广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题（原卷+解析）

这是一份广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题（原卷+解析），共21页。
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 半径为1圆中，的圆心角所对的弧的长度是（ ）
A. B. C. 60D. 30
3. 的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各选项中，是必要不充分条件的是（ ）
A. B.
C. D. ：四边形是长方形，：四边形对角线互相垂直且平分
5. 向一个下底面积小于上底面积的圆台形容器匀速注水（容器原本无水，注水速率恒定），设注水时间为，容器内水面高度为，则以下函数中，最能近似反映与这一变化现象的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. ，且
8. 已知方程和的根分别是，则的值是（ ）
A. 2B. 4C. 12D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 必有算术平方根B. 是无理数
C. 为奇数D. 是无理数
10. （多选）已知函数的定义域为，若存在常数使得函数为奇函数，则称的图象关于中心对称．下列说法正确的是（ ）
A. 若，则图象关于点中心对称
B. 若关于点中心对称，则
C. 若关于点中心对称，则
D. 若同时关于点与点中心对称，则是周期函数
11. （多选）已知函数若关于的方程有4个不同的根，它们从小到大依次为，则（ ）
A. B.
C. D. 有7个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则的取值范围为___________．
13. 已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________．
14. 已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值
16. 已知集合，其中．
（1）求集合及；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的值．
17. “百县千镇万村高质量发展工程”在广东持续深入推进，汕尾某驻村帮扶队结合当地“海丰油粘米”特色产业，推出“礼盒装油粘米”（每盒含1袋精品油粘米），通过电商助销拓展销路．经市场调研：该礼盒的种植、加工及包装成本为24元／盒，每万盒的销售收入（单位：万元）与销售量（单位：万盒）的关系为：
（1）利润（单位：万元）＝销售收入-总成本，写出关于的函数关系式；
（2）当销售量为多少万盒时，帮扶村落能获得最大利润？最大利润是多少万元？
18. 已知函数的定义域为，且对定义域内的所有均有成立，．
（1）求的值；
（2）规定：对于定义域为的函数，如果存在一个非零整数，使得对任意的，都有且，那么称是周期函数，称为的一个周期．根据（1）的计算结果，猜想的一个周期，并加以证明；
（3）设函数，其中为实数，若的定义域为全体整数，求实数的取值范围．
19. 在函数性质中，我们定义两种函数变换：对于函数，定义其偶性分量，奇性分量为．
设函数，其中．
（1）求的偶性分量和奇性分量；
（2）若的最小值为2，求的值；
（3）设函数，且，求函数在区间上的值域．
广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的补集、交集运算求解.
【详解】集合，集合，则或,
所以
故选：D
2. 半径为1的圆中，的圆心角所对的弧的长度是（ ）
A. B. C. 60D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长公式求出答案.
【详解】因为，由弧长公式可得弧长为.
故选：B
3. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】因为，
，
，
所以，
故选：A
4. 下列各选项中，是的必要不充分条件的是（ ）
A. B.
C. D. ：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分
【答案】A
【解析】
【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以或，
即由不能推出，但由能推出，
所以是的必要不充分条件，故A正确；
对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出，
不满足是的必要不充分条件，故B不正确；
对于C，因为，所以，
，则，或，
即由能推出，但由不能推出，
不满足是的必要不充分条件，故C不正确；
对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直，
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形，
即由不能推出，由不能推出，
不满足是的必要不充分条件，故D不正确.
故选：A.
5. 向一个下底面积小于上底面积的圆台形容器匀速注水（容器原本无水，注水速率恒定），设注水时间为，容器内水面高度为，则以下函数中，最能近似反映与这一变化现象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分析注水过程中水面高度与注水时间的关系，再分析各函数的图像特征，逐一判断即可.
【详解】圆台形容器下底面面积小于上底面面积，
当匀速注入水时随着注水时间的增加，水面高度的增长速度会逐渐变慢，
对于A，，指数函数，增长速度越来越快，呈爆炸式增长，故A错；
对于B，，二次函数，当时，增长速度越来越快，故B错；
对于C，，幂函数，增长速度越来越慢，且始终递增，故C正确；
对于D，对数函数，虽然增长速度越来越慢，但其定义域为，
不满足初始时刻时水面高度的实际情况，故D错.
故选：C
6. 已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的性质可得在上单调递减，结合单调性即可判断选项.
【详解】连续的奇函数的定义域为，所以,
因为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，
所以在上单调递减，
因为，，
所以,,
所以;
故选：B
7. 关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为与有两个交点，结合分析即可求解.
【详解】若关于的方程有且仅有2个不同的实数根，
则函数与有两个交点，
作出函数的图像如下：
当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且，
当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且，
当时，无意义，
综上，实数的取值范围是，且；
故选：D
8. 已知方程和的根分别是，则的值是（ ）
A. 2B. 4C. 12D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】将方程的根转化为函数与函数的交点问题，再根据互为反函数的两个函数关于对称，可以得到两个交点横坐标之间的关系，即可求解.
【详解】设和的根分别为，
即和分别与的交点的横坐标；
又因为与互为反函数，即两个函数图像关于对称；
又图像也关于对称，
则和与的交点也关于对称，
即两交点与关于对称（两交点横纵坐标交叉相等），
故，，所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 必有算术平方根B. 是无理数
C. 为奇数D. 是无理数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据算术平方根定义、命题的真假判断AD；举例判断BD；
【详解】对于A，必有算术平方根为，命题真命题，A正确；
对于B，取，是有理数，命题是假命题，B错误；
对于C，因为，且是连续整数且其中必有一个是偶数，
所以一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C错误；
对于D，取是无理数，是无理数，故该命题是真命题，D正确；
故选：AD.
10. （多选）已知函数的定义域为，若存在常数使得函数为奇函数，则称的图象关于中心对称．下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的图象关于点中心对称
B. 若关于点中心对称，则
C. 若关于点中心对称，则
D. 若同时关于点与点中心对称，则是周期函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，令，利用中心对称的定义判断；对于BC，由定义可知是奇函数，利用奇函数的性质判断；对于D，利用奇函数和周期性的概念判断.
【详解】对于A，令，易知奇函数，
所以的图象关于点中心对称，A说法正确；
对于B，若关于点中心对称，由定义可知是奇函数，
所以，即，所以，B说法正确；
对于C，若关于点中心对称，由定义可知是奇函数，
所以，即，整理得，
所以，C说法错误；
对于D，若关于点对称，则是奇函数，①，
若关于点中心对称，则是奇函数，，
由可得，即②，
①②联立得，
所以是周期为2的周期函数，D说法正确；
故选：ABD
11. （多选）已知函数若关于的方程有4个不同的根，它们从小到大依次为，则（ ）
A. B.
C. D. 有7个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】方程有4个不同的根，即的图象与直线有4个交点，画出函数的大致图象判断A，根据图像通过求解判断B，根据图象得到，，进一步计算求解判断C，令，求出的根，代入，再根据图象可求得零点个数判断D.
【详解】因为，
当时，，
当时，，
画出的大致图象如图所示，
对于A，方程有4个不同的根，即的图象与直线有4个交点，
则由图象可知，A说法正确；
对于B，由图象可知，即，解得，B说法正确；
对于C，由题意可得，，
所以，，
所以，，C说法正确；
对于D，函数，令，则，即，
令可得或，令可得或，
所以对于可得，，，，
当时，由图可得有0个根，
当时，由图可得有2个根，
当时，由图可得有4个根，
当时，由图可得有3个根，
综合可得函数有9个零点，D说法错误；
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的性质求解即可.
【详解】由于，
则，所以,
即,
则的取值范围为;
故答案为：
13. 已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质结合条件即得.
【详解】由题意可得，或，得或，
故实数的取值范围为
故答案为：
14. 已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由函数，可得是其中一个交点，则另一个交点的横坐标为，利用求出的值即可.
【详解】由可知由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，
由可知由指数函数向下平移2个单位得到，
结合函数图象易知，
即对于任意且，是函数和的图象的其中一个交点，
又因为这两个交点的横坐标之和为1，所以另一个交点的横坐标为，
所以，即，解得，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式将题干化简，即可求得
（2）对所求的式子两边同时除以，再将（1）得到得结果代入即可.
【小问1详解】
由诱导公式，，
以及，
所以，
即.
【小问2详解】
将分子分母同时除以，
（因为，否则无意义），
所以，又由（1）知代入上式得
，
故.
16. 已知集合，其中．
（1）求集合及；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的值．
【答案】（1），或．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合一元二次不等式求出集合，利用补集的定义即可求解；
（2）将问题转化为，分和两种情况讨论即可求解；
（3）首先得到，由，得求解即可.
【小问1详解】
由，得，
解得，故，
故或．
【小问2详解】
由，得，
若，即， 解得，
若，即时， 解得，
此时，解得，
联立可得，
综上所述，实数的取值范围是．
【小问3详解】
由，得，即，
，得，即，
又因为当时，，符合题意，
故．
17. “百县千镇万村高质量发展工程”在广东持续深入推进，汕尾某驻村帮扶队结合当地“海丰油粘米”特色产业，推出“礼盒装油粘米”（每盒含1袋精品油粘米），通过电商助销拓展销路．经市场调研：该礼盒的种植、加工及包装成本为24元／盒，每万盒的销售收入（单位：万元）与销售量（单位：万盒）的关系为：
（1）利润（单位：万元）＝销售收入-总成本，写出关于的函数关系式；
（2）当销售量为多少万盒时，帮扶村落能获得最大利润？最大利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）15万盒， 170万元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分和，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
总成本=每盒成本×销售量，即24x万元．
当时，，
当时，，
因此利润函数为
【小问2详解】
当时，，可知该二次函数图象为开口向下抛物线，其对称轴为直线，由于区间在对称轴左侧，函数单调递增，
故在的最大值为（万元）；
当时，，
因此，，
当且仅当，即（负值舍去）时等号成立，即最大值为170万元．
比较两段的最大值：，
故当销售量为15万盒时，利润最大，最大利润为170万元．
18. 已知函数的定义域为，且对定义域内的所有均有成立，．
（1）求的值；
（2）规定：对于定义域为的函数，如果存在一个非零整数，使得对任意的，都有且，那么称是周期函数，称为的一个周期．根据（1）的计算结果，猜想的一个周期，并加以证明；
（3）设函数，其中为实数，若的定义域为全体整数，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）4是函数的一个周期，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用递推关系及依次代入求解即可；
（2）观察（1）中结果猜想函数是周期函数，且是的一个周期，利用周期函数的定义及递推关系证明即可；
（3）的定义域为全体整数，即，均有，结合周期性令，解出即可.
【小问1详解】
由递推关系，且，可得
，，
，，
故．
【小问2详解】
观察（1）中结果，
发现，这表明函数值经过4次迭代后发生重复，
由此可猜想：函数是周期函数，且是的一个周期，
下面证明4是函数的一个周期，即证，
因为，
所以，
所以得证，
因此，4是函数的一个周期．
【小问3详解】
由（2）得函数是周期函数，周期，且，，，，
要使的定义域为全体整数，即，均有，
由于是周期函数，在一个周期内，的最小值为，
因此对所有整数成立，故只需，解得，
综上所述,若的定义域为全体整数，则实数的取值范围为．
19. 在函数性质中，我们定义两种函数变换：对于函数，定义其偶性分量为，奇性分量为．
设函数，其中．
（1）求的偶性分量和奇性分量；
（2）若的最小值为2，求的值；
（3）设函数，且，求函数在区间上的值域．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用偶性分量和奇性分量的定义求解即可；
（2）由（1）可得，由基本不等式可得，结合对数函数单调性可得的最小值即可求解；
（3）化简可得，得到，结合单调性分析即可求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
又因为增函数，故，
由题意知，的最小值为2，故，即．
经检验，当时，，满足条件．
【小问3详解】
，
此时有，所以
令，则，令，
对任意
所以在上单调递增，
因为在上单调递增，
故在上单调递增，且，
令，
对任意，有，
在上单调递增，又因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
故，
又因为时，，故，
所以的值域为．