广东省广州市南沙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题-自定义类型

这是一份广东省广州市南沙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题-自定义类型，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.下列事件中，属于必然事件的是（）
A. 明天不会下雨
B. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是2
C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D. 圆中最长的弦是直径
4.如图，是的直径，是的弦，，则为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，把绕点O逆时针旋转一定角度，得到，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 有一个根为1
7.已知点，，都在反比例函数图象上，则（ ）
A. B. C. D.
8.自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的半径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（ ）
A. B. C. D.
9.已知一次函数，k从2，中随机取一个值，b从1，，中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数y=x2-4x+3的顶点坐标是 .
12.已知一元二次方程的两个实数根分别为，则 ．
13.中国传统折扇展开形状近似扇形，如图一扇子完全打开后，扇骨，扇形的面积是，则这把扇子外边缘的长是 ．（结果保留）
14.列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到 km/h．
15.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．
16.如图，的半径为2，四边形内接于，圆心O到的距离等于．下列说法中：①的长为2；②；③若劣弧被点D分为两部分，，则；④若点E是线段上一动点，连接，过点C作于点F，则的最小值是．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题3分)
解方程：．
18.(本小题3分)
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．画出将绕点B按顺时针方向旋转所得到的．
19.(本小题6分)
电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
(1) 第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为 ；
(2) 用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．
20.(本小题6分)
为更好优化交通与城市治理，某街道推进停车场建设，计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为16米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为221平方米．
(1) 设车道的宽度是x米，则停车位的横向长度长是 米（用含x的代数式表示）；
(2) 求车道的宽．
21.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1) 若抛物线过点，求该抛物线的解析式；
(2) 若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值．
22.(本小题6分)
如图1，是的直径，是的一条弦，于H，连接．
(1) 求证：；
(2) 如图2，连接，延长至点F，使得，求证：为的切线．
23.(本小题8分)
如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4．
(1) 请写出：点坐标为 ，点坐标为 ，点的坐标为 ；
(2) 观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围；
(3) 连接，求面积．
24.(本小题6分)
中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案．
25.(本小题8分)
如图，正方形的边长为，是正方形内一动点，连接，．
(1) 如图1，连接，若，，
①的度数为______；
②如图2，射线与的平分线相交于，求的长；
(2) 如图3，为上一点，，连接，，．若，求面积的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】（2，-1）
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】240
15.【答案】7
16.【答案】①③④．
17.【答案】解：
∴或，
∴，．

18.【答案】解：如图所示，即为所求．

19.【答案】【小题1】
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【小题2】
解：如图：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为．

20.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：车道的宽为3米．

21.【答案】【小题1】
解：把代入，得，
解得，
∴；
【小题2】
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，
∴，解得或．

22.【答案】【小题1】
证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴；

【小题2】
证明：如图所示，连接，

∵是的直径，是的一条弦，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．

23.【答案】【小题1】
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​​​​​​​
【小题2】
解：对于函数，当时，随的增大而减小，且时，且，
∴；
【小题3】
解：如图，取中点，连接 D．

∴是的中位线，
∴．，
∵轴，
∴轴.
对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为，
∴，，
∴．

24.【答案】解：任务一：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得，
∴杯体的抛物线解析式为．
任务二：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，
∴杯里水面的宽度为．
②将直线：向下平移得到直线：，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线间的距离即为杯里水的最大深度，设直线与轴交于点，过点作于，
联立，
得：，
∵只有一个交点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴杯里水的最大深度为．

25.【答案】【小题1】
解：①四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
；
②∵
∴
∵，是的平分线
∴垂直平分
∴
∴
如图，连接，
在中，
∵是等边三角形，
∴
设，则，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
方法二，如图，过点作于点，
同理可得，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴
【小题2】
解：如图，将绕点顺时针旋转得到
∴，，
∴，
∵
∴
∴是直角三角形，
∴
∴
如图，以为斜边作等腰直角，则，以为圆心为半径作圆，
∴
∴
∴，即在以为圆心为半径的上运动，
过点作于点，则在上时，取得最小值，面积取得最小值
如图，过点作的平行线，分别交的延长线于点，连接，
∴
∴是等腰直角三角形
∵正方形的边长为，，
∴,
在中，，
∵，则，
∴，
∴
∴，
同理可得
∴
设，则
在中，
∴
解得：
∴
∴面积的最小值为
．
【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】
问题情境
图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度，杯口宽，，杯体 近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度．
任务一
如图2，以杯底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体的抛物线解析式．
任务二
如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）．①求此时杯里水面的宽度CH；②求此时杯里水的最大深度．