重庆市2023_2024学年高三数学下学期第二次月考试题含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高三数学下学期第二次月考试题含解析，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分: 150分时间: 120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则集合为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用韦恩图即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：C.
2. 已知向量则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用投影向量的定义结合已知条件求解即可.
【详解】由投影向量公式得向量在向量上的投影向量为.
故选：D
3. 记为等差数列的前项和，若则数列的前2024项和为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件求出数列的首项与公差，得到数列通项，裂项相消求数列的前2024项和.
【详解】设的公差为d，由得
解得，所以.
则
数列的前2024项和为:
．
故选：A
4. 北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有5辆车停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（ ）种．
A. 120B. 240C. 480D. 960
【答案】C
【解析】
【分析】从8个车位里选择5个相邻的车位，再从中选一种方式将5辆车相邻停放，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.
【详解】从8个车位里选择5个相邻的车位，共有4种方式，
即选，
选一种方式将5辆车相邻停放，有种方式，
则不同的泊车方案有种，
故选：C.
5. “古典正弦”定义为：在如图所示单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出的“古典正弦”值.
【详解】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则，
所以.
故选：B
6. 一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答.
【详解】依题意，由，，得，即，
则有，解得，，
所以带宽为.
故选：D
7. 如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解余弦值，再利用二倍角公式求出答案即可.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系得：，
，而的夹角为
又
则，
由于，
故选：B.
8. 已知分别是双曲线的左，右顶点，是双曲线上的一动点，直线，与交于两点，的外接圆面积分别为，则的最小值为（）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】容易知道，设直线的方程为：，则直线的方程为：，求出，两点坐标，则，设的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值.
【详解】由已知得，，，由双曲线的对称性，不妨设在第一象限，
所以，，
所以，
设直线的方程为：，则直线的方程为：，
同时令，则，，
所以，
设的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，
，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：若、分别为双曲线左、右顶点，为双曲线上一动点，则直线与直线的斜率之积为定值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则（）
A.
B. 回归直线必过点
C. 加工60个零件的时间大约为
D. 若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化
【答案】BC
【解析】
【分析】求得数据的样本中心点可判断B；结合回归方程可求出可判断A；将代入回归方程求得预测值可判断C；根据恒过，可判断D.
【详解】，，
所以恒过，所以，
解得：，故A错误；B正确；
所以，令，则，
故加工60个零件的时间大约为，故C正确；
因为恒过，
所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D错误.
故选:BC.
10. 在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）
A.
B. 若，则
C.
D. 若，且，则△为等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状.
【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；
B：当时，有，错误；
C：，而，即，由正弦定理易得，正确；
D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为，易知△为等边三角形，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.
11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（）
A.
B. 为奇函数
C.
D
【答案】ACD
【解析】
【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.
【详解】对A：令，，则，
因为，所以，故A正确；
对B：令得：，结合可得，
所以为偶函数，故B错误；
对C：令可得：，因为，
所以，
进一步可得：，
又，，故，
故，依次有,
所以，故C正确；
对D：令可得：;
用代替，得：，
结合C的结果，可得：，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 复数则______
【答案】##
【解析】
【分析】对题目中复数进行化简，求出共轭复数，再求目标式的值即可.
【详解】由题意得，故，
可得，则，
故答案为：
13. 已知抛物线过点，则拋物线的准线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】代入，得到，求出准线方程.
【详解】由题可得，，故.
故拋物线的准线方程为.
故答案为：
14. 己知正实数满足则当取得最小值时，______
【答案】
【解析】
【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解即可.
【详解】设点与点之间的距离为，则，
易知的几何意义是点与点之间的距离的平方，
点在以为圆心，半径为的圆上，又，则，
设点与点之间的距离为，则，
故，当且仅当时取等，
此时取得最小值，由点与圆的位置关系得，此时，
代入得，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于的取值．再利用点与圆的位置关系确定此时也取得最小值，然后将代入目标式，得到所要求的结果即可．
四、解答题：本题共5 小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. “村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关?
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望.
附:
【答案】（1）有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据男女生各名及表中数据即可填写列联表，然后根据计算从而求解.
（2）根据题意可知的所有可能取值为，列出分布列，计算出期望从而求解.
【小问1详解】
依题意，列联表如下：
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
观测值为，
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.
【小问2详解】
依题意，的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
数学期
16. 如图1，在四边形中，，，，将沿着折叠，使得（如图2），过D作，交于点E．
（1）证明：；
（2）求；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理逆定理推出，，证明平面，根据线面垂直的性质定理，即可证明结论；
（2）作于H，解三角形求出相关线段长，根据等面积法，可求得答案；
（3）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：由题意有，，，，，
注意到，，
所以，，
因为，平面，
所以平面，又平面，
所以；
【小问2详解】
如图，作于H，则，，
由于，则；又，
故，则，
设，
由，得，
解得，即；
【小问3详解】
由以上分析可知两两垂直，
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由上述分析知，
故，
得，，，
所以，，，
设是平面的法向量，则，
即，令，可取，
设是平面的法向量，则，
即，可取，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）令，为数列的前项积，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；
（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证.
【小问1详解】
由是首项为、公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故
，
当时，，符合上式，
故；
【小问2详解】
由，，
故，
则
，
由，
故，
则.
18. 已知P为平面直角坐标系xOy上的动点，记其轨迹为曲线C.
（1）请从以下两个条件中选择一个，求对应曲线C的方程.
①已知点，直线，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为;
②已知点A是圆F上的任意一点，点F为圆F的圆心，点与点F关于原点对称，线段的垂直平分线与线段AF交于点P；
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分.
（2）延长OP至，使，点的轨迹为曲线E，过点P的直线交曲线E于M，N两点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】1）利用直接法得到，整理化简即可;结合题意可得，利用椭圆的定义求解即可；
（2）利用相关点法求出曲线的方程为，设出直线的方程，联立椭圆方程，表示出面积，整理计算即可.
【小问1详解】
若选①，设，且动点到直线的距离为，
结合题意可得：，整理得，
所以曲线的方程为：.
若选②, 由圆，可得圆心，半径，
因为点与点关于原点对称，所以，
因为线段的垂直平分线与线段交于点，
所以，而，
所以,
故点是以中心在原点，长轴长为4，焦距为2的椭圆,
结合椭圆的定义可知：解得
故曲线的方程为：.
【小问2详解】
结合上问可知曲线的方程为：.
设，，由，得，即
即，因为点在曲线上，所以，
整理得，所以曲线的方程为.
当直线的斜率不存在时，此时，故此时直线为，
联立，可得，
此时，
当直线的斜率存在时，设直线为，设,
联立，可得，
因为
所以，
所以，
点到直线的距离为，
所以面积，
即，
因为点在曲线上，所以直线与曲线有公共点，
联立，可得，
因为
所以，所以，
令，则，
则,
结合复合函数的单调性可知. 在单调递增；
所以当时，面积有最大值，
因为，所以.
综上所述：面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
（1）证明：有唯一零点，且；
（2）现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
……
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
（i）设，求的解析式(用表示)；
（ii）证明：当，总有.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得；
（ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据证明即可得答案.
【小问1详解】
证明：，定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且.
【小问2详解】
解：（i）由（1）知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即
令得
所以，切线与轴的交点，即，
所以，.
(ii)对任意的，由（i）知，曲线在处的切线方程为：
，故令，
令
所以，，
所以，当时，单调递增，当时，单调递减；
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由（i）知，，且当时，，
（若，则，故任意，显然矛盾）
因为是的零点，
所以
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，
所以，
综上，当，总有
【点睛】本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数，进而结合函数的单调性证明不等式.
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
20
女生
15
合计
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
0
1
2
3