广东省汕尾市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷（含答案）

这是一份广东省汕尾市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省汕尾市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、若复数是纯虚数，则实数( )
A.1 B.0或1 C.1或2 D.1或3
2、已知，，，则( )
A. B. C. D.或
3、将函数的图象向左平移个周期后所得图象对应的函数为( )
A. B.
C. D.
4、已知直线a，b，l和平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若，，，，则
C.若，，，，则
D.若，，则
5、已知，，则( )
A. B. C. D.
6、在正三棱柱中，D为棱的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A.0 B. C. D.
7、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则( )
A. B. C. D.
8、如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为( )

A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知复数，，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.在复平面内，对应的点关于虚轴对称
10、已知函数，，且的最小正周期为，则下列说法正确的有( )
A.
B.当时，的最小值为1
C.在区间上单调递增
D.若为偶函数，则正实数的最小值为
11、下列说法正确的有( )
A.若，满足，，则的最大值为3
B.向量在向量上的投影向量为
C.若，，且，则
D.若圆O中，弦AB的长为4，则
12、在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则( )
A.直线BN与直线是异面直线
B.直线与直线BN共面
C.直线AM与平面ABC所成角的正弦值为
D.点到平面的距离为
三、填空题
13、化简______.
14、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______.
15、在平行四边形ABCD中，，，，则______.
16、如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC的斜边AB，直角边AC，BC，点E在以AC为直径的半圆上，延长AE，BC交于点D.若，，，则的面积是______.

四、解答题
17、已知点，，.
(1)若，是实数，且，求的值；
(2)求与的夹角的余弦值.
18、已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)在中，若，求的最大值.
19、如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，P是线段上的动点.证明：
  
(1)平面BDF；
(2)平面BDF.
20、记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
21、如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为棱PB的中点.证明：

(1)平面PBC；
(2)平面平面PCD.
22、如图，已知直线，A是，之间的一个定点，且点A到，的距离分别为1，2，B是直线上的一个动点，作，且使AC与直线交于点C.设，的面积为.

(1)求的最小值；
(2)已知，，若对任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：因为复数是纯虚数，
所以，解得：或，
故选：B.
2、答案：D
解析：因为，，故设，又，
所以，解得，
所以或.
故选：D
3、答案：D
解析：因为函数的最小正周期为，即，
故向左平移个周期后所得，
故选：D.
4、答案：B
解析：A选项，若，，可能，所以A选项错误.
B选项，若，，，，则，所以B选项正确.
C选项，若，，，，当时，l与不一定垂直，所以C选项错误.
D选项，若，，可能，所以D选项错误.
故选：B
5、答案：C
解析：因为，，所以，
所以.
故选：C
6、答案：A
解析：取AB的中点E，的中点F，连接DE,CE,EF,CF，
则，，
因为D为棱的中点，E为AB的中点，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以为直线与直线所成角，
因为在正三棱柱中，，
所以，,，
在中，由余弦定理得，
所以直线与直线所成角的余弦值为0，
故选：A

7、答案：D
解析：根据题意，，利用正弦定理得：，
再结合，可得，
由余弦定理：，所以D选项正确.
故选：D
8、答案：C
解析：根据题意，可得，,且，,
所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示，
设长方体的外接球的半径为R，可得，所以，
所以外接球的体积为.
故选：C.

9、答案：AB
解析：对于选项A，，故选项A正确；
对于选项B，，，所以，故选项B正确；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，在复平面内对应的点为，对应的点为，点,关于实轴对称，故选项D错误.
故选：AB.
10、答案：AD
解析：由，
因为的最小正周期为，所以，所以，
所以A正确；
当，可得，当时，即时，函数取得最小值，最小值为，所以B不正确；
当，可得，所以函数不是单调函数，所以C不正确；
由，若函数为偶函数，
可得，即，解得，
解得，当时，，所以正实数的最小值为，所以D正确.
故选：AD.
11、答案：BD
解析：对于A，因为，，
所以，
因为，所以当时，取得最大值5，所以A错误，
对于B，向量在向量上的投影向量为，所以B正确，
对于C，由，，得，
因为，所以或，所以C错误，
对于D，因为在圆O中，弦AB的长为4，
所以，
所以D正确，
故选：BD
12、答案：ABD
解析：对于A，因为平面，平面，平面，
由异面直线的定义可得，直线BN与是异面直线，故A正确；

对于B，连接MN,，由正方体的性质知，因为，
又因为，所以，所以M,N,,B四点共面，
所以直线与直线BN共面，故B正确；

对于C，取DC的中点H，连接MH，由正方体的性质知：平面ABC，
所以是直线AM与平面ABC所成角，
所以，
，故C错误；

对于D，设点到平面的距离为h，
所以，
因为，，
取DC的中点H，连接MH，由正方体的性质知：平面ABC，
连接BH，所以，，
，所以，
所以，
，
所以由可得：，故D正确.
  
故选：ABD.
13、答案：
解析：




，
故答案为：
14、答案：1
解析：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
则由得，
而
故，
解得，
故答案为：1.
15、答案：24
解析：由于,所以，
故，
故答案为：24
16、答案：
解析：由题意得：，
所以，故，所以，
因为，所以
故
，
因为，，，所以，
又因为，，所以，
所以的面积是.
故选：A.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1），，，
，，，故


解得
（2），，，
，
故与的夹角的余弦值为.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）



的最小正周期为.
（2）由，即，，
得，即，
，

当，即时，取得最大值
19、答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1）如图，连接AC交BD于点O，连接FO.
F为的中点，O为AC的中点，
FO为的中位线，
.
又平面BDF，平面BDF，
平面BDF

（2）连接，，连接交于点，连接，如图.
在正方体中，，
平面BDF，平面BDF，
平面BDF.
又为的中位线，
.
平面BDF，平面BDF，
平面BDF.
又平面，平面，，
平面平面BDF.
平面，
平面BDF.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）在中，由正弦定理及，
得，
又在中，，，
，
，
.
（2）在中，由余弦定理可知，
又，，
解得或（舍去），
故的面积为.
21、答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1），且E为PB的中点，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，
在正方形ABCD中，，
又AB，平面PAB，，
平面PAB，
又平面PAB，
，
BC，平面PBC，，
平面PBC.
（2）设PD的中点为Q，连接AQ，如图.
，
，
又，，PA，平面PAD，，
平面PAD，
平面PAD，，
又CD，平面PCD，，
平面PCD，
平面PAD，
平面平面PCD.

22、答案：(1)2
(2)答案见解析
解析：（1）在中，，则；
在中，，，则，
的面积.
，，
故当，即时，取得最大值1，此时取得最小值2.
（2）由（1）知，，
.
不等式对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立.
令，则，
因为，所以，所以，
又，
.
令，其中，
，.
①当时，，即；
②当时，函数在上单调递增，
，即；
③当时，函数在上单调递减，
，即
综上，当时，实数b的取值范围是；
当时，实数b的取值范围.