湖南省郴州市2024-2025学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷（解析版）

这是一份湖南省郴州市2024-2025学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（· ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，又，故.
故选：B.
2. 已知实数满足，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，又，
故，即.
故选：D.
3. 已知，则是（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，但，故是的充分不必要条件.
故选：B.
4. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
又，在R上单调递增，故，即，所以.
故选：A.
5. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的图象如下：
显然的单调递增区间为.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
7. 已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画出的图象，
显然当时，方程恰有三个不同的实数解，C正确，ABD错误.
故选：C.
8. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】C
【解析】因为函数是上的奇函数，那么.
已知当时，，所以，解得.
此时.
已知，则.
用代替可得：.
所以，这表明函数的周期.
因为，所以.
由可得.
又因为是奇函数，所以.
当时，，则，所以.
因为，所以.
那么.
所以的值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】对于A，取，，A错误；
对于B，若，则，，B正确；
对于C，若，，则，C正确；
对于D，若，则，
则，D错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定形式是“”
B. 函数（且）的图象过定点
C. 方程的根所在区间为
D. 若命题“恒成立”为假命题，则“或”
【答案】BCD
【解析】A选项，命题“”的否定形式是“”，A错误；
B选项，令，故，此时，
（且）的图象过定点2,1，B正确；
C选项，令，显然其在R上单调递减，
又，，
故的零点在内，
故方程的根所在区间为，C正确；
D选项，命题“恒成立”为假命题，
则命题“成立”为真命题，
故，解得或，D正确.
故选：BCD.
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若上恰好有三个零点，则
D.
【答案】ACD
【解析】A选项，设的最小正周期为，由图象可知，，
即，A正确；
B选项，由图象可知，故，
将代入解析式得，即，
又，故，解得，B错误；
C选项，由B知，，
当时，，
在上恰好有三个零点，故，解得，C正确；
D选项，由A知，的最小正周期为6，
其中，
，，，
故，
所以
，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数为偶函数，则___________．
【答案】
【解析】根据幂函数定义知，，解得或，
当时，，为奇函数，不合要求，
当时，，定义域为，
故，满足为偶函数，满足要求.
13. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】的图象向左平移个单位后，
得到，
从而，解得，
又，故当时，取得最小值，最小值为.
14. 已知函数，且，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】设.
证明是奇函数：
，则.
根据对数运算法则，可得.
由于.
所以，即，所以是奇函数.
证明是增函数：在上单调递增，在上单调递增，
则在上单调递增,又因为对数函数在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，在上单调递增.
又是奇函数，故在上单调递增.
已知，即，也就是.
因为是奇函数，所以.
因为在上单调递增，，所以.
移项可得，即，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1），
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为或.
（2），当时，，解得，
当时，或，
解得或，
故实数的取值范围为或.
16. 已知．
（1）求的最小正周期与单调递增区间；
（2）已知，角的终边与单位圆交于点，求．
解：（1），
故的最小正周期为，
令，，解得，，
故单调递增区间为.
（2），即，
因为，所以，故，解得，
角的终边与单位圆交于点，故，
所以
.
17. 某地开展乡村振兴计划，鼓励村民返乡创业.老李响应政府号召，打算回家乡种植某种水果．经调研发现该果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：
且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本（如树苗费、人工费等）元．已知单株施肥量为7千克时，产量为千克，这种水果的市场售价为20元/千克，且都能卖完，记该果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的值及函数的解析式；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
解：（1）已知单株施肥量为7千克时，产量为千克，
故，解得，，
当时，，
当时，，
故.
（2）当时，，
对称轴为，开口向上，故当时，取得最大值，
最大值为，
当时，
，
由基本不等式得，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
由于，故当单株施肥量为4千克时，该果树的单株利润最大，
最大利润是400元.
18. 已知为偶函数．
（1）求；
（2）设，对，都有成立，求的取值范围．
解：（1）因为为偶函数，
所以，即，
即，
其中，
故，解得.
（2）对，都有成立，
只需在上的最大值小于等于
在上的最小值，
其中，
由复合函数性质得在上单调递增，
故最小值为，
开口向下，对称轴，
当时，在上单调递减，最大值为，
故，解得，结合与可得；
当时，在上单调递增，
在上单调递减，故最大值为，
故，解得，
结合与可得，
当时，在上单调递增，
故最大值为，故，解得，
结合和，此时无解，
综上，的取值范围为.
19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数是“依赖函数”．
（1）判断是否是“依赖函数”，并说明理由；
（2）若在定义域上是“依赖函数”，求的值；
（3）已知函数中在定义域上是“依赖函数”，记，若的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围．
解：（1）不是“依赖函数”，理由如下：
当时，，则，
故，解得，
所以不是“依赖函数”.
（2）时，，显然，解得，
在定义域上单调递增，且，
由题意得，当时，，
要想满足存在唯一的使得，
则，，解得.
（3）当时，，
故对于，不存在，使得，
在定义域上不是“依赖函数”，
当时，在上单调递增，
要想在定义域上是“依赖函数”，
需满足，即，
解得（舍去）或0，
故，
若，则的解集为，
的解集中恰有两个整数，故，
若，此时的解集为，不合要求，
若，则的解集为，
的解集中恰有两个整数，故，
综上，实数的取值范围是或.