云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题（有解析）

这是一份云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题（有解析），共22页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回．，5D， 平行六面体中，，设向量，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考场号、座位号、姓名、班级填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考场号、座位号、姓名、班级，在规定的位置贴好条形码．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知复数满足，其中i是虚数单位，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D.
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
4. 已知平面，直线，下列命题为真的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（ ）
A. 极差为3B. 平均数为7
C. 分位数为7.5D. 方差为2
6. 平行六面体中，，设向量，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 设函数，若在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
8. 已知直线与双曲线一支相交于不同的两点，设双曲线渐近线斜率为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知是棱长为4的正四面体，点在表面上运动，MN为的外接球的一条直径，则（ ）
A. 的表面积为B. 的体积为
C. 球表面积为D. 的最小值为
11. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，若，则
C. 若有两解，则成等差数列
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上一点，若的最大值为10，最小值为4，则该椭圆的离心率为__________.
13. 已知等差数列的前项和为，已知，则__________.
14. 已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆的一条直径的两个端点分别是.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于A，B两点，若，求直线的方程.
16. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形.
（1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）；
（2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和.
（i）证明：当时，；
（ii）求数列的前项和.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若为BC边上一点，，且，求.
18. 如图1，是等边三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.把沿AC翻折至，得空间四边形ABCE，点在线段EB上，如图2.
（1）求证：；
（2）当平面平面ABC，且AG与平面EBC所成角的正弦值为时，求平面ACG与平面BCG的夹角的大小.
19. 已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，过点且与直线垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点，记动点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）直线与曲线交于异于坐标原点的两点，若的外心在直线上，
（i）求证：直线过定点：
（ii）设是的内心，若直线与轴交于点，求直线的斜率.
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云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考场号、座位号、姓名、班级填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考场号、座位号、姓名、班级，在规定的位置贴好条形码．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解对应集合，再利用交集的定义求解即可.
【详解】令，解得或，则，
因为，所以，故D正确.
故选：D
2. 已知复数满足，其中i是虚数单位，则（ ）
A 5B. 4C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意求出，再利用模长公式求解即可.
【详解】因为，所以，
解得，由模长公式可得，故A正确.
故选：A
3. 已知数列满足，，则（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的递推公式依次迭代即可；
【详解】由题意当时，得，
当时，得，
当时，得，
故选：C
4. 已知平面，直线，下列命题为真的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】举反例判断A，C，D，利用面面平行与面面垂直的性质判断B即可.
【详解】对于A，若，则或与相交或，故A错误，
对于B，若，由面面平行与面面垂直的性质得，故B正确，
对于C，若，则或相交或异面，故C错误，
对于D，若，则或相交，故D错误.
故选：B
5. 马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（ ）
A. 极差为3B. 平均数为7
C. 分位数为7.5D. 方差为2
【答案】D
【解析】
【分析】根据极差、平均数、方差及百分位数的定义求样本特征数值，即可判断各项正误.
【详解】由样本数据知极差为，故A错误；
平均数为，故B错误；
由，得这组数据的分位数是第4个数8，故C错误；
方差为，故D正确.
故选：D.
6. 平行六面体中，，设向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算可得.
【详解】
由图和题意可知
，
又，
故，
故选：C
7. 设函数，若在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先把原式化成标准的正弦函数形式，再根据题目要求，让这个函数在给定区间里至少有一个零点，从而求出的最小取值.
【详解】化简函数，
因为函数在上有零点，即存在，使得，
因此，
当时，.
要使函数有零点，则区间内必须包含形如的数，最小的正整数，
所以，故值最小为.
故选：B
8. 已知直线与双曲线的一支相交于不同的两点，设双曲线渐近线斜率为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C的一支与直线相交于互异两点列出不等式组，求出，再结合求解即可.
【详解】联立方程组；消去y得，
而双曲线C的一支与直线相交于互异两点，
等价于不等式组，解得；
依题意得，当时，；
可得的取值范围是，故A正确.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据对数不等式得出，再根据指数单调性及对数单调性判断B，D，应用指数幂运算判定A，应用特殊值判断C.
【详解】因为，所以，
所以，A选项正确；
因为单调递减，所以，B选项正确；
当时，，C选项错误；
因为，所以，所以，D选项正确；
故选：ABD.
10. 已知是棱长为4的正四面体，点在表面上运动，MN为的外接球的一条直径，则（ ）
A. 的表面积为B. 的体积为
C. 球的表面积为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正四面体的表面积为计算可判断A；求得正四面体的体积判断B；求得外接球的表面积判断C；利用可求得的最小值判断D.
【详解】对于A，因为是棱长为4的正四面体，所以每个面均为边长为4的等边三角形，
所以的表面积为，故A正确；
对于B，过作平面于，因为，
所以为的外心，所以，
所以，
所以，故B错误；
设三棱锥的外接球的半径为，所以，
解得，球的表面积为，故C正确；
对于D，设球心为，又MN为的外接球的一条直径，则，
对于任意点，可得，
所以，
所以最小时，最小，所以的最小值即为的内切球的半径，
又是棱长为4的正四面体，所以外接球的球心即为内切球的球心，
所以的最小值即为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，若，则
C. 若有两解，则成等差数列
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用作差法和对数运算即可判断A，利用分类讨论对数正负即可判断B，利用对数的运算性质即可判断C，利用数形结合即可判断D．
【详解】对A,当时，，
所以，故A正确；
对B,当时，若，
则当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上可得，故B错误；
对C,由，若有两解，
则，
因为，所以成等比数列，故C错误；
对D,作出图象如图：
由图可得：当时，是一个上凸函数，
此时，
所以
，
由于，所以等号不成立，即，
故D正确；
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上一点，若的最大值为10，最小值为4，则该椭圆的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出椭圆的基本量，再利用直接法求解离心率即可.
【详解】因为的最大值为10，最小值为4，
所以，解得，则.
故答案为：
13. 已知等差数列的前项和为，已知，则__________.
【答案】17
【解析】
【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可
【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，
所以，因为，
所以，解得，即，
所以，解得.
故答案为：17.
14. 已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设点，结合条件得到点的轨迹是一个圆，利用圆与圆的位置关系计算半径的取值范围；
【详解】设点，由，
根据距离公式得，
两边平方并整理得，即
因此满足条件的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，
圆的圆心，半径为，该圆与轨迹圆有公共点，
故两圆的圆心距，要使两圆有公共点，需满足，
计算圆心距，代入得，
解得，所以半径的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆的一条直径的两个端点分别是.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于A，B两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得圆心坐标和圆的半径，可求圆的方程；
（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，进而求得直线的方程.
【小问1详解】
由题，圆心坐标为，半径为2.
所以，圆的标准方程为.
【小问2详解】
由题意，当斜率不存在时，直线的方程为，
则，不符合题意；
当斜率存在时，设直线的方程为，
设，
联立，得：，
所以，，
所以，，
解得：，
所以，直线的方程为.
16. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形.
（1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）；
（2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和.
（i）证明：当时，；
（ii）求数列的前项和.
【答案】（1）答案见解析，
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据规律填写表格以及通项公式；
（2）（i）求出，根据增减性求证；
（ii）求出等比数列的前项和.
【小问1详解】
分析图案易知，
则
【小问2详解】
（i）由题意得，
因为，
所以为以3为首项，为公比的等比数列，且该数列为正项递增数列，
又因为，
所以，当时，.
（ii）因为为等比数列，所以.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若为BC边上一点，，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用边化角，结合三角恒等变换可求得；
（2）由题意结合正弦定理可得，进而可得，利用可求解.
【小问1详解】
由题得，，
由正弦定理得，，
在中，，
所以，
代入可得，
在中，，所以，
因为，所以，所以，
故；
【小问2详解】
因为，由（1）得，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为且为BC边上一点，
所以，所以，此时，
在中，，所以，
所以，.
18. 如图1，是等边三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.把沿AC翻折至，得空间四边形ABCE，点在线段EB上，如图2.
（1）求证：；
（2）当平面平面ABC，且AG与平面EBC所成角的正弦值为时，求平面ACG与平面BCG的夹角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AC中点，连接OE，OB，可得，，进而可证结论；
（2）由已知可证平面ABC，建立空间直角坐标系，求得平面EBC的一个法向量，设，利用已知求得，进而求得平面GAC的一个法向量为，可得，可得结论.
【小问1详解】
取AC中点为，连接OE，OB，
由，得，
由，得，
又，所以平面OEB，
由平面OEB，得.
【小问2详解】
因为，平面平面，平面平面ABC，
所以，平面ABC，
不妨设，则，
以为原点建立空间直角坐标系如图，
则，
所以，，
设平面EBC的法向量，由，得
令，则，得平面EBC的一个法向量，
设，由，得，
所以，，
设直线AG与平面EBC所成角为，
则，整理得，所以，
此时，，
设平面GAC的一个法向量为，
由，得，
令，则，
所以平面GAC的一个法向量为，
因为，
所以，平面平面BCG，
所以平面ACG与平面BCG的夹角的大小为.
19. 已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，过点且与直线垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点，记动点的轨迹为.
（1）求轨迹方程；
（2）直线与曲线交于异于坐标原点的两点，若的外心在直线上，
（i）求证：直线过定点：
（ii）设是的内心，若直线与轴交于点，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求得抛物线方程；
（2）（i）根据直线与曲线交于异于坐标原点的两点，结合的外心在直线上，证明直线过定点：
（ii）设直线与交于，结合角平分线定理和两直线联立计算得到结果；
【小问1详解】
连接，由垂直平分线性质知，
由抛物线的定义知，动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
设其方程为，所以，即，所以轨迹的方程为；
【小问2详解】
（i）由题知，直线斜率存在，设的方程为，
设，联立，得，
所以，，
所以
因为的外心在直线上，所以，
所以，，所以，
解得或0（不合题意，舍去），
所以，直线过定点；
（ii）设直线与交于，因为是的内心，所以MI平分，
由角平分线定理知，，
因为，所以直线MI的方程为，
联立，得，
不妨设，则，
因为为焦点，所以由焦半径公式知，，
所以，，
所以，，
由（i）有，所以，
所以，，
解得（不合题意，舍去）．
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