江苏省扬州市2025-2026学年度高一 第一学期期末调研测试数学试题（原卷+解析）

这是一份江苏省扬州市2025-2026学年度高一 第一学期期末调研测试数学试题（原卷+解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设为正实数，若，则最小值是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
5. 设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 若实数满足，则（ ）
A. 3B. C. 3或D. 3或或-1
8. 设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（ ）
A. 16B. 4C. 2D. 1
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中正确的有（ ）
A. 最小值是2
B. 若，则
C. 若且，则
D. 的最小值是4
10. 已知函数，则下列选项中正确的有（ ）
A.
B. 的图象存在对称中心
C ，且，都有
D. 设，则与图象的所有交点横坐标之和是4
11. 已知函数的最小正周期，且是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，则下列选项中正确的有（ ）
A. 在区间上是单调函数
B.
C. 的最小值为2
D. 是的整数倍
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为____________．
13. 扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________．
14. 设为实数，满足．
（1）___________；
（2）若，则___________．参考数据：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设为实数，集合．
（1）若，求；
（2）已知“若，则”是真命题，求的取值范围．
16. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点．
（1）若，求的值；
（2）若，求值；
（3）若是方程的两根，求实数的值．
17. 已知是上的偶函数．
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性并证明；
（3）若，求的取值范围．
18. 某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元．
（1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值；
（2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由．
19. 已知函数．
（1）若函数的定义域为，求实数的值；
（2）若，求证：；
（3）若，判断函数的零点个数并证明．
2025-2026学年度第一学期高一期末调研测试
数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将中元素依次代入并判断其与的大小关系，再由集合的交运算即可得.
【详解】由，而，
所以.
故选：D
2. 设为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】“”不一定能推导出“”，“”是“”的不充分条件.
“”一定能推导出“”， “”是“”的必要条件.
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得为奇函数，排除C、D项，再由，排除B项，即可求解.
【详解】由，可得，
所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，可排除C、D项，
当时，可得，可排除B项，
所以选项A符合题意.
故选：A.
4. 设为正实数，若，则的最小值是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式可求的最小值.
【详解】因为为正实数，故由基本不等式可得，
故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故选：B.
5. 设为实数，若关于方程有两根，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围.
【详解】关于的方程有两根，且.
，解得.
故选：B
6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图象变换求得，，再结合余弦函数的单调性求解.
【详解】由题意，可得，
因，则，故.
故选：A.
7. 若实数满足，则（ ）
A. 3B. C. 3或D. 3或或-1
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法结合对数的性质可求的值.
【详解】因为，故，
而，故，
设，则，
且即，故（舍）或，
即，
故选：B.
8. 设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（ ）
A. 16B. 4C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先根据，得出，再应用分段函数的解析式得出，最后应用二次函数最值求解.
【详解】因为，则当时，，
因为当时，，又因为当时，，
则，
当时，的最大值是.
故选：D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中正确的有（ ）
A. 的最小值是2
B. 若，则
C. 若且，则
D. 的最小值是4
【答案】BC
【解析】
【分析】应用特殊值法判断A，应用不等式性质计算判断B，C，应用基本不等式及取等条件判断D.
【详解】当时，，所以的最小值不是2，A选项错误；
因为，则，所以，所以，B选项正确；
因为且，则，则，C选项正确；
，当即时取等号，
所以的最小值不是4，D选项错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则下列选项中正确的有（ ）
A.
B. 的图象存在对称中心
C. ，且，都有
D. 设，则与图象的所有交点横坐标之和是4
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据解析式计算可判断A的正误，根据可判断B的正误，根据反例可判断C的正误，根据两个函数的对称性计算交点横坐标之和后可判断D的正误.
【详解】对于A，，故，故A正确；
对于B，，
故的图象关于中心对称，故B正确；
对于C，取，
则，
故，故C错误；
对于D，因为，
故的图象关于中心对称，
又的图象如图所示：
因为，，
，，
故的图象有4个不同的交点，它们关于对称，
故它们的和为，
故选：ABD.
11. 已知函数的最小正周期，且是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，则下列选项中正确的有（ ）
A. 在区间上是单调函数
B.
C. 的最小值为2
D. 是的整数倍
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对称中心和对称轴可求、后可判断CD的正误，再利用代入法可判断B的正误，利用反例可判断A的正误.
【详解】因为是图象一个对称中心，是图象的一条对称轴，
故，其中，故，其中，
故，而，故，故，故C正确；
又，而，
故，因为，
故是的整数倍，故D正确；
，故B正确；
取，，，
,,
故是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴，
故满足题设条件.
当时，，
而在不单调，故在上不单调，
故A错误.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为____________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2）求出a的值，再求f（27）的值.
【详解】幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案为3．
【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
13. 扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________．
【答案】20
【解析】
【分析】利用扇环形的面积和周长列出关于和的方程，求解出即可.
【详解】设，因为扇面的圆心角，所以，，
所以该扇面的周长为，即，整理得：.
扇形的面积，扇形的面积，
所以扇面的面积.
又 ，解得，即.
故答案为：20
14. 设为实数，满足．
（1）___________；
（2）若，则___________．参考数据：
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】（1）通过构造函数，利用函数单调性来求解的值.
（2）先根据已知条件确定的范围，再结合零点存在性定理确定的范围，进而得到的值.
【详解】构造函数，因为和均是上的增函数，
也是上的增函数，方程的解唯一.
构造函数，因为和均是上的增函数，
也是上的增函数，方程的解唯一.
将方程中的替换成，得到，即，
由于是上的增函数，，，即.
将代入中，得到，即.
由于，.
，.
，，即.
该区间是的子集，.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设为实数，集合．
（1）若，求；
（2）已知“若，则”是真命题，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合后利用并集的定义可求；
（2）根据真命题可得集合的包含关系，从而得关于的不等式组，故可求其范围.
【小问1详解】
因为．当时，，
所以.
【小问2详解】
因为“若，则”是真命题，所以，
所以，
所以且，解得：.
16. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若是方程的两根，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义及同角三角函数关系求解即可.
（2）先利用诱导公式对所求式子化简 ，再切化弦求出答案.
（3）先利用三角函数定义写出，再根据韦达定理写出和，再根据列出关于方程，求解出.
【小问1详解】
由三角函数的定义可知，
因为，所以，
又，.
【小问2详解】
由三角函数的定义可知，
．
故原式.
【小问3详解】
由三角函数的定义可知.
因为是方程的两根，
，得或.
，即.
又.
可得，即，解得：或（舍）.
17. 已知是上的偶函数．
（1）求实数的值；
（2）判断在上单调性并证明；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）法一，根据偶函数性质，利用特殊值建立方程求，再检验即可，法二，利用偶函数的定义建立方程，直接求解即可；
（2）判断函数单调性，再利用定义证明即可；
（3）由奇偶性、单调性解不等式即可.
【小问1详解】
方法一，因为是上的偶函数，
所以，所以，解得：，
检验：时，，所以，
所以，所以是偶函数，
综上.
方法二，因为是上的偶函数，
所以在上恒成立，
所以，
整理得：，所以.
【小问2详解】
任取，
因为，所以，所以，
所以，即，因此在上单调递增．
小问3详解】
因为是上的偶函数，所以，
因为在上单调递增，，
又，
所以，解得：.
18. 某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元．
（1）若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值；
（2）为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由．
【答案】（1）384 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）设B礼包共份，求出总成本建立不等式求解即可；
（2）由题意，建立两个不等式，根据不等式恒成立求解，取交集即可得解.
【小问1详解】
由题意知，B礼包共份，每份成本为元，
则，
整理得：，解得：，
因为，所以调整后的最大值是384.
【小问2详解】
假设存在实数满足要求，
由题意得：对恒成立．①
对恒成立．②
对于①，整理得：对恒成立，
所以且，
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
所以；
对于②，整理得：对恒成立
所以且，
又因为，当时，，所以，
综上，，即存在满足条件，其取值集合为.
19. 已知函数．
（1）若函数的定义域为，求实数的值；
（2）若，求证：；
（3）若，判断函数的零点个数并证明．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）有且仅有一个零点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由的解集为，即可求解；
（2）由，，即可求证；
（3）分，和结合函数单调性及零点存在性定理讨论即可.
【小问1详解】
因为的定义域为，
所以的解集为，
即的解集为
所以，
解得：.
【小问2详解】
时，，
，又，所以.
【小问3详解】
有且仅有一个零点，证明如下：
时，，
时，因为在上单调递增且图象不间断，
，
所以在上有且仅有一个零点；
时，，所以，
所以在上没有零点；
时，，
所以在上没有零点；
综上，在上有且仅有一个零点.