2025-2026学年福建省福州市福清市八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年福建省福州市福清市八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源.通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为( )
A. 8.4×10−6B. 8.4×10−5C. 8.4×10−7D. 8.4×106
3.下列计算中，结果等于a6的是( )
A. a3+a3B. a12÷a2C. a2⋅a4D. (a−4)−2
4.如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE=6，AC=8，则BD长( )
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
5.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x2−4x−4B. 4x2−4x+1C. 4x2−9D. x2−6x+36
6.如图，∠B=20∘，∠A=∠C=40∘，则∠CDE的度数为( )
A. 40∘
B. 60∘
C. 80∘
D. 100∘
7.下列各式从左到右变形正确的是( )
A. −y−x=−yxB. x+1x+3=13C. x+2x2−4=1x−2D. xy2x2y=1
8.当n为正整数时，(n−1)2−(n−3)2一定能被下列哪个数整除( )
A. 3B. 6C. 5D. 4
9.如图为某校八年级(1)(2)班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八(1)(2)两个班级的基地面积.若m+n=8，mn=15，则S1−S2=( )
A. 12B. 14C. 16D. 22
10.小李同学在解决问题“已知x−y=4，求xy的最小值”时，给出框图中的思路：
结合以上小李同学的思路探究：若x+3y=6，则下列关于式子6−xy的说法正确的是( )
A. 有最小值3B. 有最大值3C. 有最小值−6D. 有最大值6
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若分式3x+1有意义，则x的取值范围是 .
12.分解因式：y2−2y= .
13.如图，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90∘，BC=EF，若要利用“HL”证明△ABC≌△DEF，则需要添加条件 .
14.若点A(3,m+4)与点B(n−5,3)关于y轴对称，则nm= .
15.若a=20260，b=2024×2026−20252，c=(−23)2024×(32)2025，则a，b，c的大小关系是 (用“>”表示).
16.如图，在四边形ABDE中，AB=4.5，DE=2，BD=6，C为BD边中点.若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120∘，则AE的长是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(−3xy2)⋅(2x2y)3；
(2)(a−3b)(2a+b).
18.(本小题8分)
已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D.求证：AC=AD.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是AC上一点，DE垂直平分AB，交AB于点E，AD=BC，∠C=2∠DBC，求∠A的度数.
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(1+m+1m−1)÷4mm2−1，其中m=−3.
21.(本小题8分)
A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时少搬运10kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少kg的化工原料？
22.(本小题10分)
如图，已知△ABC.
(1)利用尺规作图，在AC的下方作∠ACM=∠ACB，在射线CM上截取CD=CB，并连接AD(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)延长BA与射线CM交于点E，若BC=5，BE=5.5，CE=7.5，求△ADE的周长.
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠BAC=30∘，点D在线段AC上，点E在线段AB的垂直平分线上，连接AE、BE，∠AEB=2∠BDC，求证：BE=BD.
24.(本小题12分)
已知a，b，c，d均不为0，且ab=cd(即a，b，c，d成比例).
(1)若ab=cd=3，求a−2ba+b÷c−2dc+d的值；
(2)证明：a+bc+d=a−bc−d(a≠b,c≠d,a+b≠0,c+d≠0)；
(3)若a+2bc+2d=34，且a+b+c+d=21，求a+b与c+d的值.
25.(本小题14分)
如图，△ABC为等边三角形，点D和E分别在AB和AC上，AD=CE，连接CD，BE交于点F.
(1)如图1，求∠BFD的度数；
(2)如图2，过点A作AG//BE，交CD延长线于点G，连接BG，求证：△BFG为等边三角形；
(3)如图3，在(2)的条件下，在AE上取点K，连接DK，延长BE和DK交于点M，若KD=KC，求证：DG=FM.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B.
根据轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】A
【解析】解：0.0000084=8.4×10−6.
故选：A.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|1>−1，
∴c>a>b，
故答案为：c>a>b.
根据零指数幂的运算法则、平方差公式、幂的乘方与积的乘方运算法则分别计算，再比较大小即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，零指数幂，平方差公式，正确计算是解题的关键．
16.【答案】9.5
【解析】解：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，如图所示：
∵C是BD边的中点，BD=6，
∴CB=CD=12BD=3，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC，
又∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACF(SAS)，
∴CB=CF=3，AF=AB=4.5，∠BCA=∠FCA.
同理可证：△CGE≌△CDE(SAS)，
∴CG=CD=3，GE=DE=2，∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120∘，
∴∠BCA+∠DCE=180∘−120∘=60∘，
∴∠FCA+∠GCE=60∘，
∴∠FCG=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴△FGC是等边三角形，
∴FG=FC=3，
∴AE=AF+GE+FG=4.5+2+3=9.5，
故答案为：9.5.
由“SAS”可证△ACB≌△ACF，得CB=CF=3，AF=AB=4.5，∠BCA=∠FCA.同理可证△CGE≌△CDE(SAS)，得CG=CD=3，GE=DE=2，∠DCE=∠GCE，再证△CFG是等边三角形，得FG=CG=3，即可求解．
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】−24x7y5 2a2−5ab−3b2
【解析】解：(1)原式=−3xy2×8x6y3
=−24x7y5；
(2)原式=2a2+ab−6ab−3b2
=2a2−5ab−3b2.
(1)由单项式乘单项式的运算法则，即可计算；
(2)由多项式乘多项式的运算法则，即可计算．
本题考查整式的混合运算，关键是掌握单项式乘单项式的运算法则，多项式乘多项式的运算法则．
18.【答案】证明见解答．
【解析】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
∠CAB=∠DAB∠C=∠DAB=AB，
∴△ACB≌△ADB(AAS)，
∴AC=AD.
根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19.【答案】∠A=36∘.
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵AD=BD，
∴BD=BC，
∴∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
∵∠C=2∠DBC，
∴∠A=∠DBC=∠ABD，
∴∠ABC=2∠A，
∴∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+2∠A+2∠A=180∘，
∴∠A=36∘.
根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
20.【答案】m+12，−1.
【解析】解：(1+m+1m−1)÷4mm2−1
=m−1+m+1m−1⋅(m+1)(m−1)4m
=2mm−1⋅(m+1)(m−1)4m
=m+12，
当m=−3时，原式=−3+12=−1.
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m=−3代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】A型机器人每小时搬运90kg的化工原料，B型机器人每小时搬运100kg的化工原料．
【解析】解：设B型机器人每小时搬运x kg的化工原料，则A型机器人每小时搬运(x−10)kg的化工原料，
由题意得：900x−10=1000x，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴x−10=90.
答：A型机器人每小时搬运90kg的化工原料，B型机器人每小时搬运100kg的化工原料．
设B型机器人每小时搬运x kg的化工原料，则A型机器人每小时搬运(x−10)kg的化工原料，根据A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】图形如图所示：
8
【解析】解：(1)图形如图所示：
(2)如图，∵CB=CD=5，CE=7.5，
∴DE=CE−CD=77.5−5=2.5，
∵CB=CD，∠ACB=∠ACD，AC=AC，
∴△ACB≌△ACD(SAS)，
∴AD=AB，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AB+DE=EB+ED=5.5+2.5=8.
(1)根据要求作出图形即可；
(2)利用全等三角形的性质证明AD=AB，再证明△ADE的周长=EB+ED，可得结论．
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23.【答案】作EF⊥AB于点F，则∠BFE=90∘，
∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠BAC=30∘，
∴BC=12AB，∠BFE=∠C，
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴AE=BE，
∴BF=AF=12AB，∠BEF=∠AEF=12AEB，
∴BF=BC，
∵∠AEB=2∠BDC，
∴∠BDC=12∠AEB，
∴∠BEF=∠BDC，
在△BEF和△BDC中，
∠BEF=∠BDC∠BFE=∠CBF=BC，
∴△BEF≌△BDC(AAS)，
∴BE=BD.
【解析】证明：作EF⊥AB于点F，则∠BFE=90∘，
∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠BAC=30∘，
∴BC=12AB，∠BFE=∠C，
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴AE=BE，
∴BF=AF=12AB，∠BEF=∠AEF=12AEB，
∴BF=BC，
∵∠AEB=2∠BDC，
∴∠BDC=12∠AEB，
∴∠BEF=∠BDC，
在△BEF和△BDC中，
∠BEF=∠BDC∠BFE=∠CBF=BC，
∴△BEF≌△BDC(AAS)，
∴BE=BD.
作EF⊥AB于点F，由∠C=90∘，∠BAC=30∘，得BC=12AB，∠BFE=∠C，因为点E在线段AB的垂直平分线上，所以AE=BE，则BF=AF=12AB，∠BEF=∠AEF=12AEB，所以BF=BC，由∠AEB=2∠BDC，得∠BDC=12∠AEB，则∠BEF=∠BDC，可根据“AAS”证明△BEF≌△BDC，则BE=BD.
此题重点考查直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
24.【答案】1 由已知可得a=3b，c=3d，
则a+bc+d=3b+b3d+d=4b4d=bd，
a−bc−d=3b−b3d−d=2b2d=bd，
∴a+bc+d=a−bc−d a+b=9，c+d=12
【解析】解：(1)由已知可得a=3b，c=3d，
则原式=3b−2b3b+b÷3d−2d3d+d
=b4b×4dd
=1.
(2)由已知可得a=3b，c=3d，
则a+bc+d=3b+b3d+d=4b4d=bd，
a−bc−d=3b−b3d−d=2b2d=bd，
∴a+bc+d=a−bc−d.
(3)设ab=cd=k，
则a=bk，c=dk，
∵a+2bc+2d=34，
∴bk+2bdk+2d=34，
∴b(k+2)d(k+2)=34，
∴bd=34，
∴d=43b，
∵a+b+c+d=21，
∴kb+b+dk+d=21，
∴b(k+1)+d(k+1)=21，
∴(k+1)(b+d)=21，
∴(k+1)(b+43b)=21，
∴7b3(k+1)=21，
∴(k+1)b=9，
∴a+b=bk+b=b(k+1)=9，
∴c+d=21−9=12.
(1)由已知可得a=3b，c=3d，再代入原式即可；
(2)由已知可得a=3b，c=3d，分别代入等号的左边和右边即可得证；
(3))设ab=cd=k，则a=bk，c=dk，再代入原式可求出d=43b，最后再代入a+b+c+d=21，进而得出答案．
本题主要考查比例的性质，熟练掌握其知识点是解题的关键．
25.【答案】∠BFD=60∘ 证明：在GC上截取GH=GA，连接AH.
∵AG//BE，
∴∠AGD=∠BFD=60∘.
∵GH=GA，
∴△AGH是等边三角形，
∴∠GAH=∠GHA=∠BAC=60∘AG=AH，
∴∠GAH−∠BAH=∠BAC−∠BAH，
即∠GAB=∠HAC，∠AHC=120∘.
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴△GAB≌△HAC(SAS)，
∴∠BGA=∠CHA=120∘，
∴∠BGF=∠BGA−∠AGD=120∘−60∘=60∘，
∴∠GBF=180∘−∠BGF−∠BFD=60∘.
∴∠GBF=∠BFD=∠BGF，
∴△BGF是等边三角形 证明：在FC上截取FS=FM，
∵∠DFB=∠MFS=60∘，
∴△MFS是等边三角形，
∴∠MSF=∠BGD=60∘，
∵KD=KC，
∴∠ACD=∠CDK，
∵△GBF与△ABC是等边三角形，
∵∠GBF=∠ABC=60∘，
∴∠GBD=∠GBF−∠DBF=60∘−∠DBF，∠FBC=∠ABC−∠DBF=60∘−∠DBF，
∴∠GBD=∠FBC=∠DCK=∠KDC，
∵△GBF是等边三角形，
∴∠GBF=∠GFB=60∘，
∴∠DBF=∠GBF−∠GBD=60∘−∠GBD，∠DMF=∠DFB−∠KDC=60∘−∠KDC，
∴∠DBF=∠DMF，
∴DB=DM，
∴△GBD≌△SDM(AAS)，
∴GD=MS=FM
【解析】(1)解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠ACB=60∘，
在△DAC和△ECB中，
AD=CE∠A=∠ACBAC=CB，
∴△DAC≌△ECB(SAS)，
∴∠EBC=∠ACD，
∴∠BFD=∠EBC+∠FCB=∠ACD+∠FCB=∠ACB=60∘；
(2)证明：在GC上截取GH=GA，连接AH.
∵AG//BE，
∴∠AGD=∠BFD=60∘.
∵GH=GA，
∴△AGH是等边三角形，
∴∠GAH=∠GHA=∠BAC=60∘AG=AH，
∴∠GAH−∠BAH=∠BAC−∠BAH，
即∠GAB=∠HAC，∠AHC=120∘.
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴△GAB≌△HAC(SAS)，
∴∠BGA=∠CHA=120∘，
∴∠BGF=∠BGA−∠AGD=120∘−60∘=60∘，
∴∠GBF=180∘−∠BGF−∠BFD=60∘.
∴∠GBF=∠BFD=∠BGF，
∴△BGF是等边三角形．
(3)证明：在FC上截取FS=FM，
∵∠DFB=∠MFS=60∘，
∴△MFS是等边三角形，
∴∠MSF=∠BGD=60∘，
∵KD=KC，
∴∠ACD=∠CDK，
∵△GBF与△ABC是等边三角形，
∵∠GBF=∠ABC=60∘，
∴∠GBD=∠GBF−∠DBF=60∘−∠DBF，∠FBC=∠ABC−∠DBF=60∘−∠DBF，
∴∠GBD=∠FBC=∠DCK=∠KDC，
∵△GBF是等边三角形，
∴∠GBF=∠GFB=60∘，
∴∠DBF=∠GBF−∠GBD=60∘−∠GBD，∠DMF=∠DFB−∠KDC=60∘−∠KDC，
∴∠DBF=∠DMF，
∴DB=DM，
∴△GBD≌△SDM(AAS)，
∴GD=MS=FM.
(1)易证△DAC≌△ECB(SAS)，即可得解；
(2)在GC上截取GH=GA，连接AH，易得△AGH是等边三角形，再证△GAB≌△HAC(SAS)，即可得证；
(3)在FC上截取FS=FM，易得△MFS是等边三角形，再证△GBD≌△SDM(AAS)，即可得证．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．∵x−y=4，
∴x=y+4，
则xy=(y+4)y=y2+4y=(y+2)2−4，
∵(y+2)2≥0，
∴(y+2)2−4≥−4，
∴xy的最小值为−4.