湖南省郴州市2025-2026学年高一上学期期末教学质量监测数学试题（原卷+解析）

这是一份湖南省郴州市2025-2026学年高一上学期期末教学质量监测数学试题（原卷+解析），共20页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡， 已知都是锐角，，则， 已知函数，下列说法正确的是， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 命题：“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列选项中表示同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D
4. 函数零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知幂函数在上单调递增，则实数（ ）
A B. C. D.
6. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知都是锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 的图象关于轴对称
C. 在定义域上是减函数
D. 的值域为
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 对任意
11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，设函数，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意整数，满足
B. 当时，的值域为
C. ，有恒成立，则实数
D. 若，则实数的取值范围是
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 计算：__________.
13. 设函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为__________.
14. 如图，正方形的边长为分别为边上的点.当的周长为4时，则的大小为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 已知函数的最小正周期是.
（1）求常数的值及函数图象的对称轴方程；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若存在使得成立，求的取值范围.
17. 习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完.
（1）试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式；
（2）当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
18. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）试判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求函数值域.
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）已知，
（i）当时，函数有4个不同的零点，求的值；
（ii）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
2025年下学期期末教学质量监测
高一数学
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有四道大题，共19道小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 命题：“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题即可得出答案.
【详解】由题意可知；命题：“”的否定是.
故选：D
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法，结合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A
3. 下列选项中表示同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的定义域和表达式是否相等，进而求解.
【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，故A错误；
对于B，的定义域为，的定义域为，故B错误；
对于C，由，所以的定义域为，
由或，所以的定义域为，故C错误，
对于D，和的定义域均为， 又，所以对应关系相同，所以和表示同一个函数，故D正确；
故选：D.
4. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数零点存在性定理求解即可.
【详解】，
，函数在区间上有零点，
故选：B.
5. 已知幂函数在上单调递增，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，
当时，，该函数在上单调递增，符合题意；
当时，，该函数在上单调递减，不符合题意，
所以.
故选：C
6. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可.
【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意；
当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件：
，
综上所述：实数的取值范围是.
故选：B
7. 已知都是锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可.
【详解】因为都是锐角，
所以，又因为，
所以，
，
因此
，
因为是锐角，
所以.
故选：B
8. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 的图象关于轴对称
C. 在定义域上是减函数
D. 的值域为
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域可判断A；根据函数的奇偶性可判断B，根据复合函数的单调性可判断C，根据复合函数的值域可判断D.
【详解】令，所以的定义域为，故A错误；
，所以的图象不关于轴对称，故B错误；
令，则函数在上单调递减，又因函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，故C正确；
因为，所以的值域为，故D错误.
故选：C
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可判断A，利用指数函数单调性即可判断B，利用作差法即可判断C，利用换底公式结合对数函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A，由，，所以，故A正确；
对于B，由，在上单调递增，所以，故B错误；
对于C，由，
又，所以，所以，
所以，故C正确；
对于D，由，又在单调递增，
所以，所以，即，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知角的终边经过点，将角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到角的终边，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 对任意
【答案】BC
【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义可判断A；根据与的关系可判断B；根据与的关系结合可判断C；分和可判断D.
【详解】对于A：或，故A错误；
对于B：因为角是由角的终边绕坐标原点逆时针旋转得到，
所以，，故B正确；
对于C：若，则点在第一象限且，所以，
又因为，
所以，故C正确；
对于D；由C可知，当时，，
当时，点在第三象限，，
则，此时，
所以对于任意，或，故D错误.
故选：BC
11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，设函数，下列说法正确的是（ ）
A. 对任意整数，满足
B. 当时，的值域为
C. ，有恒成立，则实数
D. 若，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，设，其中，，分别写出与的值并比较即可；
对B，拆分的区间，分别求出在不同区间的值域，综合即可得到在的值域；
对C，由B可知在的值域，只需令大于这个值域的最大值即可；
对D，设，其中，，对范围分类讨论，即可化简，求出的取值范围.
【详解】对A，设，其中，，则，，A对；
对B，时，，，此时，
同理，时，；时，；时，，
综上，时，，B错；
对C，如前所述，时，，故若，恒成立，则，C对；
对D，设，其中，，
时，，
则可化为，解得，不是整数，舍去；
时，，
则可化为，解得，故
即，D对.
故选：ACD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 计算：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数运算和对数运算的公式即可求解.
【详解】原式.
故答案为：
13. 设函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对勾函数的单调性即可求解.
【详解】因在单调递减，在单调递增，
又由在上单调递增，所以，即，又，
所以，
即.
故答案为：.
14. 如图，正方形的边长为分别为边上的点.当的周长为4时，则的大小为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设，，然后求得，，再根据的周长求得即可得解.
【详解】设，，则，，，，
，所以，
即，两边平方整理得，
即，因为，所以，所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求，再根据集合的并集运算即可求解；
（2）由得，解出即可求解.
【小问1详解】
当时，，所以或，
所以或；
【小问2详解】
由有，
所以实数的取值范围为.
16. 已知函数的最小正周期是.
（1）求常数的值及函数图象的对称轴方程；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，若存在使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦、正弦二倍角公式、辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数形式，结合正弦型函数的最小正周期公式、对称性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的变换性质，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【小问1详解】
，
因为函数的最小正周期是，，
所以，即，
由，
所以函数图象的对称轴方程；
【小问2详解】
因为函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，
所以，
，
即，
因为存在使得成立，
所以只需大于等于的最小值，即
所以的取值范围为.
17. 习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完.
（1）试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式；
（2）当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据利润、成本、售价之间的关系进行求解即可；
（2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可.
【小问1详解】
由题意可知：
.
当时，
；
当时，
，
所以2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式：
【小问2详解】
当时，
，
当时，函数有最大值；
当时，
，
当且仅当时取等号，即有，
所以当时，函数有最大值，
综上所述：
2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）试判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求函数的值域.
【答案】（1）
（2）在上是增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由解出，检验是否为奇函数即可；
（2）定义法证明函数单调性即可；
（3）由为奇函数得，先求值域，进而求解.
【小问1详解】
由是上的奇函数，所以，
解得，
当时，，
所以，
所以是奇函数；
【小问2详解】
由（1）有，在上是增函数；
证明如下：任取，且，
所以
，
因为所以，
又在单调递增，所以，即，
又，所以，即，
所以在上是增函数；
【小问3详解】
因为为奇函数，所以，
所以，
又，令，即，
所以，所以的值域为，
所以的值域为.
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）已知，
（i）当时，函数有4个不同的零点，求的值；
（ii）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）根据题中性质，结合函数图象变换的性质和奇函数的定义进行求解即可；
（2）（i）根据函数的对称性进行求解即可；
（ii）对不等式化简，结合二次函数最值性质，利用换元法进行求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
设，
因为，
所以是奇函数，
所以函数图象的对称中心为；
【小问2详解】
（i）当时，，该函数的定义域为不等于的全体实数.
设，该函数的定义域为全体非零实数，
因为，
所以函数是奇函数，
所以根据定义可知函数的对称中心为，
而函数的对称中心也是，
由，
因为函数有4个不同的零点，
所以函数有四个不同的交点，
因为这两个函数的图象都关于对称，
所以这四个交点必有两对关于点对称的点，
所以.
（ii）当时，
由
令，则，
原不等式化为：，
二次函数，对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递减，所以当时，有，
所以要想对任意的，不等式恒成立，
只需，所以实数的取值范围为.