重庆市2024_2025学年高二数学上学期第一次月考试题含解析

这是一份重庆市2024_2025学年高二数学上学期第一次月考试题含解析，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（ ）
A. 该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B. 该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C. 该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D. 该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【答案】D
【解析】
【分析】由概率的定义逐一分析即可.
【详解】对于A：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件，
可能是多件或者没有，故A错误；
对于B：该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件，故B错误；
对于C：该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品，故C错误；
对于D：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确；
故选：D.
2. 甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ）
A. 0.42B. 0.12C. 0.18D. 0.28
【答案】B
【解析】
【分析】由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得．
【详解】所求概率为.故选B.
【点睛】本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题．
3. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是互斥事件，也是对立事件
B. 与是互斥事件，也是对立事件
C. 与是互斥事件，但不是对立事件
D. 与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件的定义和对立事件的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故A错误；
B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故B错误；
C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与是对立事件，故C错误；
D中，因为彼此互斥，故与互斥事件，
而，故与是对立事件，故D正确；
故选：D.
4. 如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．
【详解】因为，所以，
因为点，分别是线段，的中点，
所以，
所以．
故选：A．
5. 已知随机事件和互斥，且，，则
A. 0.5B. 0.1C. 0.7D. 0.8
【答案】A
【解析】
【分析】由，可求出，进而可求出.
【详解】因为事件和互斥，所以,
则，故.
故答案为A.
【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解能力，属于基础题．
6. 已知正四面体的各棱长为1，点是的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把表示为，然后再求数量积．
【详解】由题意，四面体是正四面体，每个面都是正三角形，
∴．
故选：A.
【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把表示为，然后计算即可．
7. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得分，未击中目标得分．若甲、乙两人射击命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立事件概率乘法公式，结合各射击一次得分之和为的概率构造方程求解即可.
【详解】记甲、乙两人各射击一次的得分之和为，
则，解得：.
故选：C.
8. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，样本点总数为36，可列举出满足条件的样本点共16个，由古典概型的概率公式，即得解
【详解】记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，
则事件A包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，
而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．
因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A. 2个球都是红球的概率为
B. 2个球不都是红球的概率为
C. 至少有1个红球的概率为
D. 2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.
【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，
对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，
对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误，
对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，
对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．
故选：ACD．
10. 下列各对事件中，、是相互独立事件的有（ ）
A. 掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数”
B. 袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”
C. 分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”
D. 一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”
【答案】CD
【解析】
【分析】利用独立事件的定义可判断AC选项；利用事件的关系可判断BD选项.
【详解】对于A选项，掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，
事件“出现的点数为偶数”，则事件“出现的点数为奇数且为偶数”，
所以，，又因为，所以，，
所以，、不相互独立，A不满足；
对于B选项，袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，
事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”，
由题意可知，事件的发生影响事件的发生，故、不相互独立，B不满足；
对于C选项，分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”，
则事件“两枚硬币都正面向上”，则，
又因为，，则，
所以，、相互独立，C满足；
对于D选项，一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”，
第一次为正面对第二次的结果不影响，因此，、相互独立，D满足.
故选：CD.
11. 若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由互斥事件的概率性质列不等式组求解即可；
【详解】解: 由题意可知，
即，即，
解得，
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 平行六面体中，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】画出图象，根据向量的加、减法的法则求解即可．
【详解】,,
，则.
故答案为：-3.
13. 在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】
“取得两个同颜色的球”是由“取得两个红球”与“取得两个绿球”的和事件，利用互斥事件的概率公式求出概率； “至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率．
【详解】取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球故取得两个同颜色的玻璃球的概率；
“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”
故至少取得一个红玻璃球的概率
故答案为：；
【点睛】本题考查互斥事件的概率公式；对立事件的概率公式，属于基础题．
14. 在一次三人象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者.则乙连胜四局的概率为____.
【答案】0.09.
【解析】
【分析】当乙连胜四局时，对阵情况是第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜，然后利用概率公式进行求解即可
【详解】当乙连胜四局时，对阵情况如下：
第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．
所求概率P1=（1﹣0.4）2×0.52=0.32=0.09
∴乙连胜四局的概率为0.09
【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.
【答案】（1），是古典概型（2）;;
【解析】
【分析】
（1）确定样本空间中试验结果是不是有限，每个试验结果是不是等可能的即可．
（2）用列举法再写出事件所含基本事件的个数，从而可计算出概率．
【详解】解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与II号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示I号骰子出现的点数是m，数字n表示II号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
（2）因为，所以，从而；
因为，所以，从而；
因为
，所以，从而；
【点睛】本题考查样本空间，考查古典概型，属于基础题．
16. 某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；
（2）若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率.
【答案】（1） ，680人
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再估计出满意度打分不低于分的人数；
（2）首先求出打分在和内人数，再用列举法列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，，
解得.
该校学生满意度打分不低于分的人数为 .
【小问2详解】
由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，
抽取的人采用分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人.
设内的人打分分别为，，内的人打分分别为，，，
则从的受访学生中随机抽取人，人打分的基本事件有：
，，共种.
其中两人都在内的可能结果为，
则这人至少有一人打分在的概率.
17. 如图，正三棱柱中，底面边长为.
（1）设侧棱长为，求证：；
（2）设与的夹角为，求侧棱的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证；
（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.
【小问1详解】
由已知得，，
平面，
，，
又是正三角形，
,
；
；
【小问2详解】
由（1）得，
又，
，
，
解得，
即侧棱长为.
18. 已知四边形为正方形，是四边形所在平面外一点，在平面上的射影恰好是正方形的中心，是的中点，求下列各题中，的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出．
（2）利用向量三角形法则及其向量相等即可得出．
【小问1详解】
由图可知，
，
．
【小问2详解】
，
.
，
，
.
，．
19. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）写出甲、乙抽到牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）游戏不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意写出所有抽牌情况即可；
（2）由古典概率计算即可；
（3）找到甲抽到的牌的数字比乙的大的情况，再由古典概率计算，比较大小即可；
【小问1详解】
分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，
则甲、乙抽到牌的所有情况为，共12种不同的情况.
【小问2详解】
甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，
因此乙抽到牌的数字比3大的概率是，
【小问3详解】
甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况，
因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.
因此＜，所以此游戏不公平.