湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版附解析）

湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试

数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．当时，复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

2．曲线与曲线（且）的（    ）

A．长轴长相等     B．短轴长相等     C．焦距相等     D．离心率相等

3．数列的通项若是递增数列，则实数t的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

4．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ）

A．     B．     C．     D．

5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介人，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（    ）（参考数据：）

A．35     B．42     C．49     D．56

6．半径为5的圆O内有一点P，已知，过点P的21条弦的长度构成一个递增的等差数列，则的公差的取值范围为（    ）

A．     B．     C．     D．

7．已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

8．已知函数，则存在，对任意的有（    ）

A．     B．

C．     D．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．已知圆，则下列说法正确的是（    ）

A．直线与圆A相切

B．圆A截y轴所得的弦长为4

C．点在圆A外

D．圆A上的点到直线的最小距离为3

10．已知是的前n项和，下列结论正确的是（    ）

A．若为等差数列，则（p为常数）仍然是等差数列

B．若为等差数列，则

C．若为等比数列，公比为q，则

D．若为等比数列，则“”是“”的充要条件

11．点M是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（    ）

A．满足的点M的轨迹长度为

B．点M存在无数个位置满足直线平面

C．在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是

D．若E是的中点，则平面与平面所成锐二面角的正切值为

12．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，P是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（    ）

A．存在点P，使得

B．存在点P，使得直线的斜率的绝对值之和

C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个

D．若，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．

14．已知直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，，则球的表面积为___________．

15．已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为___________．

16．已知数列满足．

（1）若，则___________；

（2）若对任意正实数t，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的取值范围是___________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，三个点到直线l的距离均为d，且．

（1）求直线l的方程；

（2）若圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面四边形为矩形，平面，E为中点，F为中点，．

（1）证明：平面；

（2）求点E到平面的距离．

19．（本小题满分12分）

8月份，有一新款服装投入某市场．8月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当8月某日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，已知8月31日当天刚好售出3件．

（1）问8月几日该款服装销售最多？最多售出几件？

（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？

20．（本小题满分12分）

已知抛物线，其中，过B的直线l交抛物线C于M，N两点．

（1）当直线l垂直于x轴，且为直角三角形，求实数m的值；

（2）若四边形是平行四边形，当点P在直线l上时，求实数m，使得．

21．（本小题满分12分）

已知数列的首项，且满足．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设数列满足求最小的实数m，使得对一切正整数k均成立．

22．（本小题满分12分）

设椭圆的左焦点为．过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且．

（1）求证：，并求椭圆C的方程；

（2）设是椭圆C上顺时针依次排列的四个点，求四边形面积的最大值并计算此时的的值．

湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试

数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

2．C  【解析】曲线表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8的椭圆．曲线（且）表示焦点在y轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8的椭圆．对照选项，则C正确．

3．A  【解析】由已知得解得．故选A．

4．B  【解析】解法一：

如图，设直线在平面的射影为，

作于点G，于，点H，连接，

有

故．

已知，

故为所求．

解法二：

如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

则，

所以，

设平面的法向量，则

令，则，所以，

所以．

设直线与平面所成角为，所以，

所以．故选B．

5．B  【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，

则每轮新增感染人数为，

经过n轮传染，总共感染人数为：，

因为，所以当感染人数增加到100人时，，化简得，

由，故得，又因为平均感染周期为7天，

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，

故答案为B．

6．A  【解析】由题知过点P的最短弦与垂直，弦长为6，最长弦为圆O的直径，其长为10，过点P的21条弦的长度构成递增的等差数列，则公差d的最大值为，故的公差的取值范围为，故选A．

7．D  【解析】解法一：当取最值时，．

即，

由题知，故．

即．

因为时，；时，；

显然当时，，此时在上必有最值点．

综上，所求．

解法二：由，

在上存在最值，

即在上有解．

即在上有解．

以下同解法一．

解法三：特例代入法

分别取，易知A、B、C错，故选D．

8．C  【解析】A选项，由题意可知，函数图象开口向上，对称轴为，当时，根据二次函数性质知不成立，故A错误；B选项，为四次函数，因为为指数函数，则时，一定有，故B错误；C选项，，则只需的对称轴位于左边即可，即，所以即可，故C正确；D选项，分别取，可得，对二次函数来说是不可能的，故D错误．故选C．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．BC  【解析】由圆得，

所以圆心，半径，

对于A：圆心A到直线的距离为1，所以直线与圆A相交，故A错误；

对于B：圆心A在y轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B正确；

对于C：点到圆心A的距离，所以点B在圆A外，故C正确；

对于D：圆心A到直线的距离，所以圆A上的点到直线的最小距离为，故D错误．故选BC．

10．AC  【解析】对于A，由，故．易知（p为常数）是首项为，公差为的等差数列，A正确；

对于B，由为等差数列，则仍成等差数列，故有，所以，B不正确；

对于C，，故，C正确；

对于D，充分性易证．而若为常数列时，如，则，但，故必要性不成立，D不正确。故选AC．

11．ABD  【解析】对于A，如图1，因为平面平面，

所以；

因为四边形为正方形，所以；

又平面，所以平面，

所以点M轨迹即为平面与平面的交线，即为，

所以点M轨迹的轨迹长度为，A符合题意；

对于B，如图2，因为平面平面，所以平面；

同理可得：平面，又平面，

所以平面平面，

所以点M轨迹为平面与平面的交线，即，

所以点M存在无数个位置满足直线平面，B符合题意；

对于C，以D为坐标原点，以正方向为x，y，z轴，可建立如图3所示空间直角坐标系，

则，

所以，

设，

所以，则，

所以，

所以，

则当时，，

所以与夹角大于，C不符合题意；

对于D，由C可得空间直角坐标系如图4，

则，

所以，

设平面的法向量，

所以

令，解得：，所以，

又平面轴，所以平面的一个法向量，

所以，所以，

即平面与平面所成锐二面角的正切值为，D符合题意．

另由几何法（略）不难解得C错，D正确．故选ABD．

12．AD  【解析】设．对于A，由双曲线的定义，只需即可，即只需P点为线段的中垂线与双曲线的交点，知A正确；

对于B，因为，所以，又，

所以，故，当且仅当时等号成立，又分析得等号不可能成立，故B错误；

对于C，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；

当时，也为等腰三角形，

故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．

同理，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，

因此使得为等腰三角形的点P共有八个，故C错误；

对于D，由，得，

从而，故D正确．故选AD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．  【解析】从5条线段中任取3条线段的基本事件总数为10，能构成三角形的情况有：，共3个基本事件，故概率为．

14．  【解析】设和的外心分别为D，E．

可知其外接球的球心O是线段的中点，连接，

设外接球的半径为R，的外接圆的半径r，

，作图易得，

（或可得．由正弦定理得，所以，）

而在中，可知，

即，

因此三棱柱外接球的表面积为．

故答案为．

15．2  【解析】如图，因为，且，

所以，

又点A是的中点，点O是的中点，，所以，

则，则，

所以一条渐近线的斜率为，

所以，故答案为2．

16．（1）；（2）

【解析】由已知整理得，

所以．

所以数列是公差为的等差数列，

（1）时，．

（2）．

得，

因为，故．

所以，

即．

从而，即有

所以．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）

17．【解析】（1）由几何意义可知，直线l为的三条中位线，

而O到边的中位线距离为1．O到边的中位线距离为3．O到边上的中位线距离，故直线l只能为边上的中位线，

即直线l过点．故直线l的方程，即；

（2）设圆的标准方程为，

则

解得或0（舍去），，

所以圆C的标准方程为．

18．【解析】（1）证明：取的中点G，连接，

因为F为中点，所以，

因为E为中点，所以，

因为，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面平面，

所以平面；

（2）解法一：（几何法）

设中点为Q，连接，则，

故Q到平面的距离等于点E到平面的距离．

设，垂足为H，

因为，

所以平面，

从而平面．

设，垂足为M，则，

故有，

从而．

解法二：（等体积法）

由已知有，

所以平面，故为直角三角形，

平面，设点E到平面距离为h，

由，得，

又，

即，

解得．

解法三：（坐标系法）

因为平面平面，

所以，

因为四边形为矩形，所以，

所以两两垂直，

所以以点D为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，

因为E为中点，所以，

所以，

设平面的法向量为，

则令，则，

所以点E到平面的距离为．

19．【解析】（1）设8月n日售出的服装件数为，最多售出件．

由题意知

解得

所以8月13日该款服装销售最多，最多售出39件．

（2）设是数列的前n项和，

因为

所以

因为，

所以当时，由，得，

当时，日销售量连续下降，由，得，

所以该款服装在社会上流行11天（从8月12日到8月22日）．

20．【解析】（1）由题意，代入中，解得，

不妨取，

则，

即，

故或1，易知不合题意，舍去，故．

（2）由题意四边形为平行四边形，则，

设直线，

联立得，

由题意，判别式，

，

要使，则，

又，

即，

化简，得，

即，代入解得．

故时，有．

21．【解析】（1）证明：由已知得，，

所以．

因为，

所以数列是首项为，公比为的等比数列．

（2）由（1），当n为偶数时，，

当n为奇数时，，

故

，

由及数列性质知m的最小值为．

22．【解析】（1）由，得，

故，从而，

依题意，直线的方程为，

由得，

即，

又因为，

故

于是，

解得，

故．

（2）由（1）得，故由基本不等式和绝对值不等式

，

从而，取等条件为，且，故有，

于是．

而

．

同理．

于是，四边形的面积（考虑O在四边形内部和外部）

．

另一方面，当M，N，P，Q为椭圆四个顶点时，有，

故四边形面积的最大值为，且由上述过程知，此时．