重庆市第八中学校2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中1-9题只有一个选项符合题目要求，10题有多个选项符合题目要求，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
1．如图所示图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，若，且直线轴，则的值是（ ）
A．B．1C．2D．3
6．一组数据：，，，，如果再添加一个数据，那么会发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
8．设，则实数的值应在（ ）
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
9．现用张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做个盒身或做个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身，多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（ ）
A．B．C．D．
10．（多选）对于一次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数图像象一定经过点
B．当时，若的取值增加2，则的值也增加2
C．该函数图像向右平移2个单位后一定经过坐标原点
D．若该函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．16的算术平方根是 ．
12．若，则， ．
13．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为 ．
14．如图，在中，，点边上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，若，则 ．

三、解答题（本大题共5小题，15题8分，16题6分，17-19题，每题10分，共44分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
15．（1）因式分解：
（2）解不等式组
16．若关于的二元一次方程组的解中和的和为1，求的值．
17．如图，已知，平分．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点．连接，．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)若，求四边形的周长．
18．为了更好的了解孩子们的体育水平，全力备战中考，某校体育组从初三年级体考成绩中随机抽查了20名男生和20名女生的体考成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息：
20名男生的体考成绩（单位：分）：50，50，50，49，49，49，48，47，47，46，46，46，46，45，44，44，43，42，40，39；
20名女生的体考成绩为等级的数据是：46，46，46，47，47，45，46．
所抽取的学生体考成绩统计表
所抽取的20名女生的体考成绩扇形
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中______，组圆心角度数______．
(2)根据以上数据，你认为该校男生的体育成绩好还是女生的体育成绩好？请说明理由（一条即可）；
(3)该校初三年级共有1600名学生，参与此次体考测试，其中男女生的比例为，估计初三年级参加测试的学生等级为的共有多少人？
19．已知、两地之间的路程为，甲从地到地，乙从地到地，两人同时出发，各自到达目的地后并停止相应的运动，出发2小时后，甲第一次与乙相遇，相遇后甲再行驶4小时到达目的地，乙比甲先到达目的地，甲乙两人之间的距离为，运动时间为
(1)直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图像，直接写出时的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0．2）
B卷（共50分）
四、选择填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将20，21题的答案在答题卡上对应选项的代号涂黑．请将22，23，24题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
20．如图，已知点，点在线段上运动，当时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
21．教材102页有关“智慧数”的材料告诉我们：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，，，，，……．3、5、7、8、16都是“智慧数”．关于“智慧数”下列选项正确的是（ ）
A．4是“智慧数”
B．19是“智慧数”
C．52是“智慧数”
D．若将“智慧数”从小到大排列，则第49个“智慧数”是64
22．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点为，点恰好在边上，且，则长度为 ．
23．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，动点在射线上，且，当时，则的最小值为 ．
24．如果一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且千位与十位上的数字之差等于百位与个位上的数字之差，则称为“等差数”，将千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，记，若为等差数，且，则数为 ；若为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最小“等差数”是 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25．已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：）
(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；
(2)若的长度为，求购物车把手到的距离．（结果精确到）
26．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
图1 图2
(1)求直线的解析式；
(2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标；
(3)如图2，将直线水平向左平移个单位得直线，直线与轴交于点，连接，若点为平面内一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出直线与轴交点的坐标，若不存在，请说明理由．
27．在中，，点是边上一动点（点不与点、重合），连接．
图1 图2 图3
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，过点作的垂线交于点，求证：；
(3)如图3，以为直角顶点，在下方作直角，点为的中点，连接，点为的中点，连接，若，直接写出的取值范围．

参考答案与解析
1．B
解析：解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.是中心对称图形，符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2．B
解析：解：由二次根式的被开方数的非负性得：，
解得，
故选：B．
3．C
解析：解：A.，结论错误，不符合题意；
B.，结论错误，不符合题意；
C.，结论正确，符合题意；
D.，结论错误，不符合题意；
4．B
解析：解：点(-4，3)关于y轴对称的点的坐标是(4，3)，
故选：B．
5．A
解析：解：直线轴，
，
．
故答案为：A．
6．D
解析：原数据的3、4、4、5的平均数为，中位数为，众数为4，方差为 ；
新数据3、4、4、4、5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为；
∴添加一个数据4，方差发生变化．
故选：D．
7．D
解析：∵不等式的解集为，
∴，
解得，
故选：D．
8．B
解析：解：由题意得
，
，
，
故选：B．
9．B
解析：设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，
依题意可得
故选B．
10．AC
解析：∵ ，
∴时，，
故直线一定过定点，
故A正确，符合题意；
当时，y随x的增大而减小，
故的取值增加2时，则的值减小4，
故B错误，不符合题意；
∵ ，
∴图像向右平移2个单位后，得，
一定经过原点，
故C正确，符合题意；
∵ ，
∴与x轴的交点为，与y轴的交点为，
∵ 函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积是4，
∴，
解得或，
故D错误，不符合题意，
故选AC．
11．4
解析：解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12．
解析：解：∵，
∴ab（a＋b）＝﹣3×2＝﹣6，
故答案为﹣6
13．
解析：解∵一次函数与的图象交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：
14．##13度
解析：解：由折叠的性质得，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．（1）；（2）
解析：(1)解：原式
（2）解：不等式组
由①得：；
由②得：；
不等式组的解集为：．
16．
解析：解：由题可得：，解得
将代入得：
解得：
的值为．
17．(1)见解析
(2)8
解析：（1）解：如图所示
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
，
又∵平分，
∴，
在和中
，
（），
∴，
∴，
∴四边形的周长为8．
18．(1)，
(2)女生，见解析
(3)624人
解析：（1）男生中数据46出现的次数最多，故众数为46，
故；
根据题意，得人，B类有7人，故中位数是第10个数据45，第11个数据46 的平均数，
∴ ，
故，
B组的圆心角为，
故答案为：，．
（2）我认为该校女生的体育成绩好，
理由如下：因为男生体育成绩的中位数是46．
小于女生体育成绩的中位数是47．
（3）三年级共有1600名学生，参与此次体考测试，其中男女生的比例为，
故男生为人，女生数为640人，
样本中，男生、女生体育成绩等级为的占比分别为：，
∴人，
答：估计初三年级参加测试的学生等级为的共有624人．
19．(1)
(2)见解析
(3)
解析：（1）根据题意，甲的速度为，乙的速度为，甲走完全程用时间为，乙走完全程用时间为，
当时，，，
∵ ，
∴；
当时，，，
∴；
时，此时乙到达A地，甲到达千米处，此时，
综上所述，y与t的函数关系式为．
（2）根据题意，结合，画图像如下：
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大．
（3）∵且，
∴，
解得；
∴，
解得；
故t的取值范围是．
20．C
解析：根据题意，得，
故点关于轴的对称点，且，
∵ ，
∴，
故点一定在点的下方，且最低端与点重合，
∴，
故选C．
21．BCD
解析：解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．
对于大于1的奇正整数，有（，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数，有（，3，…）．
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数（，1，2，3，…），设，其中x，y为正整数，
当x，y奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除；
当x，y奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，总得矛盾．
所以不存在自然数x，y使得．即形如的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
，19为“智慧数”， B选项正确；
，52为“智慧数”， C选项正确；
由上可得，全部“智慧数”从小到大可三个数分为一组，从第二组开始，每一组的第一个数都是4的倍数，
则，
第49个“智慧数”位于第16组的第1个数，
则第49个“智慧数”是：
所以64是第49个“智慧数”，D选项正确；
故选：BCD．
22．
解析：解：设，
，
，
，
，
，
由旋转得：，
，
，
解得：，
，
，
，
，
在中，
，
由旋转得：，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
在中：
，
即：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
长度为；
故答案：．
23．
解析：解：取的中点D，连接，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴点与点D关于对称，
∴，
连接，即当D、Q、B在一条直线上时，的值最小，最小值为的长，过点D作于点E，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
24． 2659 5612
解析：解：∵为等差数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
联立，解得，
∴数为；
设M的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c、d，
∴，，
∴
，
∵为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，
∴可设（k为自然数），
∴，
∴一定是4的倍数，
∴一定要是4的倍数，且，
∴或，
又∵要满足M最小，且a、c不为0，
∴要满足a最小，且要满足b最小，
∴，
∴，
又∵a、b、c、d互不相同，
∴，
∴满足题意的M的值为5612，
故答案为：2659；5612．
25．(1)垂直，见解析
(2)
解析：（1）解：在中．
∵
∵，
∴
答：两支架与为垂直的位置关系
（2）过点作的垂线，交的延长线分别于点
∵
∴
在中，
∴
在中，
∴
答：购物车把手到的距离为：
26．(1)
(2)或
(3)存在，直线与轴的交点坐标为或
解析：（1）解：当时，，
解得：，
，
，
，
，
将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：．
（2）联立方程组：，
解得：，
∴，
，
∴，
过点作轴垂线交于点，如图：
设，则，
，
∴，
或，
∴或．
（3）存在，理由如下：
由（1）得：，
令，则，
，
，
，
，
，
将直线水平向左平移个单位得直线，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，
，，
，
直线与轴交点的坐标，
如图：
直线与轴交于，
当时，此时，
，
，
，
，
，
在，根据勾股定理得：
，
，
直线与轴的交点坐标为，
综上所述，直线与轴的交点坐标为或．
27．(1)
(2)见解析
(3)
解析：（1）过点作，垂足为，
设，则，
∴，
∴，
∴．
（2）过点作的平行线交于点，
∵，
∴
同理可得：
又，
∴，
∴
在和中
∴，
∴
又∴
在和中
∴
．
（3）如图，连接，取其中点G，连接并延长交于点H，
∵ 点为的中点，
∴ 是的中位线，
∴，
∵ ，
∴，
过点D作，交的反向延长线于点O，
则四边形是矩形，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
取的中点K，连接，
则是的中位线，
∴，
∵ ，
∴，
连接，
∵ ，，
∴，，
∵ ，，
∴三点共线，
∴，
取的中点P，连接，
则，，
∴，
∴的平行线间的距离为，
根据垂线段最短，
当时，取得最小值，且，
当与点A重合，点Q与点P重合时，取得最大值，且，
故的取值范围是．性别
平均数
中位数
众数
男
46
46
女
48