重庆市2023_2024学年高二数学下学期第一次月考试卷含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高二数学下学期第一次月考试卷含解析，共21页。
1．答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号、班级在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．
一、单选题
1. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、前n项和公式计算得解.
【详解】等差数列的前n项和为，，解得，
所以.
故选：C
2. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得.
【详解】函数，求导得，
由在上单调递增，得，，而恒有，
则，又时，，在上单调递增，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
3. 从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的3位偶数，这样的数有（）个．
A. 24B. 30C. 36D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理，即可求得答案.
【详解】若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0，
则组成各位数字不重复的3位偶数有个；
若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位，
则组成各位数字不重复的3位偶数有个；
若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位，
则组成各位数字不重复的3位偶数有个；
故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的3位偶数，
这样的数有个，
故选：B
4. 已知函数，则（）
A. 1B. －1C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】结合，化简为，根据导数的定义以及求导法则，即可求得答案.
【详解】由于函数，故，
则，
而，即，
故选：A
5. 已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数的图象如图所示，设．，，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导函数的图象确定函数在上的单调性，再结合偶函数性质比较判断即得.
【详解】观察导函数的图象，得当时，，因此函数在上单调递增，
依题意，，因此
故选：D
6. 设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断直线与圆的位置关系，当点在圆外时，过点的两条切线所成的以为端点过切点的两条射线形成的角最大，求出此角不小于的的范围.
【详解】圆的圆心到直线的距离，
即直线与圆相交，当点在圆及内部时，
该圆上存在两点A，B，使，
当点在圆外时，过点作圆的切线，为切点，显然是最大的，
则只需即可，此时，，而也符合要求，
因此，即，又，则，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
7. 已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对不等式作等价变形，构造函数并利用函数的单调性建立不等式，再分离参数求解即得.
【详解】函数，，，
令，显然函数在上单调递增，而不等式为，
因此，，
令函数，求导得，当时，，递增，
当时，，递减，因此，于是，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
8. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，判定其单调性计算即可.
【详解】根据题意可令，
所以上单调递减，
则原不等式等价于，
由，
解之得.
故选：B
二、多选题
9. 如图，在正方体中，点P满足，，则下列结论正确的是（）
A. 对于任意的，都有平面
B. 对于任意的，都有
C. 若，则
D. 存在，使与平面所成的角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明及线面角的向量求法求解判断即可.
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，
由，得，，
对于A，，显然，
即，而平面，则平面，
因此是平面的法向量，又，
平面，所以平面，A正确；
对于B，由选项A知，对于任意的，，即，B正确；
对于C，由，，得，C正确；
对于D，平面的法向量，令与平面所成的角为，
则，
而，因此不存在，使与平面所成的角为，D错误.
故选：ABC
10. 已知数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则数列是等比数列
D. 若，则数列是等差数列
【答案】CD
【解析】
【分析】利用等比数列求和公式可判定A，利用累加法求通项可判定B，利用构造法结合等差数列、等比数列的定义可判定C、D.
【详解】对于A，，由，所以，
即是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，则A错误；
对于B，时，则，
利用累加法可知，显然符合，则B错误；
对于C，时，则，
显然，所以是以-2为首项，2为公比的等比数列，则C正确；
对于D，时，，
即是以为首项和公差的等差数列，则D正确.
故选：CD
11. 已知函数，下列命题正确的是（）
A. 若是函数的极值点，则
B. 若在上单调递增，则
C. 若，则恒成立
D. 若在上恒成立，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用导数结合极值点求出判断A；利用导数结合单调性求出的范围判断B；利用函数最小值判断C；利用恒成立的不等式求出的范围判断D.
【详解】函数的定义域为，
对于A，，由是函数的极值点，得，解得，
此时，显然是在上的变号零点，因此，A正确；
对于B，在上单调递增，则，，
而函数在上单调递增，恒成立，因此，B错误；
对于C，由，得，，，
当时，，递减，当时，，递增，
因此，而，C错误；
对于D，，，
令，求导得，当且仅当取等号，
因此函数在上单调递增，，所以，D正确.
故选：AD
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，P为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于2，过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M、N两点，则下列说法正确的有（）
A.
B. 若，则的面积为
C.
D. 的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】设点，利用斜率公式求出的值，可得出双曲线的方程，根据为双曲线渐近线的夹角求出对应的值即可判断A选项，根据三角形面积公式可判断B选项；根据题意写出切线方程，求出点的横坐标，证明出点为线段的中点，可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.
【详解】根据题意，设点，则，且，
易知点、，则，
因为，解得，所以，双曲线的方程为，
对于A选项，因为双曲线的方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，
设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则，
所以，所以，故选项A错误；
对于B选项，因为，
根据双曲线定义可得，所以，，
又因为，所以，所以，
所以，故选项B正确；
对于C选项，先证明双曲线在点处的切线方程为，
联立可得，
又因为，整理可得，解得，
可知双曲线与直线有一个交点，
所以，双曲线在点处的切线方程为，
联立可得，即，
联立可得，即，

所以，，
所以，点为线段的中点，即，故选项C正确；
对于D选项，，
点到直线的距离为，
因为点为线段的中点，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是结合图形利用几何关系简化运算.
三、填空题
13. 过椭圆的右焦点的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，则椭圆E的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立结合弦中点坐标求解即得.
【详解】依题意，直线方程为，
由消去并整理得，
由弦AB的中点为，得，解得，
由可得上述关于的一元二次方程，
所以椭圆E的离心率为.
故答案为：
14. 若直线是曲线的一条切线，则实数______．（…为自然对数的底数．）
【答案】
【解析】
【分析】根据切线的斜率为1，利用导数列方程，求得切点的坐标，代入切线方程，求得的值.
【详解】设切点为，又，
切线的斜率，解得，所以切点为，
代入切线方程，得
故答案为：.
15. 近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的美食吸引着各地游客，成为“网红城市”．远道而来的小明计划用2天的时间游览以下五个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡点、磁器口，另外还要安排一次自由购物，因此共计6项内容．现将每天分成上午、下午、晚上3个时间段，每个时段完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，“轻轨穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有______种方案.
【答案】36
【解析】
【分析】将2天的6个时段编号，分类考虑，先排大剧院与洪崖洞项目，再排“轻轨穿楼”，根据分类加法以及分步乘法原理，即可求得答案.
【详解】将第1天的上午、下午、晚上3个时间段分别编号为1，2，3，
第2天的上午、下午、晚上3个时间段分别编号为4，5，6，
由于大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，
则仅有2、3或5、6两种排法，
若大剧院与洪崖洞的时段为2、3，则“轻轨穿楼”在1，4，5中选一个，有种选法，
其余3个项目在剩下的3个时段全排列，共有种排法，故共有种排法；
同理若大剧院与洪崖洞的时段为5、6，也有18种排法，
故共有（种）方案，
故答案为：36
16. 已知数列满足，，则数列的前2n项的和为______．（用含n的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】由递推关系，当n为奇数时，，可得，然后由数列分组并项求和可得解．
【详解】由题意，当n为奇数时，，可得，
即，，又，则，
数列的前项和记为，则
.
故答案为：.
四、解答题
17. 已知函数．
（1）若曲线在处切线斜率为，求函数的单调递减区间；
（2）若函数在内有且仅有一个极值点且对于任意均有，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出，再利用导数求出函数的单调减区间.
（2）由（1）的信息求出函数的极值点，结合已知可得，再求出极小值即可得解.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
由曲线在处的切线斜率为，得，解得，
，由，解得，
所以函数的单调递减区间是.
【小问2详解】
由（1）得，，由，得或，
显然是函数的变号零点，即是函数的极值点，
由函数在内有且仅有一个极值点，得，解得；
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因此函数在上有最小值，由对于任意均有，得，
即，解得，于是，
所以a的取值范围是.
18. 已知数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由与的关系结合等比数列的定义、通项计算即可；
（2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法证明不等式即可.
【小问1详解】
由已知，
又，即是以3为首项和公比的等比数列，
即；
【小问2详解】
由（1）可知，所以，
则，
因为，显然，则，证毕.
19. 如图，在三棱柱中，底面侧面，，，．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成的角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用菱形的性质、面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算即得.
【小问1详解】
在三棱柱中，由，得四边形是菱形，则，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，而平面，则，又，
因此，而平面,
所以平面.
【小问2详解】
在平面内过点作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，则，
在平面内过作于，连接，又平面，
于是平面，而平面，则，从而是二面角的平面角，
由，得，由，得，，
则，显然，，，
所以平面与平面所成的角的余弦值是.
20. 已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若在与之间依次插入数列中的k项，构成如下的新数列；，记该数列的前n项和为，求．
【答案】（1）
（2）5528
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由题意列出方程组，求出的值，即可求得答案；
（2）确定新数列中，项（含）之前共有项，解可确定新数列的前70项中，含有中的前11项，含有中的前59项，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，，，得，
解得，故；
【小问2详解】
由题意可知新数列中，项（含）之前共有项，
令，由于，则，此时时，，
即新数列的前70项中，含有中的前11项，含有中的前59项，
故
.
21. 已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，O为椭圆的中心，D是线段OB的中点．直线，动点T到直线m的距离与T到点的距离相等．设动点T的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点D作斜率为的直线l，交于M，N，直线分别交于P，Q两点（P，Q均不同于点A），设直线的斜率为，求证：是定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简，即可得答案；
（2）设直线l的方程为，联立，设，可得根与系数关系式，利用的方程联立的方程，求出点的坐标的表达式，可得的表达式，化简，即可证明结论.
【小问1详解】
由题意知，
而直线，动点T到直线m的距离与T到点的距离相等，
设，则，
化简得，即，
故的方程为；
【小问2详解】
证明：由题意知直线l的方程为，联立，
得，由于直线l过点D，D在椭圆内，
故必有，设，则，
而的方程为，的方程为，
联立，得或，
即P点横坐标为，则，
同理可得，，
故，
又，
故
，
，
故
，
故为定值.
【点睛】难点点睛：本题考查了抛物线方程的求解，以及直线和曲线的位置关系中的定值问题，综合性强，解答的难点在于计算过程比较复杂，计算量大，并且基本都是字母参数的运算，要求具有较高的数学计算能力.
22. 已知，函数．
（1）若对，恒成立，求a的取值范围；
（2）若在点处的切线为，与x轴的交点为，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题得到对任意的，恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可得出结果；
（2）根据条件得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，再分，和三种情况讨论，即可证明结果.
【小问1详解】
由，得到，即，
令，则，
因为，由得到或（舍），
当时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，又，恒成立，
所以，解得，
所以a的取值范围为.
【小问2详解】
因为，所以，故切线的方程为，
令，得到，
（i）当时，，则，所以，
设，则，
当时，，即在区间上单调递增，
又，，得到，所以，
即，所以，即，
（ii）当时，则，所以，
（iii）当时，则，则，所以，
由（i）知，在区间上单调递增，所以当时，单调递增，
所以，即，
即有，又，所以，得到，
综上所述：.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，根据条件得到，通过构造函数，利用函数的单调性，将问题转化成函数值间的大小关系，从而解决问题.