广东省汕尾市2024-2025学年高一上学期教学质量监测数学试卷（解析版）

这是一份广东省汕尾市2024-2025学年高一上学期教学质量监测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】对于A，由可知均不为0，故，即A正确；
对于B，由可得或，故B错误；
对于C，由，若取，则没有意义，故C错误；
对于D，由，若取，则，故D错误.
故选：A.
2. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D. 为奇数
【答案】D
【解析】函数定义域为.
对A，，所以与不是同一函数，故A错误.
对B，定义域为，所以与不是同一函数，故B错误.
对C，定义域为，所以与不是同一函数，故C错误.
对D，为奇数,则，且定义域为.
所以与为奇数,是同一函数，故D正确.
故选：D.
3. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得或，则；
由可得：，解得，即，
故.
故选：B.
4. 老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明“做容易题”是“做难题”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，
但“做难题”一定可以推出“做容易题”，
故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 下列函数中，其函数的定义域为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由恒成立的条件可知，
只需满足且即可；
对于A，B选项根号里的二次函数开口向下，不满足题意，故AB错误；
C选项根号里的二次函数，满足题意，故C正确；
D选项根号里的二次函数，不满足题意，故D错误.
故选：C.
6. 定义在区间0,4上的函数y=fx的图象如下图所示，则的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】先把函数y=fx的图象关于原点对称，可得函数的图象，
再将其向右平移4个单位长度，即得函数的图象.
故选：B.
7. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，即，
所以，则，
所以.
故选：D.
8. 函数与的图象关于轴对称，且，下列判断正确的是（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是奇函数D. 的图象关于点对称
【答案】D
【解析】对于A，因为与的图象关于轴对称，对于函数，
那么，所以A选项错误，
对于B，，定义域为R，
，所以是奇函数，B选项错误，
对于C，因为，即，
令，则，所以，
展开整理，则，
，且，
所以既不是奇函数也不是偶函数，C选项错误，
对于D，因为，
可以看作向左平移2个单位，再向上平移16个单位得到，
逆向推得，向右平移2个单位，再向下平移16个单位得到，
且前面分析知道是奇函数，图象关于原点对称，
则的图象关于点对称，D选项正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：CD.
10. 已知函数且的定义域为，当时，有，则实数的取值范围可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】由题意知，，则，
又a>0且，故解得且；
令，其图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，
所以在上单调递减，
又时，，即在上单调递减，
所以函数为增函数，则，
所以实数的取值范围为.
故选：AB.
11. 已知是函数的一个零点，若，都有，则（ ）
A. B.
C. 有最大值D. 是奇函数
【答案】ABD
【解析】由题意，，令，
则，解得，
对于A，令，则，解得，
令，则，解得，故A正确；
对于B，令，则，
则，故B正确；
对于C，设函数，
此时，，符合题意；
此时，的值域为，则无最大值，故C错误；
对于D，设，
因为，有，
即，有，
所以，有，
令，则，所以函数是奇函数，
即函数是奇函数，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数为偶函数，则实数__________.
【答案】2
【解析】由题意可知，即，
展开可得，
即对于都成立，所以，即.
13. 已知表示不超过的最大整数，如.若，则所有可能的值组成的集合为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
由的定义知所有可能的值为，
所以所有可能的值组成的集合为.
14. 若函数的图象关于直线对称，则__________，的最小值为__________.
【答案】
【解析】由，得，
由的图象关于直线对称，得必为方程的二根，
则，即，
此时，
，
因此函数的图象关于直线对称，；
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算的值，其中为第二象限角.
解：（方法一）原式
，
第二象限角，，
原式
.
（方法二）原式
，
为第二象限角，，
原式
.
16. 设集合，若，求实数的取值范围.
解：，由题设可得为的子集.
当时，解得.
当时，
若，即时，
此时的解为，
即，符合题意
若，即时，
①，即时，此时，
即，解得，即，不符合题意.
②，即时，由此时集合.
则，解得，
与矛盾，不符合题意.
综上所述，实数取值范围为.
17. 在徐州市云龙湖东岸，云龙山西麓，有一座为纪念陶谦爱民让贤以及学习刘备谦虚行的优良品德而建的三让亭（如图1）.三让亭沿山坡建有六十三级台阶，阶分三层，寓意陶谦六十三岁前三次让贤，刘备接任徐州牧.三让亭亭体呈等边三角形，由三根亭柱支撑三角形亭盖，飞檐斗拱，风格独特，打破国内传统建筑“天圆地方”的惯例，实属少见.从三让亭的建筑结构中，我们可以联想到数学知识.假设将三让亭简化为平面图形，且记是边长为2的正三角形，的顶角在坐标原点处，轴，如图2所示.现有来自汕尾的四位同学来到三让亭开展游学活动，旨在学习和传承祖国的优良传统文化.两人在位置观景，且分别只在边上移动，.另外两人在亭外位置观景，其中为的中点，其中，且.设为的面积，点的横坐标为.
（1）求关于的函数解析式；
（2）求函数的最大值，并求出取最大值时点的坐标.
解：（1）是边长为2的正三角形，且轴，.
点的横坐标为，，
为的中点，，
又，
.
（2）由（1）知，
① 当，即时，
在处取得最大值为，此时；
② 当，即，又，故时，
在处取得最大值为，此时；
③ 当时，，与矛盾，此情况不成立.
综上可得：当时，，此时；
当时，，此时.
18. 已知是定义在上的奇函数，.
（1）求的值及的定义域；
（2）若，求的取值范围；
（3）若恒成立，求的取值范围.
解：（1）为R上的奇函数，故解得，
又，解得，
当，时，，
由可得：是奇函数.
此时，由，得，
故的定义域为.
（2）由可得，，故，
即，故的取值范围是.
（3）
由Fx的解析式可知，故，
令，故，令，
不妨设，则
，
故，所以在上单调递增，
故，
，
故，解得.
即的取值范围是.
19. 已知函数，其中，且，，且，总有.
（1）若恒成立，则称函数具有性质.试判断函数是否具有性质；
（2）判断的单调性，并加以证明；
（3）若对任意的恒成立，，求实数的取值范围.
解：（1）因为，
所以）
.
因为，且，所以，由基本不等式可知，，
所以，
所以对任意的x∈R成立，即函数具有性质.
（2）由题意知
当时，；
当时，则，有；
当时，则，有.
综上所述，是定义域为R的奇函数.
，且，则有.
，
由已知得，
所以，故在R上单调递增.
（3）由题意知对任意恒成立，
由（2）知，在上单调递增且为奇函数，则，
即有对任意恒成立，
故有解得，
故实数的取值范围为.