−a)2−4>0，即a<0或a>2时，
(a)当a<0时，g′(x)=(x+1)2−2axx(x+1)2>0恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(b)当a>2时，由g′(x)=x2+2(1−a)x+1x(x+1)2=0得x1=a−1− a2−2a，x2=a−1+ a2−2a，
经判断得00时，0x2;当g′(x)<0时，x1所以g(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减;
综上所述，a≤2时，g(x)在(0,+∞)上单调递增;
a>2时，g(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减
(其中x1=a−1− a2−2a，x2=a−1+ a2−2a).
(2)由(1)得，当a=2时，g(x)=lnx−2(x−1x+1)在(0,1)上单调递增，
所以g(x)2x+1，
下证2x+1≥x+1ex，x∈(0,1)，即证ℎ(x)=2ex−(x+1)2≥0在x∈(0,1)上恒成立，
求导得ℎ′(x)=2ex−2x−2，x∈(0,1)，记φ(x)=ℎ′(x)=2ex−2x−2，x∈(0,1)，
求导得φ′(x)=2ex−2>0在x∈(0,1)恒成立，所以φ(x)在(0,1)上单调递增，
所以ℎ′(x)>ℎ′(0)=2e−2>0恒成立，所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(0)=1>0恒成立，所以2ex−(x+1)2>0，即2x+1>x+1ex，x∈(0,1)，
所以lnxx−1>x+1ex．
【解析】
(1)由题得g(x)=lnx−a+2ax+1，x>0，求导得g′(x)=x2+2(1−a)x+1x(x+1)2，然后分
①当Δ=4(1−a)2−4≤0， ②当Δ=4(1−a)2−4>0，分别讨论即可；
(2)先得到lnxx−1>2x+1，然后再证明2x+1≥x+1ex即可．
19.解：(1)非空集合B的个数为Cn1+Cn2+Cn3+⋯+Cnn=2n−1，
所以P(X≥3)=1−P(X=1)−P(X=2)=1−2n−12n−1−2n−22n−1=2n−2−12n−1，
由题得2n−2−12n−1=731，
化简得2n−2=8，解得n=5，
(2)当非空集合B中的最小元素和最大元素分别为8，18时，
集合B中的元素一定有元素8和18，一定没有元素1，2，3，4，5，6，7，19，20，
可有可无的元素有9，10，11，12，13，14，15，16，17，
则集合B可能情况有29个，
若n=20，非空集合B的个数为220−1，
所以P{X=8,Y=18}=29220−1，
(3)非空集合B的个数为2n−1，最小值X=i的集合B的个数为2n−i(i=1,2,⋯,n)，
则P(X=i)=2n−i2n−1(i=1,2,⋯,n)，
最大值Y=j的集合B的个数为2j−1(j=1,2,⋯,n)，
则P(Y=j)=2j−12n−1(j=1,2,⋯,n)，
因为E(X+Y)=i=1nj=1n(i+j)P{X=i,Y=j}
=i=1nj=1niP{X=i,Y=j}+i=1nj=1njP{X=i,Y=j}
=i=1nij=1nP{X=i,Y=j}+j=1nji=1nP{X=i,Y=j}
=i=1niP{X=i}+j=1njP{Y=j}
=E(X)+E(Y)
=i=1ni2n−i2n−1+j=1nj2j−12n−1
=k=1nk2n−k2n−1+k=1n(n−k+1)2n−k2n−1
=n+12n−1k=1n2n−k
=n+12n−1(1−2n1−2)=n+1，
所以E(X+Y2)=12E(X+Y)=n+12．
【解析】
(1)先得到P(X≥3)=1−P(X=1)−P(X=2)=1−2n−12n−1−2n−22n−1=2n−2−12n−1，然后解方程2n−2−12n−1=731即可；
(2)先得到集合B可能情况有29个，若n=20，非空集合B的个数为220−1，然后得到P{X=8,Y=18}=29220−1即可；
(3)非空集合B的个数为2n−1，最小值X=i的集合B的个数为2n−i(i=1,2,⋯,n)，则P(X=i)=2n−i2n−1(i=1,2,⋯,n)，最大值Y=j的集合B的个数为2j−1(j=1,2,⋯,n)，则P(Y=j)=2j−12n−1(j=1,2,⋯,n)，然后利用期望的性质推导即可．x
2
3
4
5
6
y
25
●
46
58
65
性别
经常体育锻炼与否
合计
经常体育锻炼
不经常体育锻炼
男
女
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
i=15xi
i=15yi
i=15ui
i=15xi−x2
i=15yi−y2
i=15ui−u2
i=15xi−xyi−y
i=15ui−uyi−y
15
73
4.8
10
161.2
1.6
39
15.9
性别
经常体育锻炼与否
合计
经常体育锻炼
不经常体育锻炼
男
45
5
50
女
40
10
50
合计
85
15
100