2024-2025学年福建省福州市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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1．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是
A．
B．
C．
D．
2．点关于轴对称的点的坐标为
A．B．C．D．
3．下列式子运算正确的是
A．B．C．D．
4．按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的△的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．把多项式分解因式，结果是
A．B．C．D．
6．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是
A．7B．9C．12D．10或12
7．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是
A．2B．3C．3.5D．4
8．若与的乘积中不含的一次项，则实数的值为
A．B．0C．1D．3
9．图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是
A．B．C．D．
10．如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为
A．2B．2.5C．4D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： ．
12．如图，△△，，，则 ．
13．若是完全平方式，则的值是 ．
14．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为13，，则的周长为 ．
15．当，则的值为 ．
16．如图，的边与轴正半轴重合，点是上的一动点，点是上的一定点，点是的中点，，要使最小，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．因式分解：
（1）；
（2）；
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，，，．求证：．
20．图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形．
（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法 ；方法 ；
（3）观察图2，尝试写出、、三个式子之间的等量关系式是： ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值．
21．如图：在△中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点，的坐标分别是，．
（1）请图1中添加一个格点，使得△是轴对称图形，且对称轴经过点．
（2）请图2中添加一个格点，使得△也是轴对称图形，且对称轴经过点．
23．如图，在中，，．
（1）尺规作图：①在线段上求作一点，使；②连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）在（1）的条件下，若，求的周长．
24．阅读材料：若，求、的值．
，
，
，，
，．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求边的最大值；
（3）若已知，，求的值．
25．在数学实践活动中，小王和小兰同学将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究．
（1）如图1，点、在坐标轴上，点在的平分线上，连接、，用直尺量得，过点作向坐标轴作垂线、，垂足分别为点、．求证：；
（2）如图2，△为等腰直角三角形，点在第二象限，，，若，求点的坐标；
（3）如图3，△为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是
A．
B．
C．
D．
【答案】
解：选项、、的图形均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形；
选项的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形．
故选：．
2．点关于轴对称的点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
解：由关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
3．下列式子运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
解：与是同类项，可以合并，，不符合题意；
．根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘”知，不符合题意；
．根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知，符合题意；
．根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”知，不符合题意．
故选：．
4．按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的△的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
【解答】、，不能构成三形，故本选项不符合题意；
、，，，不符合三角形全等的条件，不能画出形状、大小确定的三角形，故本选项不符合题意；
、，，，符合，能画出形状、大小确定的三角形，故本选项符合题意；
、，，，不符合三角形全等的条件，不能画出形状、大小确定的三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
5．把多项式分解因式，结果是
A．B．C．D．
【答案】
解：原式
．
故选：．
6．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是
A．7B．9C．12D．10或12
【答案】
解：根据三边关系定理，分别讨论：
当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：．
答：周长为12．
故选：．
7．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是
A．2B．3C．3.5D．4
【答案】
解：如图，作于，
，，
，，
平分，
，
，
，
即点到的距离是4．
故选：．
8．若与的乘积中不含的一次项，则实数的值为
A．B．0C．1D．3
【答案】
解：
，
与的乘积中不含的一次项，
，
解得．
故选：．
9．图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是
A．B．C．D．
【答案】
解：由折叠的性质得，
四边形是长方形，
，，
，，
，
，
故选：．
10．如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为
A．2B．2.5C．4D．5
【答案】
解：分别延长与交于点，作交延长线于点，
平分，，
，（三线合一），
，
，
，
，
当点、重合时，最大，最大值为2，
，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算： ．
【答案】．
解：．
故答案为：．
12．如图，△△，，，则 ．
解：△△，
，
，
故答案为：．
13．若是完全平方式，则的值是 4或 ．
【答案】4或．
解：由条件可知或，
解得或，
故答案为：4或．
14．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为13，，则的周长为 23 ．
【答案】23．
解：的垂直平分线分别交，于点，．，
，，
的周长为13，
，
，
，
的周长，
故答案为：23．
15．当，则的值为 4 ．
解：，
，
原式．
故答案为：4．
16．如图，的边与轴正半轴重合，点是上的一动点，点是上的一定点，点是的中点，，要使最小，则点的坐标为 ， ．
解：作关于的对称点，连接交于，
则此时，最小，
垂直平分，
，，
是等边三角形，
点是的中点，
，
点，
，
点是的中点，
，
，
，．
故答案为：，．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．因式分解：
（1）；
（2）；
【答案】（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，12．
解：原式
，
当时，原式．
19．如图，，，．求证：．
【答案】证明见解析过程．
【解答】证明：，，
，
在△和△，
，
△△，
，，
，即．
20．图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形．
（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）；
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法 ；方法 ；
（3）观察图2，尝试写出、、三个式子之间的等量关系式是： ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）20．
解：（1）根据图示可得，图2中阴影部分的正方形的边长等于：．
故答案为：；
（2）图2中阴影部分的面积为：
方法一：；方法二：．
故答案为：；；
（3）、，
，
故答案为：；
（4）由（3）可得，，
，且，，
．
21．如图：在△中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【解答】（1）证明：如图，连接，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为线段的中点，
；
（2）解：，，
，
．
22．在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点，的坐标分别是，．
（1）请图1中添加一个格点，使得△是轴对称图形，且对称轴经过点．
（2）请图2中添加一个格点，使得△也是轴对称图形，且对称轴经过点．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．
解：（1）如下图1，
可知点的对称点是点，点的对称点还是点，连接、、可知△是轴对称图形，且对称轴经过点，点即为所求；
（2）如图2，
可知点的对称点是点，点的对称点还是点，连接、、可知△是轴对称图形，且对称轴经过点，点即为所求．
23．如图，在中，，．
（1）尺规作图：①在线段上求作一点，使；②连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）在（1）的条件下，若，求的周长．
【答案】（1）见解答；
（2）；
（3）16．
解：（1）如图所示：点、即为所求；
（2），
，
在中，，
；
（3），，
，
由作图可知：，，
，
的周长为：．
24．阅读材料：若，求、的值．
，
，
，，
，．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求边的最大值；
（3）若已知，，求的值．
【答案】（1）；
（2）的最大边的值为6；
（3）．
解：（1），
，
，
，，
，，
，，
；
（2），
，
，
，，
，，
三角形两边之和第三边，
，，
，
又是正整数，
的边的值4，5，6；
的边的最大值6．
（3），即，代入得：
，
，
，
，，
，，，
．
25．在数学实践活动中，小王和小兰同学将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究．
（1）如图1，点、在坐标轴上，点在的平分线上，连接、，用直尺量得，过点作向坐标轴作垂线、，垂足分别为点、．求证：；
（2）如图2，△为等腰直角三角形，点在第二象限，，，若，求点的坐标；
（3）如图3，△为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：点在的平分线上，、，
，
在△和△中，
，
△△，
，
；
；
（2）解：如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，，
解得：，，
，，
，，
，，
，
点的坐标为；
（3）解：如图，过点作轴，分别过点，作，，交轴于点，设交轴于点，连接，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
点在第四象限且纵坐标为，
，
，
平分，
，
在△和△中，
，
△△，
，，，
，
在轴上取点，使，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
即．