第12讲 奇偶数列及其它特殊数列-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）（原卷版+解析版）

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\l "_Tc8066" 一：奇偶数列问题 PAGEREF _Tc8066 \h 1
\l "_Tc24109" 题型01：数列分奇偶之隔项型 PAGEREF _Tc24109 \h 1
\l "_Tc26377" 题型02：数列分奇偶之an+an+1=f(n)型 PAGEREF _Tc26377 \h 3
\l "_Tc1419" 题型03：数列分奇偶之anan+1=f(n)型 PAGEREF _Tc1419 \h 5
\l "_Tc10165" 题型04：数列分奇偶之含有（−1）n PAGEREF _Tc10165 \h 6
\l "_Tc3415" 题型05：数列分奇偶之含有a2n,a2n−1型 PAGEREF _Tc3415 \h 9
\l "_Tc26749" 题型06：数列分奇偶之分段数列型 PAGEREF _Tc26749 \h 12
\l "_Tc8599" 二：数列公共项问题 PAGEREF _Tc8599 \h 18
\l "_Tc2710" 三：重新排序问题 PAGEREF _Tc2710 \h 19
\l "_Tc30437" 四：插入项问题 PAGEREF _Tc30437 \h 22
\l "_Tc20351" 五：斐波那契数 PAGEREF _Tc20351 \h 32
一：奇偶数列问题
题型01：数列分奇偶之隔项型
【典型例题1】已知数列an满足a1=a2=32，an+2=an+2×3nn∈N∗，且bn=an+an+1n∈N∗．则数列bn的通项公式为 ．若bncn=4(n+1)34n2−1n∈N∗，则数列cn的前n项和为 ．
【答案】 bn=3n，n∈N∗ 13−13n+1(2n+1)
【解析】（1）根据递推关系求得bn+1−bn=an+1+an+2−an+an+1=an+2−an=2×3n，利用累加法求得bn的通项公式；
（2）代入求得的bn，化简cn，得cn=4n+43n+1(2n−1)(2n+1)=13n(2n−1)−13n+1(2n+1)，
利用裂项相消法求得前n项和.
解：a1=a2=32，an+2=an+2×3nn∈N∗，可得b1=a1+a2=3，an+2−an=2×3n，
又bn+1−bn=an+1+an+2−an+an+1=an+2−an=2×3n，
则bn=b1+b2−b1+b3−b2+⋯+bn−bn−1=3+2×3+2×32+⋅⋅⋅+2×3n−1=1+21−3n1−3=3n，
上式对n=1也成立，
所以bn=3n，n∈N∗；
由bncn=4(n+1)34n2−1n∈N∗，可得cn=4n+43n+1(2n−1)(2n+1)=13n(2n−1)−13n+1(2n+1)，
则数列cn的前n项和为13×1−132×3+132×3−133×5+⋅⋅⋅+13n(2n−1)−13n+1(2n+1)
=13−13n+1(2n+1)．
故答案为：bn=3n，n∈N∗；13−13n+1(2n+1)．
【点睛】关键点点睛：求bn通项时，累加法求和需要考虑n=1的情况；化简cn成可以裂项的形式cn=4n+43n+1(2n−1)(2n+1)=13n(2n−1)−13n+1(2n+1)，从而利用裂项相消法求和.
【典型例题2】在数列an中，a1=18，a2=24，an+2−an=−6.
(1)求an的通项公式；
(2)记数列an的前n项和为Sn，求Sn的最大值.
【答案】(1)an=21−3n,n为奇数,30−3n,n为偶数.
(2)96
【解析】（1）由已知条件an+2−an=−6可得，当n为奇数时，数列an的奇数项的通项公式为an=21−3n，当n为偶数时，即数列an的偶数项的通项公式为an=30−3n；
（2）分别讨论当n为奇数或偶数，得出数列an各项的值或大小，从而求得Sn的最大值.
（1）当n为奇数时，即数列an的奇数项是以18为首项，−6为公差的等差数列，an=21−3n.
当n为偶数时，即数列an的偶数项是以24为首项，−6为公差的等差数列，an=30−3n.
所以an=21−3n,n为奇数,30−3n,n为偶数..
（2）当n为奇数时，an=21−3n≥0，
即a1，a3，a5都大于0，a7=0，a9