重庆市荣昌区2025--2026学年第一学期九年级期末数学试题（含解析）

这是一份重庆市荣昌区2025--2026学年第一学期九年级期末数学试题（含解析），共32页。
注意事项：
1．答题前、务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上；
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；
3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；
5．本卷中，计算结果如果是无理数，在没有特殊说明的情况下，保留根号或π．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分）每一个小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号填涂在答题卡的相应位置上．
1. 的绝对值是（ ）．
A. B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：∵ 当时，，
∴，
故选： C．
2. 以下标识图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形与中心对称图形定义，即可判断.
【详解】解：第一张图既不是轴对称，也不是中心对称；
第二张图是轴对称，不是中心对称；
第三张图既是轴对称，也是中心对称；
第四张图既是轴对称，也是中心对称；
故既是中心对称图形又是轴对称图形的图是第三个、第四个，共2个，
故选：B．
3. 已知方程有一个根是2，则m的值是（ ）
A. 9B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据题意，是方程的一个根，将其代入方程即可求解m．
【详解】解：由题意可知，是方程的根，
代入得，
即，
整理得，
解得．
故选：C．
4. 已知，分别是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A. B. C. 3D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系：，直接计算两根之积即可解答．
【详解】解：∵，分别是方程的两个实数根，其中，，，
∴两根之积．
故选：B．
5. 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴为直线是解题的关键．
直接利用二次函数顶点式的性质求解即可．
【详解】解∵，
∴ 对称轴为直线．
故选A．
6. 如图，，是半径，，点是上一点，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
得出优弧所对的圆心角，即可得出的度数．
【详解】解：∵劣弧所对的圆心角为，
∴优弧所对的圆心角为，
故优弧所对的圆周角，
故选D．
7. 下列事件：①在一男三女四个同学中，随机抽取一人上台演讲，抽到的是女同学；②翻开数学书，恰好翻到奇数页；③射击运动员射击一次，命中靶心．其中必然事件的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据概念逐项判断每个事件是否为必然事件即可解答．
【详解】解：①∵总共有4个同学，其中1男3女，∴抽到女同学不是必然事件；
②∵书的页码有奇数和偶数，∴翻到奇数页不是必然事件；
③∵射击运动员可能命中也可能不命中靶心，∴命中靶心不是必然事件；
∴三个事件都不是必然事件，必然事件的个数为0．
故选：A．
8. 如图，中，，，，以点为圆心、为半径画弧，分别交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则图中阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式，平行四边形的性质，含的直角三角形，勾股定理，明确题意，熟知知识点是解决本题的关键．
过点作交于点，由勾股定理，可求出的长度，再利用的面积减去扇形、扇形的面积即可得出答案．
【详解】解：过点作交于点，如下图所示：
∵，，
∴，
得，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积为，
扇形的面积为，
的面积为，
∴阴影部分面积为，
故选D．
9. 如图，矩形中，，，点E为边的中点，将线段绕点E旋转得到线段，点F恰好落在对角线上，连接，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，先利用勾股定理求得，通过旋转的性质，结合等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而可得；过点B作于点H，易证，然后根据相似三角形对应边成比例，可求得、、，从而得到，最后利用勾股定理即可解得．
【详解】解：如图，连接，
∵点E为边的中点，将线段绕点E旋转得到线段，点F恰好落在对角线上，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵矩形中，，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点B作于点H，如图所示，
则，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
故选：B．
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线构建相似三角形是解题的关键．
10. 对于实数（且）进行如下n次操作：；；；…；．下列说法：①若，则；②若是整数，则；③的值可能为．其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减乘除运算、解一元二次方程，根据题意找出数字的变化规律解题的关键．根据题意找规律，再进行分式的运算求解．通过代数简化发现序列具有周期性：当为奇数时，当为偶数时，周期为，据此分析各说法．
【详解】解：∵，
，
类似地，，，故序列周期为.
①∵，∴若，则，正确.
②∵，∴若为整数，设（整数），则，当时，错误．
③总和，共项（偶数），每对和，
∴，若S等于，则，即，
∵，
∴此方程无实数解，错误．
∴仅①正确．
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. “荣昌四宝”是指荣昌折扇、荣昌陶、荣昌夏布、荣昌猪，现从某文创商店这“四宝”文创书签中挑选种作为纪念，则挑选到“荣昌猪”的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
用分别表示荣昌折扇、荣昌陶、荣昌夏布、荣昌猪，先画树状图展示所有种等可能的结果，再找出选到“荣昌猪”的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：用分别表示荣昌折扇、荣昌陶、荣昌夏布、荣昌猪，
画树状图：
共有种等可能的结果，挑选到“荣昌猪”（）结果数为种，故挑选到“荣昌猪”的概率是．
故答案为：．
12. 若m为正整数，且满足，的值是_____
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键．
通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答．
【详解】解：∵ ， ，且，
∴，
∵
∴，即．
故答案为：16．
13. 用一条的长绳围成一个面积为的矩形，则矩形的长与宽之差是______m．
【答案】2
【解析】
【分析】此题主要考查了方程组的应用，完全平方公式，掌握和的完全平方与差的完全平方之间关系是解题关键．
设矩形的长为x米，宽为y米，根据周长和面积列出方程组，利用完全平方公式求差．
【详解】解：设长为x米，宽为y米，
则，即，
，
，即长与宽之差为．
故答案为：2．
14. 若实数m，n同时满足，，的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值、绝对值方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
由第二个方程解出n关于 m 的表达式，再代入第一个方程，根据绝对值的性质分两种情况分别求出m和n的值，然后代入求的值即可．
【详解】解：由，得．
代入，得，即．
当时，，解得：，不符合，舍去；
当时，，解得：，符合条件．此时．
验证：，均满足．
故．
故答案为 ．
15. 如图，中，，，以为弦作恰好与边相切于点B，点E为的中点，连接交于点F，则的半径长度是______，的长度是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，圆的性质，圆切线的定义，解直角三角形及相似三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．
连接，先证三点共线，得到，设半径为，在中，利用勾股定理可得，过作交于，设，则，在中，利用勾股定理解得，进而得到，再根据即可求解．
【详解】解：连接，
点E为的中点，
，
又恰好与边相切于点B，
，
为平行四边形，
，，
，即三点共线，
，
设半径为，则，
在中，，即，
解得，
过作交于，
，
，即，
设，则，
，，
在中，，
即，整理得，
解得或（舍去），
，
，
．
故答案为：；．
16. 如果一个四位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“双九数”．例如四位数5247，各位数字互不相等且均不为0，满足，∴5247是“双九数”．最小的“双九数”是______；若一个“双九数”除以7余数为2，则满足条件的“双九数”的最大值与最小值的差是______．
【答案】 ①. 1287 ②. 6930
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义应用，整式的加减等知识点，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键．
对于第一个空，寻找最小的四位数，满足条件且，且数字互不相等且不为0．由于a为千位数字，从1开始尝试，令，则；为使数最小，b取最小值2，则，得到1287，且数字互异，故最小“双九数”为1287．对于第二个空，首先推导“双九数”的一般表达式为，由除以7余数为2，结合，，得到除以7余数为1．枚举a从1到8，求满足除以7余数为1的b值，并验证数字互异条件，得到所有满足条件的“双九数”分别为1584，4356，5742，6435，7128，7821，8514，其中最小值为1584，最大值为8514，差值为6930．
【详解】解：对于第一个空：由于a是千位数字，且数字不为0，故．
要使数最小，a取1，则．
b需满足与a和c数字不同，且不为0，
则b最小取2，则．
此时数字1，2，8，7互不相等，故最小“双九数”为1287．
对于第二个空：“双九数”可表示为．
由除以7余数为2，即除以7余数为2．
，，
除以7余数为2，即除以7余数为1．
枚举a从1到8：
时，，数字互异，；
时，，但，无效；
时，，但，即，无效；
时，，数字互异，；
时，，数字互异，；
时，，数字互异，；
时，故或，
时，数字互异，；
时，数字互异，；
时，，数字互异，；
满足条件的“双九数”为1584，4356，5742，6435，7128，7821，8514．
最小值为1584，最大值为8514，差值为．
故答案为：；．
三、解答题：（本大题共9个小题，第17-18小题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 求不等式组：的所有整数解的和．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集，通过解集确定所有整数解，从而确定整数解的和，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
先求出两个不等式各自的解集，然后依据不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找，确定不等式组的解集，找出所有整数解求和即可得．
【详解】解：，
解不等式①，，解得；
解不等式②，，解得；
则不等式组的解为，它的所有整数解为，
因此，不等式组的所有整数解的和为．
18. 在学习了正方形之后，“读写”数学学习小组进行了拓展性研究．他们发现正方形的一个有趣的结论，现在你作为他们小组的同伴，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空：
第一步：作垂线．如图，在正方形中，点E是边上一点，连接．用尺规完成基本作图：过点D作的垂线，交于点G，垂足为点F．
第二步：利用全等证明．
证明：∵四边形是正方形，
∴①______，．
∴．
∵，
∴②______．
∴．
∴③______．
∴．
∴．
【答案】作图见解析；，，．
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
运用尺规过一点作直线的垂线即可完成作图；由正方形的性质可得、，即；由垂直的定义可得，即，进而得到；运用可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】解：如图：即为所求；
证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
故答案为：，，．
19. 我区开展“初中数学阅读”知识竞赛，并从甲、乙两学校学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息：
甲学校抽取的10名学生的竞赛成绩：
82，83，85，87，90，92，92，93，96，97．
乙学校抽取的10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：
91，92，93，94．
甲、乙学校抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为甲乙两个学校中，哪个学校学生知识竞赛成绩更优异?请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）甲学校有600人、乙学校有800人参加了此次知识竞赛，估计这两个学校参加此次竞赛成绩优秀（达到90分）的学生共有多少人?
【答案】（1），，
（2）见解析 （3）840
【解析】
【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数，众数，平均数，方差，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想求解．
（1）用整体1减去其它所占的百分比即可求出，根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可；
（3）根据样本的频率估计总体即可．
【小问1详解】
解：，即，
乙学校名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
，
在甲学校名学生的竞赛成绩中出现的次数最多，
；
【小问2详解】
解：乙学校学生竞赛成绩较好，
理由：虽然甲乙学校的平均分均为分，但乙学校的中位数高于甲学校，
所以乙学校学生知识竞赛成绩更优异．（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：甲学校抽取的10名学生竞赛成绩优秀（达到90分）的学生有人，
估计甲学校600人竞赛成绩优秀有（人）；
乙学校名学生竞赛成绩优秀（达到90分）的学生占，
估计乙学校800人竞赛成绩优秀有（人）；
（人）
估计这两个学校参加此次竞赛成绩优秀（达到90分）的学生共有840人．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先对分式进行化简，再对进行计算得到最终的值，代入即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
∵，
将代入，
原式．
21. 荣昌陶是中国三大名陶之一、我区某荣昌陶销售店有，两种陶产品，已知种产品的售价比种产品的售价多元/件,去年月份最后一周，该店销售的种产品数量与种产品数量相同，产品销售总额为元，比该周产品销售总额多元．
（1）求该店、两种荣昌陶产品的销售单价各是多少元?
（2）今年第一周、该店对这两种产品进行销售处理．与去年月最后一周相比，对种产品售价每降低元、销售数量将增加件，种产品单价提高元销售，销售数量没有变化．该店这两种产品的销售总额比去年月最后一周多元，该店对种产品每件售价降低多少元?
【答案】（1）种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件
（2）
【解析】
【分析】本题考查分式方程与一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．
（1）设种产品销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件，根据题意，列出分式方程，求解即可；
（2）令种产品每件售价降低元，则销售数量将增加件，根据题意，列出一元二次方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件，
故可得方程，
解得，符合题意要求，
故种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件．
【小问2详解】
解：去年月、销售量为件，
令种产品每件售价降低元，则销售数量将增加件，
种产品销售量为件，种产品销售量不变，为件，
根据题意，得出方程
，
化简得，
解得（舍去），
故对种产品每件售价降低50元．
22. 如图1，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位速度沿折线方向运动到点B停止，同时点以每秒0.5个单位的速度，从点A运动到点C，点P停止时点停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为，的面积为．

（1）直接写出，分别关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在图2给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数，相似三角形的判定与性质，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）先分、得到的面积，过作，根据，得到，再计算面积即可；
（2）作出图像，直接写出相关性质即可；
（3）结合函数图象，直接写出x的取值范围即可．
【小问1详解】
，，
，
当时，过作，
，，
，即，
解得，
，
当时，在上，
，
，
当时，一直在上，过作，
，,
，即，
解得，
；
，；
【小问2详解】
图象如下：
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而减小；
【小问3详解】
当时，令，即，
解得，
当时，令，即，
解得，
结合函数图象，直接写出时x的取值范围为或（答案不唯一，合理即可）．
23. 如图，四边形是公园小湖、四边形各边构成环湖步道，点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的正北方向，点在点的北偏西方向，点是步道的中点．测得米，米．（参考数据：，）
（1）计算步道的长度（计算结果保留根号）；
（2）小斌同学步行从去往处，他有两条路线可以选择：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到米）
【答案】（1）米
（2）线路①路程更短
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作交于点，过点作交于点，根据特殊直角三角形的边长关系以及四边形为矩形，先求出、的长度，在计算出、的长度，可得出的长度，即可得出的长度；
（2）分别求出路线①、路线②的路程，进行比较即可得出结果．
【小问1详解】
解：过点作交于点，过点作交于点，如下图所示：
∵点在点的北偏西方向，
∴，
又∵，
得，
∴米，
由勾股定理得，
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，
∴米，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴米，
∴米．
【小问2详解】
解：由（1）可得米，
∵点是的中点，
∴米，
∴线路①的路程为米，
线路②的路程为
米，
∵，
故线路②路程更短．
24. 已知抛物线与轴交于点，与x轴交于点和点，连接．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点是线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交线段于点，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当线段取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
（3）点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）函数表达式为
（2）点的坐标为；的最小值为
（3）当时，点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何综合，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键．
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先得出直线的函数表达式，用表示点、的坐标，得出的长度，求出当最大时对应的值，得出点的坐标，利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴所在直线的对称点，得出，由此判断的最小值为的长度，结合，可求出的长度，即可得到的最小值；
（3）根据点的位置进行分类讨论，对应不同位置的点，过点作交于点，过点作轴于点，过点作的垂线，并交的延长线于点，则有，证明，利用参数表示点 的坐标，由边长等量关系得出用参数表示点的坐标，结合二次函数表达式，可求出对应的点坐标，最后即可得出点对应的坐标．
【小问1详解】
解：∵点、点在抛物线上，
得，解得，
故函数表达式为．
【小问2详解】
解：当时，，
解得或，
故点，
令直线函数表达式为，
将点、代入，
得，解得，
故直线函数表达式为，
令点，则点，
∴，
∴，
故当时，最大，此时，
此时点的坐标为，
作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴所在直线的对称点，如下图所示：
则，，
则，，
∴，
∴的最小值为的长度，
由，，
得，
∴点的坐标为；的最小值为．
【小问3详解】
解：当点在直线下方时，过点作交于点，过点作轴于点，过点作的垂线，并交的延长线于点，则有，如下图所示：
∵，，
∴三角形为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
,
∴，
又∵，
∴，
∴，，
点在直线上，令点坐标为，
∴，，
则，
点的横坐标为，
故点的坐标为，
∵点在抛物线上，
故可得，
解得（舍去）或，
当，，，
此时点的坐标为；
当点在直线上方时，过点作交于点，过点作轴于点，过点作的垂线，并交的延长线于点，则有，如下图所示：
∵，，
∴三角形为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
,
∴，
又∵，
∴，
∴，，
点在直线上，令点坐标为，
∴，，
则，
点的横坐标为，
故点的坐标为，
∵点在抛物线上，
故可得，
解得（舍去）或，
当，，，
此时点的坐标为；
综上，当时，点的坐标为或．
25. 等腰中，，，点为边上一动点，连接．
（1）如图1，若，，当点为边上靠近点的三等分点时，求线段的长；
（2）如图2，当时，以点为直角顶点、为直角边向右作等腰直角三角形，连接，．作关于所在直线对称的，连接，点为中点，连接，猜想、之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当时，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，在点运动过程中，当取得最小值时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）作，垂足为，容易判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理计算即可；
（2）连接、，由轴对称的性质和等腰直角三角形的性质可得，．结合点为的中点，则是的中位线，因此，且．通过证明，可证明和．根据两边对应成比例且夹角相等的判定定理可证明，则；
（3）由旋转的性质可得，，因此最小时，最小．根据垂线段最短，当时，取得最小值，作出此时的点和点．连接，过点作的垂线，交的延长线于点，设，容易判断是等边三角形，结合，可得，．容易证明，则，，使用直角三角形的性质和勾股定理可计算出．使用三角形的面积公式分别计算出和的面积，并求比值即可．
【小问1详解】
解：如图，作，垂足为，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
直角中，，
∵点为边上靠近点的三等分点，
∴，
∴，
在直角中，；
【小问2详解】
解：，证明如下：
如图，连接、，
∵是等腰直角三角形，
∴，，，
∵和关于对称，
∴，，，，
∴
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点为中点，
又∵，即点为中点，
∴为的中位线，
∴，且，
∴，
∵，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由旋转的性质可知，，，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，即取得最小值，
当时，如图，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，设，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴由勾股定理可得，，
∴，
∴．
本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，中位线的性质，勾股定理以及三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质并添加正确的辅助线构造全等三角形是解题关键．学校
平均数
中位数
众数
甲
89.7
91
乙
89.7
84