四川省达州市2025-2026学年高二上学期教学质量监测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省达州市2025-2026学年高二上学期教学质量监测数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 在正四棱锥中，E为的中点，则， 已知A，B是椭圆C， 经过抛物线C等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列直线中与直线平行的是（ ）
A. B. C. D.
2. 数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知圆：，圆：，则圆与圆位置关系是（ ）
A. 外离B. 相切C. 相交D. 内含
4. 在正四棱锥中，E为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线m，n及平面，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
7. 在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知A，B是椭圆C：上关于原点对称两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列前n项和为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
10. 经过抛物线C：焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作准线的垂线，垂足为D，O为坐标原点，则（ ）
A B.
C. D. 点A，O，D共线
11. 现有一圆台形铁坯，其上、下底面半径分别为1，3，高为4，则（ ）
A. 该铁坯对应圆台侧面积为
B. 该铁坯对应圆台的外接球的表面积为
C. 用该铁坯可以车削出一个半径为2的铁球
D. 用该铁坯可以车削出一个体积为的圆柱
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，是椭圆的左､右焦点，点P在C上，则的周长为___________.
13. 已知数列的各项均为正数，且前n项和为，，则______.
14. 定义：为不小于x的最小整数，为不大于x的最大整数，如，.已知数列满足，，，则数列的前520项和为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正方体中，点E，F分别为棱，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与的夹角.
16. 已知直线：，椭圆：，为椭圆的右焦点.
（1）若圆M的圆心在上，半径为C的长半轴长，且经过点，求圆M的方程；
（2）过椭圆的下顶点B，作（1）中圆M的切线，交椭圆C于点A，且A在第一象限，求.
17. 已知等比数列的首项为，公比为，前项和为.
（1）证明：
（2）若，，设，，求数列的前n项和.
18. 如图，在扇形中，，，将扇形绕旋转到扇形的位置，动点D，E，F分别在，，上（不与端点重合），且.
（1）证明：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积；
（3）证明：平面与平面夹角的余弦为定值，并求出这个定值.
19. 已知双曲线：的一条渐近线为，为双曲线C的右焦点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过的直线交C于A，B两点，A在第一象限，B在第四象限，，线段的中点为P，直线且交x轴于点D.
（i）求取值范围；
（ii）能否为等腰三角形?若能，求出此时的方程；反之，说明理由.
达州市2025年秋季学期高二年级教学质量监测
数学试题
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列直线中与直线平行的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两直线平行的条件判断即可.
【详解】对于直线，可化为，
对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误，
对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确，
对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误，
对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误.
故选：B
2. 数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取特例排除BCD，变形前几项确定通项公式求解即可.
【详解】对于B，当时，，故B错误，
对于C，当时，，故C错误，
对于D，当时，，故D错误，
对于A，，，，
，，归纳可得，故A正确.
故选：A
3. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 相切C. 相交D. 内含
【答案】C
【解析】
【分析】求出、和即可由它们的大小关系得解.
【详解】由题可得圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径为，
所以两圆心距离为，且，
所以，
故圆与圆的位置关系为相交.
故选：C
4. 在正四棱锥中，E为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形法则即可求解.
【详解】.
故选：D
5. 已知直线m，n及平面，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由充分条件与必要条件求解即可
【详解】由题意可知：
当时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；
当时，成立，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
6. 从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解.
【详解】设垂线段的中点为，
则由题意可得点在抛物线上，所以，即，
所以垂线段的中点的轨迹方程是.
故选：D
7. 在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.
【详解】在直三棱柱中，可得平面，
因为，所以，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，
因为E为的中点，所以由中点坐标公式得，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得，，
故，设与平面所成角为，
则，故D正确.
故选：D
8. 已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出和，再利用余弦定理列式求解.
【详解】令椭圆C：的右焦点为，设该椭圆半焦距为，
由A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，得四边形是平行四边形，
则，，由椭圆定义得，
由余弦定理得，整理得，
所以椭圆C的离心率为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列前n项和为，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设出首项和公差，利用等差数列性质建立方程组求解首项和公差判断A，B，求出通项公式判断C，利用等差数列的求和公式判断D即可.
【详解】对于A，B设首项为，公差为，
因为，所以，
则，因为，所以，即，
联立方程组，解得，，故A错误，B正确，
对于C，由题意得，，则，故C正确，
对于D，由题意得，，
则不成立，故D错误.
故选：BC
10. 经过抛物线C：焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作准线的垂线，垂足为D，O为坐标原点，则（ ）
A. B.
C D. 点A，O，D共线
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意以及抛物线定义即可判断A；设，与抛物线联立求出韦达，代入焦点弦长公式即可判断B；计算即可求解判断C；写出点，计算和即可得解判断D.
【详解】由题意以及抛物线定义可得，故A正确；
由题可设，联立，
设，
则，故B正确；
由B得，所以，故C错误；
由题意可得，所以，
又，
所以点A，O，D共线，故D正确.
故选：ABD
11. 现有一圆台形铁坯，其上、下底面半径分别1，3，高为4，则（ ）
A. 该铁坯对应圆台的侧面积为
B. 该铁坯对应圆台的外接球的表面积为
C. 用该铁坯可以车削出一个半径为2的铁球
D. 用该铁坯可以车削出一个体积为的圆柱
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据简单几何体的表面积、体积计算公式逐项计算即可.
【详解】圆台上底半径，下底半径，高，
圆台母线.
选项A：由圆台侧面积公式.故A正确.
选项B：设外接球的球心到下底面的距离为，球半径为，
则球心到上底面的距离为.
由勾股定理，，
即，解得.
所以.
所以外接球的表面积为.故B正确.
选项C：圆台轴截面为等腰梯形（上底2，下底6，高4，腰长）.
梯形面积为，周长为.
设车削出球的最大半径为，则该球过球心的截面圆为梯形的内切圆，
所以，即，解得.故C错误.
选项D：设圆柱的底面半径为，高为，建立直角坐标系，
圆台轴截面等腰梯形腰（右侧）所在直线为：，即
圆柱体积：.
令，即，整理得解得或（舍去），
所以，该铁坯可以车削出一个体积为的圆柱.故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，是椭圆的左､右焦点，点P在C上，则的周长为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据椭圆的定义计算．
【详解】由椭圆方程知，，在椭圆上，
所以．
故答案为：10．
13. 已知数列的各项均为正数，且前n项和为，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据与的关系结合等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由可得，，两式相减得，
整理得，因为，所以，所以，
令可得，解得或（舍去），
所以数列是首项为，公差为等差数列，所以.
故答案为：
14. 定义：为不小于x的最小整数，为不大于x的最大整数，如，.已知数列满足，，，则数列的前520项和为_______.
【答案】260
【解析】
【分析】先求出数列是等差数列，进而求出数列的通项公式，结合该数列大小特性及数列的定义即可分析计算求解.
【详解】因为，，
所以，即，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，所以，
所以，当时，
又，
所以，
所以数列的前520项和为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正方体中，点E，F分别为棱，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与的夹角.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理得证.
（2）由（1）中坐标系，利用线线角的向量法求解.
【小问1详解】
在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，
，，
因此向量共面，而直线确定平面，
则平面，而平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）得，，因此，
而，则，
所以异面直线与的夹角为.
16. 已知直线：，椭圆：，为椭圆右焦点.
（1）若圆M的圆心在上，半径为C的长半轴长，且经过点，求圆M的方程；
（2）过椭圆的下顶点B，作（1）中圆M的切线，交椭圆C于点A，且A在第一象限，求.
【答案】（1）圆M的方程为.
（2）.
【解析】
【分析】（1）设圆心坐标，由椭圆求出圆的半径和点，利用距离公式求出圆心即可求解圆的方程；
（2）利用椭圆的上顶点即为点、且即可由勾股定理求解.
【小问1详解】
由题可设圆M的圆心为，半径为，且经过点，
所以，解得.
故圆M的圆心为，
所以圆M的方程为.
【小问2详解】
由题可得，由（1）椭圆的上顶点即为点，则
连接，则且，
所以.
17. 已知等比数列的首项为，公比为，前项和为.
（1）证明：
（2）若，，设，，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时直接证明，当时，利用错位相减法即可证明.
（2）首先利用等比数列前项和公式求出，然后求出，最后利用裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
当时，为常数列，所以；
当时，，等式两边同乘以可得
，两式相减得，所以.
综上所述，.
【小问2详解】
若，，则，所以，，所以.
18. 如图，在扇形中，，，将扇形绕旋转到扇形的位置，动点D，E，F分别在，，上（不与端点重合），且.
（1）证明：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积；
（3）证明：平面与平面夹角的余弦为定值，并求出这个定值.
【答案】（1）证明详见解析
（2）
（3）证明详见解析，定值为
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出及点到平面的距离，代入体积公式求解即可.
（3）设，得到相关向量，求出平面与平面的法向量，进一步求解即可.
【小问1详解】
因为，所以.
扇形绕旋转得到扇形，所以平面平面，且.
又平面，，所以平面.
【小问2详解】
由弧长公式，，可得，圆心角，即.
由（1）知，，，，
所以以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
即，，，
所以，，，，
所以，即为等边三角形，
所以.
设平面的法向量为.
则，即，令，则，所以.
所以点到平面的距离为.
所以.
【小问3详解】
设，则圆心角.
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为.
则，即，
令，则，所以.
又平面，所以即为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，
则.
所以平面与平面夹角的余弦为定值，定值为.
19. 已知双曲线：的一条渐近线为，为双曲线C的右焦点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过的直线交C于A，B两点，A在第一象限，B在第四象限，，线段的中点为P，直线且交x轴于点D.
（i）求的取值范围；
（ii）能否为等腰三角形?若能，求出此时的方程；反之，说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）不能，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由渐近线、焦点坐标，以及双曲线中的关系，建立方程求解;
（2）（i）设直线：，，与双曲线联立，由题干条件求出的范围，由韦达定理得出点坐标，表示出直线的方程，得到点坐标，得到的表达式，换元由单调性求范围即可；
（ii）表示出，，得出，结合几何关系得出三边的大小关系，从而不可能是等腰三角形.
【小问1详解】
由题意得，
双曲线C的方程为.
【小问2详解】
由题意，设直线：，，
联立，得，
则，则,
，，
由于，则，
则直线的方程，
令得，
则
令，则，
单调递增，
由于，则.
（ii）由于，则由勾股定理可得，
，
，
则，则，
则，不可能为等腰三角形.