广东省珠海市香洲区2025--2026学年九年级上学期期末数学试题-自定义类型

这是一份广东省珠海市香洲区2025--2026学年九年级上学期期末数学试题-自定义类型，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列事件是必然事件的是（）
A. 打开电视，正好在播新闻
B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是2
C. 明天会下雨
D. 在平面内任意画一个三角形，它的内角和等于
3.若反比例函数的图象过点，则的值为（ ）
A. 3B. 2C. D. 4
4.二次函数向下平移3个单位得到的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
5.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（）
A. B. C. 2D. 4
6.如图， 为的直径，，为上两点，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7.粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.一条公路弯道处是一段圆弧弧AB，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是弧AB的中点，OC与AB相交于点D．已知AB=120m，CD=20m，那么这段弯道的半径为（ ）
A. 200m B. 200 m
C. 100m D. 100 m
9.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
10.已知二次函数，当时，的最大值为3，最小值为2，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ．
12.设是方程的两个实数根，则 ．
13.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
14.如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为 ．
15.如图，已知扇形和扇形的半径均为分别为的中点，，分别交，于点，，则，和所围成阴影部分的面积为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，．
(1) 随机摸取一个小球，取出的小球的标号是偶数的概率为 ；
(2) 随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出另一个小球，请用列表法或画树状图法求两次取出的小球标号的和等于的概率．
18.(本小题6分)
如图，已知是的直径，是的弦，过点的直线与的延长线相交于点，且．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，求的长．
19.(本小题6分)
如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围一个矩形场地．
(1) 当为何值时，才能使矩形场地的面积为？
(2) 能否使所围矩形场地的面积为？请说明理由．
20.(本小题7分)
如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画．
(1) 求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标；
(2) 如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标．
21.(本小题7分)
如图1，小明房间平面示意图是一个的矩形，靠墙放置了一张的矩形床，在墙上有一扇房门，门宽可以绕点在房间内自由转动，房门关闭时点与点重合，房门开到最大时，点与墙上的点重合，房门转动的最大角度．
(1) 求点到墙的距离；
(2) 小明新买了一个书柜，尺寸为长，宽，打算放在房间的右下角．但是如果床仍保持原来的位置摆放，书柜将无法放入．因此，小明改变了床的摆放位置，如图2所示．请通过计算说明，换位摆放后，床的位置是否会影响到房门的自由转动．
22.(本小题6分)
下面是某校九年级数学兴趣小组关于双曲面反射镜变形检测系统的设计研究过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
23.(本小题12分)
将两个大小不同的等腰直角三角形与如图1放置，其中，的直角顶点与斜边的中点重合．以点为旋转中心逆时针旋转，当所在直线首次经过点时停止旋转（如图3）．
(1) 【初步感知】如图1，当在初始位置时，连接，，则和的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2) 【类比探究】
如图2，在的旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3) 【迁移应用】
若，连接，
①如图3，当旋转至终止位置时，求的长；
②如图4，在的旋转过程中，请问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】240
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：
．
．
．
．

17.【答案】【小题1】
【小题2】
解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于的结果有种，
∴两次取出小球标号的和等于的概率为．

18.【答案】【小题1】
证明：如图所示，连接，
，
，
．
，即，
是的半径，
是的切线．
【小题2】
解：且是的直径，
，
在中，，
，
．

19.【答案】【小题1】
解：设的长为米，则长为米．
依题意，得，
即，
解得
所以当长为4米或者6米时，才能使矩形的面积为；
【小题2】
解：不能．理由如下
因为由得．
又，
上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为．

20.【答案】【小题1】
解：由题意得，．
故小球到达的最高点的坐标为；
当时，，解得（不合题意，舍去），，
故小球落回地面点的坐标为；
【小题2】
解：联立两解析式可得：，
解得：，或，
故可得点的坐标为．

21.【答案】【小题1】
解：依题意：在中，，
，
，
故点到墙的距离为；
【小题2】
解：如图2，延长交于点，连接，则在中，，
；
，
，
新床的位置不会影响到房门的自由转动．

22.【答案】（1）解：计算每组数据的与的差值：
第一组：，
第二组：，
第三组：，
第四组：，
第五组：，
所有差值的绝对值均小于允许误差，
因此反射镜没有发生明显变形；
（2）解：设直线的表达式为，
因为和点，
所以，
解得：，
所以直线的表达式为，
由，得，
所以，
因为该直线与反比例函数的交点C和D，
所以，
所以，
因为在轴正半轴，
所以，
所以，
解得：，
由图2可知，
当时，，
因为，
所以符合；
当时，，
解得：，
综上所述，的取值范围为；
故答案为：；
（3）证明：如图3，过点分别向轴和轴作垂线段和，过点分别向轴和轴作垂线段和，连接，，．
由反比例函数的几何意义，得：
．
∴，
又这两个三角形同底（），
∴它们高相等，故，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可得：四边形为平行四边形，，
∴．
故答案为：，；
（4）解：优点：
①检测方法简单，只需测量两个距离并比较．
②可通过调节激光发射器，的位置进行多次重复检测，提高可靠性．
③无需知道反射镜的具体参数，因为对任意该性质均成立．
④非接触式测量，避免对反射镜表面造成损伤．
缺点：如果变形后的曲面仍然满足反比例函数（仅值改变），则无法检测；该方法只能判断是否偏离反比例函数形状，不能确定变形的具体形式和程度．

23.【答案】【小题1】

​​​​​​​
【小题2】
结论成立，证明如下：
如图1，连接，记与分别交于点，
，点为的中点，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
；
【小题3】
①如图2，连接，设，则
由（2）得，，
，
在中，
在中，
得
化简得
解得：（舍去），
．
②，理由如下：如图3，连接交于点，
由（2）得，，
在中，，
在中，，
，
在中，，
在中，，
双曲面反射镜变形检测系统的设计
问题提出
某精密光学设备使用一块双曲面反射镜（如右图所示），其理论设计形状为反比例函数曲线型．在实际使用中，反射镜可能因应力，温度或材料老化而发生微小变形，影响光学性能．如何设计一套双曲面反射镜变形检测系统，用来快速检测出反射镜是否发生形变？
查阅资料
兴趣小组通过查阅资料，发现了反比例函数如下的性质．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连接与反比例函数的图象相交于点与，则恒有成立．（任务三完成此性质的证明）
检测系统设计
如图1，利用上述性质作为判断双曲面镜是否变形的依据，兴趣小组设计了一个检测系统，其工作原理如下：第一步：将反射镜安装在平面直角坐标系中，使其理论中心与坐标原点重合；第二步：在轴和轴上安装可移动激光测距仪和．激光测距仪可分别沿轴正半轴和轴正半轴上移动，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点；同时，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点．系统通过测量往返时间计算距离和，在移动过程中保持点四点共线（点，点不重合），进行多组测量并采集数据比对．
学习任务
任务一
（1）兴趣小组利用以上检测系统对一块双曲面反射镜进行检测，共选取了5个不同的激光位置，测得的与长度如右表所示．若允许测量误差为，请根据表中数据判断该反射镜是否存在明显变形？请直接写出结果．
（）
（）
4.031
4.030
5.099
5.100
6.083
6.082
7.071
7.073
8.062
8.061
任务二
（2）现检测一块理论设计形状为反比例函数的双曲面反射镜（如图2）．在调节仪器过程中，先固定激光测距仪，再适当地移动调节激光测距仪的位置．其中点的坐标为，点的坐标为．为保证检测系统能够测量出和的距离，则取值范围为___________．
任务三
（3）请继续完成以下证明过程，或者你也可以选择其它方法完成证明．性质的证明．如图3，过点分别向轴和轴作垂线段和，过点分别向轴和轴作垂线段和，连接．由反比例函数的几何意义，得：___________（用含的代数式填空），___________（选“＜”，“=”或“＞”填空），……
任务四
（4）请你从操作性、有效性等方面对以上检测系统进行评估，列举至少两点该系统的优点或不足，并简要说明理由．