江西省景德镇市乐平市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（有解析）

这是一份江西省景德镇市乐平市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（有解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，“面”的概念是我国古代数学家对无理数的最早认知，比西方早数百年，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．在下列实数中，属于“面”的是（ ）
A. B. C. D. 0
3. 如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答错误的是（ ）
A. 菲菲B. 红红C. 平平D. 英英
4. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、15、★、★、3、15、10、4、4、11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A. 这组数据的下四分位数是4
B. 这组数据的中位数是10
C. 这组数据的上四分位数是15
D. 被墨水污染的数据一个数是18，另一个数可能是13
6. 为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（ ）款扫地机可以购买．
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知点和点关于轴对称，则的值为_____．
8. 已知一组数据的方差为：，则____．
9. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________．
10. 如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限．
11. 如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）
（2）
14. 如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？
15. 已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
16. （1）如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．画出关于轴对称的；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点，点，请仅用无刻度直尺找出点关于轴的对称点（保留作图痕迹）．
17. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与轴交于点，与直线相交于点．
（1）方程组的解是_________；
（2）求直线，与轴围成的三角形的面积．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是．
（1）①点的“美好点”坐标是__________；
②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？
（2）若点的“美好点”位于轴上，求的值．
19. 如图一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．

（1）求证：；
（2）若平分，，求扶手与靠背的夹角度数；
（3）当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角．
20. 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99、80、99、86、99、96、90、100、89、82；
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94、90、94；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请直接写出上述图表中，，的值：_______，_______，_______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩得分的学生人数是多少？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题：
素材一
素材二 某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元．
素材三 该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠．
问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B员工人数各是多少？
问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式．
22. 数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________；
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组
（3）拓展应用：已知关于，二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解．
六、解答题（本大题共12分）
23. 模型建立：如图1，在等腰直角中，，，经过点，，，求证：．
模型应用：如图2，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以点为直角顶点在第二象限作等腰直角，求出直线的函数关系式．
拓展应用：如图3，在长方形中，点，点是线段上的一动点，，已知点在第一象限，是直线上的一点，若是等腰直角三角形，且，求点的坐标．
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
众数
100
方差
52
套餐类型
服务内容
单人收费（元）
单人成本（元，含门票、物料、人工等）
套餐A（研学+采摘）
参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜）
150
80
套餐B（深度研学）
参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等）
200
110
江西省景德镇市乐平市2025−2026学年八年级上学期期末考试
数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，熟练掌握各象限坐标符号(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 是解题关键．
利用平面直角坐标系中各象限坐标符号特征来判断点所在象限．
【详解】解： ∵ 点横坐标，纵坐标，符合第四象限的符号特征
∴ 点在第四象限
故选：D ．
2. 《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，“面”的概念是我国古代数学家对无理数的最早认知，比西方早数百年，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．在下列实数中，属于“面”的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数．“面”是指无理数，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为无理数即可解答．
【详解】解：A．是分数，属于有理数；
B．是无限不循环小数，是无理数；
C．是循环小数，是有理数；
D．0是整数，是有理数．
故选：B．
3. 如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答错误的是（ ）
A. 菲菲B. 红红C. 平平D. 英英
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质、对顶角的性质、平方根等知识点，掌握相关性质是解题的关键．
根据平行线的性质、对等角的相等、平方根的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．两直线平行、同旁内角互补，即菲菲回答正确，不符合题意；
B．对顶角相等，即红红回答正确，不符合题意；
C．若，则，即平平回答错误，符合题意；
D．负数没有平方根，即英英回答正确，不符合题意．
故选：C．
4. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答．
根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【详解】解∶当时，函数是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项∶
当时，函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意；
故选∶ C．
5. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、15、★、★、3、15、10、4、4、11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A. 这组数据的下四分位数是4
B. 这组数据的中位数是10
C. 这组数据的上四分位数是15
D. 被墨水污染的数据一个数是18，另一个数可能是13
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查箱线图．根据箱线图逐一分析即可．
【详解】解：A、箱线图箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，本选项说法正确；
B、箱线图箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，本选项说法错误；
C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，本选项说法正确；
D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18，所以被墨水污染的数据中一个数是18；
由图可得这组数据的中位数为，将这组数据已知的部分进行排序，为3、4、4、4、7、10、11、15、15、17、18，要使中位数为，则被污染的一个数要大于11，即可能是13，故本选项说法正确．
故选：B．
6. 为了体验人工智能生活，小善想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：、、、、，则其中有（ ）款扫地机可以购买．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．
【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则，，
在中，，即，
∴，
∵扫地机能从角落自由进出，
∴扫地机的直径不大于长，
∴小善可以购买扫地机的尺寸直径可以为、、、，共4款，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知点和点关于轴对称，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．由题意得出，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，
∴．
故答案为： ．
8. 已知一组数据的方差为：，则____．
【答案】14
【解析】
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义．
由可知平均数和数据数量，从而得出答案．
【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10．
数据包括11，13，4，m，8，共5个数据．
根据平均数定义，有：
解得
故答案为：14．
9. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，熟练掌握以上知识点是关键．
根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可．
【详解】解：根据题意先化简，
由条件可知，
解得．
故答案为：．
10. 如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限．
【答案】二
【解析】
【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据方程组解的情况求得的值，再根据一次函数的性质求解．由方程组无解，可得，解得，则直线为，根据一次函数图像与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵方程组无解，
∴，
解得，
将代入得，
∵，
∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
11. 如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________．
【答案】##64度
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数．
【详解】解：如图：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由光的反射定律得到：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了作图以及利用折叠性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分别当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标．
【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点为E，作．
设，由题意可得，，，
与关于直线对称，
，，
在中，，
．
在中，，
，
即，
解得，
点D的坐标是．
②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则，
这时，，
；
③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，，
在中，，则，
中，设，
利用勾股定理得到，
解得，
D点坐标为，
故D的坐标为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，掌握相关的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）运用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
所以方程组的解为．
14. 如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键．
先画出展开图，再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，
长为米；宽为4米．
∴最短路径为：（米）．
15. 已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）根据平方根，算术平方根，立方根的知识即可求解；
（2）先求出，再求其平方根即可．
【小问1详解】
解：的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身，
，，，
，，．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∵64的平方根为
的平方根为．
16. （1）如图1，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．画出关于轴对称的；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点，点，请仅用无刻度的直尺找出点关于轴的对称点（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、限定工具作图等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可解答；
（2）如图：连接并延长交y轴于D，连接，则，连接交y轴于E，连接交于，则，即即为所求．
【详解】解：（1）如图所示即为所求．
（2）如图所示点即为所求．
17. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与轴交于点，与直线相交于点．
（1）方程组的解是_________；
（2）求直线，与轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）直接利用图象法求方程组的解即可；
（2）待定系数法求出直线的函数解析式，再求出的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由图象可知：方程组的解为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：直线过、，
，
，
直线的解析式是：；
当时，，
，
，，
，
．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是．
（1）①点的“美好点”坐标是__________；
②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？
（2）若点的“美好点”位于轴上，求的值．
【答案】（1）① ②
（2）
【解析】
【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键．
（1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可；
②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可；
（2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可．
【小问1详解】
解：①设点的“美好点”为，
∴点的“美好点”坐标是；
故答案为：
点的“美好点”的坐标是．
②设点的坐标是
根据“美好点”的定义可得
解得：
点的坐标是
【小问2详解】
解：设点的“美好点”为，
根据“美好点”的定义可得，，
即
又在轴上
．
19. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．

（1）求证：；
（2）若平分，，求扶手与靠背的夹角度数；
（3）当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、角的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由对等角相等可得，进而得到，再根据同位角相等、两直线平行即可证明结论；
（2）由平行线的性质以及题意可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质以及角的和差可得，再根据同位角相等、两直线平行即可解答；
（3）由题意可得，再根据角的和差即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，，
，
∴．
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
平分，
，
∵，
，
，
∵，
．
【小问3详解】
解：∵，，
，
且平角为，即，
．
20. 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99、80、99、86、99、96、90、100、89、82；
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94、90、94；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请直接写出上述图表中，，的值：_______，_______，_______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩得分的学生人数是多少？
【答案】（1）40，94，99
（2）八年级，理由见解析
（3）780人
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数与众数、扇形统计图、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）先求出八年级10名学生的竞赛成绩在C组的人数所占百分比，再根据扇形统计图即可得a的值；然后根据中位数和众数的定义即可得b、c的值；
（2）从平均数、中位数与众数的角度进行分析即可得；
（3）利用该校七、八年级参加了此次竞赛活动的总人数乘以七、八年级参加此次竞赛活动成绩得分的学生人数所占的百分比即可得．
【小问1详解】
解：，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
，
故第5和第6个数据是94、94，
，
在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
．
故答案为：40，94，99．
【小问2详解】
解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．
【小问3详解】
解：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数（人）．
答：估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩得分的学生人数是780人．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题：
素材一
素材二 某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元．
素材三 该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠．
问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？
问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式．
【答案】问题1：选择套餐A的员工40人，选择套餐B的员工40人；问题2：．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键．
问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
问题2：分和列出函数关系式即可．
【详解】解：问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人．
根据题意，列方程组：，解得：．
答：选择套餐的员工40人，选择套餐的员工40人；
问题2，当时，
；
当时，
．
综上所述．
22. 数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________；
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组
（3）拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【小问1详解】
解：设，，则原方程组可化为，
的解为，
，
解得，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
故方程组的解为；
【小问3详解】
解：设，，则可化简得，
关于，的二元一次方程组的解为，
的解，即有，
解得：．
故方程组的解为：．
六、解答题（本大题共12分）
23. 模型建立：如图1，等腰直角中，，，经过点，，，求证：．
模型应用：如图2，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以点为直角顶点在第二象限作等腰直角，求出直线的函数关系式．
拓展应用：如图3，在长方形中，点，点是线段上的一动点，，已知点在第一象限，是直线上的一点，若是等腰直角三角形，且，求点的坐标．
【答案】模型建立：见解析；模型应用：；拓展应用：点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，全等三角形的判定和性质知识，解决问题的关键是构造全等模型.
模型建立：由，得，进而得证；
模型应用：先求出的坐标，过点C作轴于点H，先证明，再求出点C的坐标，进而利用待定系数法求的解析式即可．
拓展应用：作于，于，构造模型，设点，，，，，，得，进而得出点．
【详解】模型建立：证明：，，
，
，
，
，
，
又，
；
模型应用：解：如图，过点作轴于点，
直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为：、，
即，，
同（1）得，，
则，，
则点，
设直线的表达式为：，
则，解得：，
则直线的表达式为：；
拓展应用：解：如图，
作于，于，
设点，
，，，
同（1）得，，
∴，，
，
，，
即点的坐标为或．
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
众数
100
方差
52
套餐类型
服务内容
单人收费（元）
单人成本（元，含门票、物料、人工等）
套餐A（研学+采摘）
参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜）
150
80
套餐B（深度研学）
参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等）
200
110