【数学】重庆市长寿区2024-2025学年九年级上学期期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】重庆市长寿区2024-2025学年九年级上学期期末考试试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
C．，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
D．是一元二次方程，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
2. 以下四个交通标志，其中是中心对称图形（不含下方的文字注释）的是（ ）
A. 直行B. 掉头
C. 十字路口D. 环形车道
【答案】C
【解析】选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故选：C．
3. 如图，点，，都在上，且点在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由圆周角定理可得：，
故选：．
4. 康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（ ）
A. 随机事件B. 确定性事件C. 不可能事件D. 必然事件
【答案】A
【解析】∵经过有交通信号灯的路口，可能遇见绿灯，可能遇见红灯，可能遇见黄灯，
∴经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件．
故选A．
5. 如图，半圆的直径，为圆心，过点作，交弦于点，交半圆于点，且点为的中点，则弦的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
半圆的直径，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
故选：A．
6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上
B. 对称轴是轴
C. 函数有最小值
D. 当时，函数随的增大而增大
【答案】B
【解析】抛物线的开口向下，对称轴为y轴，
当时，函数有最大值，为；
当时，函数值随x的增大而减小．
∴四个选项中只有B选项的说法正确．
故选：B
7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
且，
的最小整数值为2.
故选：D．
8. 如图，这是一把2024年长寿区冬季运动会开幕式中一个表演节目的道具．它是以A为圆心，，为半径的扇形，其展开后夹角为，若的长为，扇面的长为，则展开后的扇面面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
，
．故选：C．
9. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，即：，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴；选项正确，不符合题意；
B、由A知：，
∴，选项正确，不符合题意；
C、抛物线经过点，
∴，即
∴，选项错误，符合题意；
D、抛物线关于直线对称，
∴的函数值等于的函数值，即：，选项正确，不符合题意；
故选C．
10. 依次排列的两个整式，，将第1个整式乘2再加上第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再加上第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再加上第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；…，以此类推，下列3个说法：
①第8个整式为；
②第7次操作后得到的整式的各项系数之和为；
③若，则第2024次操作完成后，所有整式之和为0．
其中正确的结论个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】①第1个整式：，
第2个整式：，
第3个整式：，
第4个整式：，
第5个整式：，
第6个整式：，
第7个整式：，
第8个整式：，故①符合题意；
②根据题意知第7次操作是第9个整式：，整式的各项系数之和为，故②符合题意；
③，
第1次操作是第3个整式：，
第2次操作是第4个整式：，
第3次操作是第5个整式：，
第4次操作是第6个整式：，
……
奇数次操作是，偶数次操作是，
第2024次操作完成后，所有整式之和为0，故③符合题意；
故选：D．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中．
11. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故答案为．
12. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则______．
【答案】
【解析】关于的一元二次方程有一个根为1，
，
则的值为：．
故答案是：．
13. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为______．（精确到0.01）
【答案】
【解析】由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝下”的概率接近，
故答案为：．
14. 一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和是______．
【答案】
【解析】一个多边形的每一个外角都是，多边形的外角和等于，
这个多边形的边数为：，
这个多边形内角和为：．
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，则______．
【答案】
【解析】由点关于原点对称的点的坐标是，
∴，
∴；
故答案．
16. 长寿柚在邻封镇有130多年的种植历史，因其味美又有营养，成为了长寿特产，享誉全国，为长寿经济的发展作出了贡献．2022年，长寿柚年产量为4300万个．近两年，政府加大扶持，传授科学种植，2024年又遇天公作美，长寿柚喜获大丰收，年产量达到6900万个，若设这两年平均增长率为，则可列一元二次方程表示为______．
【答案】
【解析】设2022年与2024年这两年的平均增长率为x，由题意得：
．
故答案为：．
17. 如图，已知绕点顺时针方向旋转到，且点、、共线，交于点，若，时，则______．
【答案】4
【解析】∵绕点A旋转得到，
∴，
∴
．
故答案为：4
18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，并满足，那么称这个四位数为“长寿数”，例如：四位数4128，，是“长寿数”；又如四位数7143，，不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是______；已知“长寿数”（其中），将的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，若能被14整除，则满足条件的的最小值为______．
【答案】①. 2108 ②.
【解析】∵为“长寿数”，
∴，
∵，
∴，
∴最小的“长寿数”是2108；
又∵M可被14整除，
∴M可被2整除，可被7整除，
∴或6或4或2，
由题意得：，且，，，
∵，，
∴，
，
要使尽可能小，即 尽可能小，
∴，此时，十位和百位数字相同，不合题意；
，此时，不能被14整除，不合题意；
，此时，符合题意，
∴，，
∴的最小值为：，
故答案为：2108；．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
19. 解方程：
（1）；
（2）．
（1）解：
开方，得，
∴，．
（2）解：，
∵，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
20. 长寿区某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩为整数），将成绩分为四个组进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分，其中：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息：
初三甲班20名学生的竞赛成绩为：
61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100．
初三乙班20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：82，86，86，86，87，88，89，89．
初三甲、乙两班所抽学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，扇形统计图中圆心角的度数是______；
（2）根据以上数据分析，你认为该校初三甲、乙两班中哪个班级学生的名著知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校准备在甲、乙两班抽查的学生中，各挑选1名名著知识竞赛成绩优异（）的学生，进行读书心得分享，其中初三甲班成绩优异的两名学生是一名男生、一名女生，初三乙班成绩优异的三名学生是一名男生、两名女生，请用树状图或列表法求出挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率．
（1）解：初三甲班20名学生的竞赛成绩中，79分出现次数最多，共4次，所以，众数；
初三乙班所抽学生的竞赛成绩中，A组人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为8人，D组人数为：（人），
最中间的是第10，11个成绩数，即86，87，所以，（分）；
；
故答案为：，，；
（2）解：甲班的学生竞赛成绩较好，理由如下：
甲、乙两班的平均数相同，但甲班成绩的中位数比乙班的大，所以甲班的学生竞赛成绩较好；
（3）解：用Aa，Ab表示初三甲班的一名男生、一名女生，用Ba1，Ba2，Bb表示初三乙班的两名男生、一名女生，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生有3种情况，
所以，挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率为．
21. 学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下：
已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线．
作法：①连接，作线段垂直平分线，交于点；
②以为圆心，以为半径作，与交于两点和；
③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线．
（1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）；
（2）求证：，是的切线，且．
证明：连接，，如图．
为的直径，
①______，
，，
又点，在上，
，是的半径，且，
，是的切线．（经过半径的外端并且②______于这条半径的直线是圆的切线）
在和中，
（④______）（填推理的依据），
．
（1）解：根据题意可作图如下：
（2）证明：连接，，如图．
为的直径，
①，
，，
又点，在上，
，是的半径，且，
，是的切线．（经过半径的外端并且②垂直于这条半径的直线是圆的切线）
在和中，，
（④）（填推理的依据），
．
故答案为：①；②垂直；③；④．
22. 近年来，为了激发新消费潜力，拉动城市消费的新增长，长寿区“光合梦工厂”夜市在长寿时代中心逐渐盛行起来了．某文创产品的摊主从网商处购进、两种文创产品进行销售，其中款产品进价为每个30元，标价为每个45元；款产品进价为每个25元，标价为每个37元．（注：利润售价进价）
（1）该摊主第一次用850元购进、两种文创产品共30个，求将这些产品全部按标价售出后的利润；
（2）临近春节，该摊主打算将款文创产品进行降价销售，若按照标价销售，平均每天可售出4个．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，为了尽快地清空库存，将售价定为每个多少元时，才能使款产品平均每天的销售利润为90元？
解：（1）设购进产品个，购进产品个，由题意得：
解得：
（元）．
答：产品全部按标价售出后的总利润为420元．
（2）设每个产品售价定为元，才能使每天的销售利润为90元，由题意得：
，
化简得：，
解得：，，
因为要尽快清空库存，所以．
答：当售价定为每件元时，才能使款产品平均每天的销售利润为90元．
23. 某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，______；
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；
（3）探究与应用：
①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______；
②结合图象，直接写出关于的不等式的解集．
（1）解：当时，，即；
故答案为：；
（2）解：描点、连线，如图：
（3）解：①由图象知，函数有最小值，且与x轴有3个交点，
∴当函数的图象与直线有4个交点时，，
则方程有4个实数根时，的取值范围是；
故答案为：；
②当时，由得或，
直线与函数有两个交点和，
同一直角坐标系中画直线，如图，
由图可知，当时，由得或，
直线与函数有两个交点和，
故当或时，函数的图象位于直线的下方，
∴不等式的解集是或．
24. 路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线．
（1）如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点和点，且半径和分别为10米和4米，圆心角都为，求比长多少（结果保留）？
（2）如图4，已知五边形是一个商场，为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知和为笔直道路，且米，左转弯导向线和的圆心分别为点和点，且半径和均为10米，圆心角分别为，，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米／秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米／秒，求该小汽车沿着标线从行驶到车库门口的行驶时间为多少秒（取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？
（1）解：的长为：（米），
的长为：
（米），
且（米）．
比长米；
（2）解：的长为：
（米），
的长为：
（米），
则该小汽车沿路线行驶的时间为：
（秒）．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
（1）解：在中，
当时，；
当时，，
解得：，
，，
将，代入中，
得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）解：过点作轴，交于点，如图：
设，则，（其中），
；
由（1）得：，，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
此时，，
；

（3）解：①作交抛物线于点，
，
在中，
，
作于点，

设，，
，，
，
，
，
，
．
整理得：，
解得：（舍去），，
当时，，
；
②作关于轴对称点，
连接，则，
作交抛物线于点，

，
，
，
作于点
设，则，
，，
，
，
整理得，
解得：（舍去），，
当时，，
；
综上所述,点的坐标为或．
26. 在中，，，点线段上一点，连接．
（1）如图1，当时，求线段的长；
（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点是的中点，连接并延长到点，连接，若．
①求证：；
②如图3，连接、、，点从点移动到点的过程中，当取得最小值时，请直接写出的面积．
（1）解：如图，过点A作于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，
由旋转得，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在上截取，连接，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
②如图，连接，
由①得，
∴，
∵，
∴当最小时，的值最小，此时，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过点H作于点M，在上截取，连接，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝下次数
22
46
94
143
236
473
944
1413
2350
盖面朝下频率
0.440
0.460
0.470
0.477
0.472
0.473
0.472
0.471
0.470
班级
初三甲班
初三乙班
平均数
85
85
中位数
88
众数
86
…
0
1
2
3
4
…
…
0
0
0
…