2025-2026学年深圳罗湖区高一（上）期末数学试题+答案

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本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.解: 由条件，因为，则，又在上单调，
于是，则，解得，故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
11.解：令,可得,因为不恒为0,所以,选项A正确;由已知函数满足条件,但不是奇函数,选项C错误;若,令,有,于是,所以,因此是周期为4的周期函数,此时,因为,选项B错误,因为,选项D正确,故选AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.
14.解：由条件，解得，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数.
(1)若,求;(2)若,求的值.
解：(1)由条件;
若,6分
(2)当时,
.13分
16．（15分）
已知函数.
（1）若的解集为，求不等式的解集；
（2）若且在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题设知且的两根为，.
所以，，可得：，，
可化为：，即，解得：，
所以不等式的解集为7分
（2）由可得，,消去可得，对任意的恒成立，
（i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意；
（ii）当，即时，不等式，对任意的恒成立，
当且仅当，解得；
综上所述，实数的取值范围.15分
17．（15分）
函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式与单增区间；
（2）求的解集．
（3）当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值．
解：（1）由函数的部分图象可知，，于是，所以，所以函数，又，所以，
解得，由可得，所以.
令,解得，
故单调递增区间为.4分
（2），则，结合图象可得,解得，
故的解集为.9分
(3)由条件，关于对称，所以有，且有，
因此，
因为，则，所以.15分
18．（17分）
已知函数
（1）计算的值；
（2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断；
（3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心.
解：（1）.4分
（2）函数在上单调递减.证明如下：
由条件.任取，且，
因为，所以，
所以，即，故函数在上单调递减.10分
（3）证明：设，则.
因为函数定义域为，且，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于点成中心对称图形.17分
19．（17分）
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为上的“局部奇函数”.
（1）判断函数是否为上的“局部奇函数”，请说明理由；
（2）若定义在区间上的函数为“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
解：（1）假设存在，满足，即，解得，
因此方程有解，
所以函数为上的“局部奇函数”.3分
（2）只需研究方程的解.
（i）当时，，
此时， 于是，
当时 有,因此;
（ii）当时, ，
此时方程无解，不满足题意；
（iii）当时，，
此时，于是，
当时 有, 因此；
综上所述，实数的取值范围为.10分
（3）由题意，方程在上有解，
即在上有解，
即在上有解，记，此时，
于是在区间上有解，记,
（i）当时, 在区间上有解，
由，有，解得；
（ii）当时，方程在区间上有解，
当且仅当， 解得；
综上所述，实数的取值范围为17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
C
B
A
B
A
题号
9
10
11
答案
ACD
ABD
AD