广东省广州市天河区2025-2026学年高二上学期期末调研考试数学试题（有解析）

这是一份广东省广州市天河区2025-2026学年高二上学期期末调研考试数学试题（有解析），共25页。
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，，则直线AB的倾斜角（ ）
A B. C. D.
2. 已知数列是等比数列，若，则公比（ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知直线l平分圆，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知数列的首项，且点都在一条斜率为2的直线上，则数列的前50项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（ ）
A. B. C. D. 4
7. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A B. C. D.
8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. 1B. 11C. 21D. 31
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知圆，圆，则（ ）
A.
B. 直线与圆相切
C. 当时，圆与圆外切
D. 当时，圆与圆有公共弦，且弦长
10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点（其中A在第一象限），则（ ）
A. B.
C. D. 为直角三角形
11. 在空间直角坐标系中，已知点，向量，直线l过点Q且以为方向向量，平面过点Q且以为法向量，则（ ）
A. 当动点在直线l上时，有
B. 当动点平面上时，有
C. 当动点在直线l上时，的最小值为
D. 当动点在平面上时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________．
13. 过点作直线l，若l与圆有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
14. 某生产企业今年年初有资金600万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金250万元后，剩余资金投入再生产作为第二年的年初资金．设该生产企业从今年起每年年初的资金数依次为，，，…（单位：万元），则数列的通项公式为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方体中，，，点E，F，G分别在棱，，上，点P，Q，R分别在棱，，上，．
（1）求和所成角的余弦值；
（2）求证：平面平面．
16. 已知数列前n项和为，且首项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和．
17. 已知椭圆的右焦点为，斜率为的直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P满足，求证：．
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F．
（1）求证：平面EFD；
（2）求平面PBC与平面PBD的夹角的大小；
（3）若点M为三棱锥的外接球的球心，求直线PC与平面MEF所成角的正弦值．
19. 在平面直角坐标系中，点E到点的距离等于点E到直线的距离，记动点E的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）若点P是x轴下方（不含x轴）一点，C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（ⅰ）设AB中点为M，求证：轴；
（ⅱ）若P是半圆上的动点，求面积的取值范围．
2025学年第一学期学业水平调研
高二数学
本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，，则直线AB的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据两点求出斜率，再应用倾斜角和斜率关系求解.
【详解】因为点，，所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角.
故选：A.
2. 已知数列是等比数列，若，则公比（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式计算即可.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，
则.
所以.
故选：B.
3. 已知直线l平分圆，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线经过圆心且与直线垂直计算可得.
【详解】因为圆，
所以圆心为，
因为直线平分圆，所以直线必须经过该圆心，
又因为直线与直线垂直，
直线的斜率为，
由两条垂直直线的斜率乘积为，得直线的斜率为.
代入圆心和斜率，可得.
故选：D.
4. 如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可.
【详解】根据题意可得，.
所以直线的一个方向向量为.
故选：D.
5. 已知数列的首项，且点都在一条斜率为2的直线上，则数列的前50项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项和公差，再利用裂项相消法求和计算作答.
【详解】因为点都在一条斜率为2的直线上，所以设该直线为，所以，因为，所以，
解得，所以，所以设，所以，设的前项和为，
则.
故选：C.
6. 如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先判断二面角的平面角为，然后根据向量的模的公式以及向量数量积的定义进行计算即可.
【详解】因为正方形和正方形，所以，
因为平面平面，二面角的大小是，
所以，因为，
所以，
因为正方形和正方形的边长都是2，所以，
因为，所以，
而，
所以.
故选：A.
7. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】联立直线与双曲线方程，然后根据韦达定理求出，进而得到双曲线的离心率.
【详解】因为直线与双曲线相交于A，B两点，
所以联立该直线与双曲线方程得.
化简得.
设，因为A，B两点的横坐标之积为，
所以根据韦达定理得，解得或（舍去），
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. 1B. 11C. 21D. 31
【答案】C
【解析】
【分析】应用三角换元，结合辅助角公式及三角函数值域计算求解.
【详解】因为，则设，
则，其中，
则，
当时，取最大值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知圆，圆，则（ ）
A.
B. 直线与圆相切
C. 当时，圆与圆外切
D. 当时，圆与圆有公共弦，且弦长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据圆的定义、点到直线的距离公式、圆与圆之间的位置关系、公共弦等知识逐项计算判断即可.
【详解】将圆的方程化为标准方程为.
则，解得，A正确；
圆的圆心为，半径为，
由于圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，B错误；
当时，圆，所以圆，半径为.
那么圆的圆心距为，
所以当时，圆与圆外切，C正确；
当时，圆，所以此时圆，半径为.
那么圆的圆心距为，所以圆与圆相交，
设圆与圆的公共弦长为，则.
化简得，两边平方得，
解得或（舍去），所以D正确.
故选：ACD.
10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点（其中A在第一象限），则（ ）
A. B.
C. D. 为直角三角形
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求出的值，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义和弦长公式求解弦长，最后根据向量的数量积判断三角形的形状.
【详解】对于A，抛物线的焦点，
又直线过抛物线的焦点F，所以，
解得，所以A正确；
对于B，C，由可知抛物线，焦点，准线方程为，
联立，消去并整理得：，解得，
则，，
所以，，所以B，C正确；
对于D，因为A在第一象限，，，
所以，，
即，
则，
所以，
所以为钝角，故D错误；
故选：ABC
11. 在空间直角坐标系中，已知点，向量，直线l过点Q且以为方向向量，平面过点Q且以为法向量，则（ ）
A. 当动点在直线l上时，有
B. 当动点在平面上时，有
C. 当动点在直线l上时，最小值为
D. 当动点在平面上时，的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A根据判断；C求点到直线的距离即可；B 根据计算；D求点到平面的距离即可.
【详解】，，
当动点在直线l上时，有，则，故A错误；
当动点在直线l上时，
在上的投影向量的模为，
则到直线的距离为，
则的最小值为，故C正确；
当动点在平面上时，，则，
则，故B正确；
因为在上的投影向量的模为，所以的最小值为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆定义得，联立，解出，再利用勾股定理即可得到答案.
【详解】根据椭圆方程，有，，则，
因为点在椭圆上，所以有，因为，
所以，
则，
则.
故答案：.
13. 过点作直线l，若l与圆有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系来求解.
【详解】由题意可知，直线，圆心，半径为，
因为直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，
得，
故直线l的斜率的取值范围是.
故答案为：
14. 某生产企业今年年初有资金600万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金250万元后，剩余资金投入再生产作为第二年的年初资金．设该生产企业从今年起每年年初的资金数依次为，，，…（单位：万元），则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意列出递推式，然后对等式进行变换，根据等比数列的定义判断是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果.
【详解】由题意可知，第一年年初资金为.
第二年年初资金为.
第三年年初资金为.
以此类推，可得到.
则有，而,
所以数列是公比为的等比数列，且首项为，
所以有，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方体中，，，点E，F，G分别在棱，，上，点P，Q，R分别在棱，，上，．
（1）求和所成角的余弦值；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，列出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出和所成角的余弦值.
（2）要证明面面平行，则需要证明一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，即证明平面和平面.
【小问1详解】
根据题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则.
所以.
所以.
所以和所成角的余弦值为.
【小问2详解】
证明：连接，取的中点分别为，连接.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
又平面，而不在平面内，所以平面.
因为，所以.
而，所以.
又平面，而不在平面内，所以平面.
又平面，所以平面平面．
16. 已知数列的前n项和为，且首项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系化简即可证得，根据等比数列的通项公式计算即可得出结果；
（2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得答案.
【小问1详解】
由，可得，
两式相减可得，即，整理得，，
又，，则，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，故.
【小问2详解】
由（1），，
，①
，②
①②得，，
所以.
17. 已知椭圆的右焦点为，斜率为的直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点为．
（1）求椭圆C方程；
（2）若点P满足，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，利用点差法得到，代入条件化简得，结合联立求出，即得椭圆方程；
（2）由题意易得，结合可得，求得点，代入坐标化简得，利用（1）的结论计算即可证明结论.
【小问1详解】
设，联立，
将两式相减，整理得，
因线段AB的中点为，则有，又直线的斜率为，故.
代入上式，可得，即①，又因，即得②，
联立①②，解得，故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
因线段AB的中点为，则，
故由可得，
设点，则，解得，即，则，
又，
同理，
故.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F．
（1）求证：平面EFD；
（2）求平面PBC与平面PBD的夹角的大小；
（3）若点M为三棱锥的外接球的球心，求直线PC与平面MEF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明线线垂直，即可得出线面垂直；
（2）求出平面法向量，利用二面角的向量求法得解；
（3）利用向量证明线线垂直，得出点的位置，设，由求出点的位置，求出平面法向量，利用线面角的向量求法得解.
【小问1详解】
由题意，两两互相垂直，以为原点，所在直线
分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.
连接，交于点，连接.
依题意得，
则，，
则，
所以，
由已知，且，平面，
所以平面.
【小问2详解】
连接交于，则，
由于底面，底面，则，
由于平面，，
则平面，
，，
设平面的法向量，
则，即，
取一组解为，
则，
则，
则平面与平面的夹角为.
【小问3详解】
由（1）得平面，
由于平面，则，
由于E是PC的中点，则，
则，
则，即，
三棱锥外接球的球心在中点，
即，
设，则，
由于，则，，
则，
则，，
设平面的法向量，
则即，
令，则，，
设直线PC与平面MEF所成角为，
则.
19. 在平面直角坐标系中，点E到点的距离等于点E到直线的距离，记动点E的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）若点P是x轴下方（不含x轴）一点，C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（ⅰ）设AB中点为M，求证：轴；
（ⅱ）若P是半圆上的动点，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义即可得结果；
（2）（i）将所证结论转化为点M的横坐标与点的横坐标相同，PA，PB的中点在抛物线上，得满足同一个方程，结合韦达定理即可得结果；
（ii）将面积表示为， 结合韦达定理将最后结果表示成关于的函数，由单调性求其范围即可.
【小问1详解】
因点E到的距离等于点E到直线的距离，
故点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线，
则动点E的轨迹方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）设，，
因为PA，PB的中点均在C上，所以，
故可以看成方程即的两个不相等的实数根，
由韦达定理，可得，即点M的横坐标与点的横坐标相同，
故轴；
（ii）由（i）可知，
且，
仿（i），设AB中点为M，则轴，于是，
，
，
故的面积，
因为，所以，
因此面积取值范围是.