2025-2026学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷-自定义类型，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算：2sin30°=（ ）
A. 1B. C. 2D. 2
2.反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. （2，4）B. （-8，1）C. （-1，8）D. （-4，2）
3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A=32°，则∠O=（ ）
A. 16°
B. 64°
C. 48°
D. 32°
4.如图，△ABO∽△CDO，则∠B的度数为（ ）
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
5.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校计划用总长为5米的篱笆（虚线部分），两面靠墙（足够长），围出一块面积为6平方米的矩形苗圃作为实践基地（如图所示）.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A. 5x2=6B. 5（1+x2）=6C. x（5-x）=6D. 5（1+x）2=6
6.已知（-3，y1），（-1，y2），（2，y3）都在双曲线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3B. y2＜y1＜y3C. y3＜y1＜y2D. y3＜y2＜y1
7.已知二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. k＞-1B. k＞-1且k≠0C. k＜1且k≠0D. k≥-1且k≠0
8.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（5，2），则AC的长为（ ）
A. 5
B.
C.
D. 6
9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ）
①abc＜0；②3a+c=0；③9a-3b+c=0；④am2-a+bm+b＞0（m为任意实数）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N，下列结论：
①DE=CN；②=；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤GN+EG=BG；
其中正确结论的个数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.二次函数y=（x-1）2+2的顶点坐标为______．
12.若，则的值为______.
13.如图所示，D是△ABC的边AC上的点，且∠ABD=∠C，AB=6，AD=3，则AC的长为 .
14.如图，在半径为10的⊙O中，AB=16，OC⊥AB于点C，则OC等于 .
15.如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若△POQ的面积为8，则k= .
16.如图，在正方形ABCD中，AB=4，以AD的中点O为圆心，1为半径作半圆交边AD于E、F，动点P在半圆上，若∠BPQ=90°且BP=2PQ，则当CQ最小时，△BCQ的面积为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：＝0．
四、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：cs30°+2tan45°-tan60°sin245°.
19.(本小题6分)
如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEB=∠AFD，求证：BE=DF.
20.(本小题8分)
图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE=9cm,BC=38cm,∠ABC=24°.（sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45）
（1）如图2，∠BCE=______度；
（2）如图2，求点C到靠背AB的距离；（精确到0.1cm）
（3）如图3，靠背AB绕点B旋转至A1B与小桌板支架CB重合，已知杯托凹陷深度为0.7cm,求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度.
21.(本小题8分)
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=6，BM=2，求AE的长.
22.(本小题8分)
如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC，且∠E=90°，=，连接AG.
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若，，求线段AE的长.
23.(本小题10分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件利润40元，为了扩大销售尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件.若设每件衬衫降价x元，解答下列问题：
（1）当每件衬衫降价5元，则每件利润______元，平均每天可售出______件；
（2）若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（3）当每件衬衫降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24.(本小题10分)
已知反比例函数与一次函数y=mx+b相交于点A（-1，4）和点B（n,1），如图所示，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C和点D.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设P是x轴上一点，当△AOP和△AOB面积相等时，求点P的坐标；
（3）点Q在反比例函数图象上（不与点A、B重合），连接AQ，直线AQ与y轴交于点E，当△ADE与△BCO相似时，求点Q的坐标.
25.(本小题12分)
【阅读材料】
材料1：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的两个根x1、x2有如下的关系：x1+x2=-，x1•x2=.
材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.
下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m、n满足m2-m-1=0、n2-n-1=0，且m≠n,则可将m、n看作是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根.
方法2：利用根与系数的关系逆向构造.例如，如果实数a、b满足a+b=3、ab=2，则可以将a、b看作是方程x2-3x+2=0的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知一元二次方程5x2-10x+1=0的两根x1、x2，则x1+x2=______，x1•x2=______；
（2）已知实数m、n满足3m2-m-2=0，3n2-n-2=0，且m≠n,求的值；
（3）已知实数a、b、t满足a+b=t-5，ab=，且t＜5，求t的最大值.
26.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，当取得最大值时，求点P的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线y1，点M为点P的对应点，点N为抛物线y1上的一动点.若∠NAB=∠OPM-45°，求点N的坐标.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】（1，2）
12.【答案】
13.【答案】12
14.【答案】6
15.【答案】-10
16.【答案】6
17.【答案】解：∵a=1，b=-2，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=-4×1×（-1）=8＞0，
∴，
∴，.
18.【答案】2．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF．
20.【答案】114 点C到靠背AB的距离约为15.6cm 乘客水杯的最大高度为20.7cm
21.【答案】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA 10
22.【答案】（1）证明：如图，连接OF．

∵OA=OF，
∴∠FAC=∠AFO．
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC，
∴∠EAF=∠AFO，
∴OF∥AE．
∴∠OFC=∠E=90°，
∴OF⊥EC，
∴EC是⊙O的切线．
（2）解：连接BG．
∵，
∴AG=BG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°，∠AFB=90°．
∵，
∴．
∵∠EAF=∠FAC，∠E=∠AFB，
∴△AEF∽△AFB．
∴，
∴AF2=AE•AB．
∵，AB=4，
∴
∴AE=3．
23.【答案】35;30 每件衬衫应降20元 当每件衬衫降价15元时，每天的销售利润最大，最大利润是1250元
24.【答案】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k=-1×4=-4=n,
则点B（-4，1），反比例函数表达式为：y=-，
将点A、B的坐标代入一次函数解析式可得m=1,b=5，则直线AB的表达式为：y=x+5；
（2）如图，过点B作BP∥AO，
则△AOP和△AOB面积相等，
由点O、A的坐标得，直线OA的表达式为：y=-4x,
则直线PB的表达式为：y=-4（x+4）+1，
令y=0，则x=-，即点P（-，0）；
当点P在点A的右侧时，由图象的对称性，则点P（，0）也符合题意，
故点P（-，0）或（​​​​​​​，0）；
（3）由直线AB的表达式y=x+5知，点C、D的坐标分别为：（-5，0）、（0，5），
由点A、D、B、C的坐标得，AD==BC，
在△CBO中，∠BCO为45°，
当△ADE与△BCO相似时，△ADE必须有个45°角，即∠ADE=45°，
故存在△CBO∽△DAE或△CBO∽△DEA，
则DE：CO=AD：BC或DE：BC=AD：CO，即ED：5=：或DE：=：5，
解得：DE=5（舍去）或DE=，
即点E（0，），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y=x+，
联立上式和反比例函数表达式得：-=x+，
解得：x=-1（舍去）或x=-，
即点Q（-，）．
25.【答案】2; - t的最大值为1
26.【答案】y=x2-5x-6 P（3，-12） N点坐标为（2，-12）或（，14+2）