《勾股定理与三角形》精选压轴题—2025-2026年广东省（北师版）八年级上册数学期末复习专题训练

这是一份《勾股定理与三角形》精选压轴题—2025-2026年广东省（北师版）八年级上册数学期末复习专题训练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中，以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．意思是：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AB=1尺），将它往前推进两步，一步合5尺（CA'=10尺），此时踏板离地五尺（A'D＝5尺），则秋千绳索OA的长度为（ ）
A．10.5尺B．14.5尺C．20尺D．29尺
2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为8m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m，一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（ ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，π取3）
A．17B．341C．434D．389
3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，DF，已知△ABC，△ADF， △BDE都是等边三角形，点M，N分别是AF，DE的中点，连接MN，当AD=2，∠DNM=45∘时，BD的长度为（ ）
A．23B．4C．32D．25
4．如图，平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(0，−4)、(9，0)，点B(b，4)在第一象限内，连接AB交x轴于点D，连接AC，∠CBA=2∠BAO，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．20C．24D．25
5．如图，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边向外侧作正方形AFGB，正方形BHLC，正方形ACDE，连接EF，GH，DL，再过A作AK⊥BC于K，延长KA交EF于点M．①S正方形AFGB+S正方形ACDE=S正方形BHLG；②EM=MF；③2AM=BC；④当AB=3，BC=5，∠BAC=90°时，S阴影部分=20，其中正确的结论共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
6．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，三角形内有一点P，连接AP，BP，CP，若BP平分∠ABC，∠BCP=13∠ACB，则∠PAC= .
7．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠DAE=∠CAB=90∘，点C在边DE上，BC与AE交于点F，若CE=1，DC=3，记△ABF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则S1−S2= .
8．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为 ．
9．如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=8，点E上线段AD上的一点，且满足AE=3ED，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△BEF，延长EF交BC的延长线于点G，则△BEG的面积是 ．
10．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC与点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG=1，BC=6，则AF= ．
11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=10，点D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），将△ABD沿AD翻折，点B的对应点为点E，AE交BC于点F，若DE∥AC，则点C到线段AD的距离为 ．
12．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF=AG，则BE的长为 ．
13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为 ．
三、解答题
14．综合与实践
【动手操作】
数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线AP，使得AP∥l．小明同学设计的做法如下：
①在直线l上取两点B、C，连接AB，以点B为圆心，小于AB的长度为半径作弧，交线段AB于点D，交线段BC于点E；
②分别以点D和E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F，作射线BF；
③以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交射线BF于点P，作直线AP．
则直线AP平行于直线l．
（1）根据小明同学设计的尺规作图过程，在图2中补全图形；（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
（2）【验证证明】
请证明直线AP∥l；
（3）【拓展延伸】
已知：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等．在图2中连接AC，PC，请直接写出△ABC与△PBC的面积关系 ；
（4）【应用实践】
某市政府为发展新能源产业，决定在如图3所示的四边形ABCD空地上划出20km2区域用于建设新能源产业发展基地．已知在四边形ABCD中，∠DAB=45°，∠B=90°，AB=8km，BC=5km．为便于运营管理，某公司向政府提出在线段AB上取一点E使得四边形BCDE的面积为20km2，则AE= km．
15．先阅读下列材料，然后解决问题：
【阅读感悟】
在平面直角坐标系中，已知点Q(t−2，t+3)，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组t−2=xt+3=y消去t，得y−x=5，即y=x+5，可以发现，点Q随t的变化而运动所形成的图象的解析式是y=x+5．
（1）【尝试应用】
观察下列四个点的坐标，不在函数y=−x+4图象上的是____.
A．M(1，3)B．N(t，t−4)
C．P(4−t，t)D．P(2t，4−2t)
（2）求点M(3−t，2t−7)随t的变化而运动所形成的图象的解析式；
（3）【综合运用】
如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数y=12x+4的图象上运动．已知点A(3，0)为定点，连接PA，过点A作直线BA⊥PA，且BA=PA，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式．
16．如图1，△ABC和△ECD在线段BD的同侧，且边BC与CD在同一直线上，AB=CD，BC=ED，∠ABC=∠EDC=90°，连接AE．
（1）在图1中，△ACE的形状为 ．
（2）如图2，若∠ABC=∠EDC=60°，请判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）如图3，若∠ABC=∠EDC=120°，∠BAC和∠CED的角平分线交于点P，请直接写出∠P的度数．
17．如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼A与校内道路l的距离AM为50米，教学楼B与校内道路l的距离BN为160米，MN=210米，现要在校内道路旁建造一超市．
（1）请在图1中画出点P（点P在道路l上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼A走到超市P，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．
（2）如图2所示，若宿舍楼A和教学楼B之间有一面70米长的校园文化墙CD，文化墙CD垂直于校内道路l，D到校内道路l的距离DR为40米，MR=120米，RN=90米，现在依然要求学生从宿舍楼A走到超市P，再走到教学楼B所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙CD这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为A'P2+P2B>A'P1+P1B，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长A'P1交BP2于点I，
∵A'P2+P2B=A'P2+P2I+IB，A'P2+P2I>A'I
∴A'P2+P2B>A'I+IB
又∵A'I+IB=A'P1+P1I+IB， ▲ ，
∴A'I+IB>A'P1+P1B
∴A'P2+P2B>A'P1+P1B
②如图5，延长BD交校内道路l于点T，过A作AX⊥l于点X，Y是l上T右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市P的位置应位于 ▲ （从以下四个选项中选择）．
A．X左侧B．线段XT上C．线段TY上（不含点T）D．Y右侧
③请在图6中画出超市P的位置，并求出最短路程．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】80°
7．【答案】32
8．【答案】17
9．【答案】1703
10．【答案】45
11．【答案】33
12．【答案】2411或2211
13．【答案】23
14．【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2）证明：由作图步骤可知BF为∠ABC的角平分线
∴∠ABP=∠CBP，
∵以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交射线BF于点P，
∴AB=AP，
∴∠ABP=∠APB，
∴∠CBP=∠APB，
∴AP∥l．
（3）SΔABC=SΔPBC
（4）3
15．【答案】（1）B
（2）解：令x=3−ty=2t−7，
消去t得：y=2(3−x)−7=−2x−1，
故解析式为：y=−2x−1；
（3）解：（3）设P(t，12t+4)，
①当点B在第一象限时，过点P作PE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵BA=PA，BA⊥PA，
∴△PAB为等腰直角三角形，
∴∠PAB=90°，
∴∠PAE+∠BAD=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，
∴∠BAD=∠APE，
∵∠PEA=∠ADB=90°，PA=AB，
∴△PEA≌△ADB(AAS)，
AE=3−t，PE=12t+4，
∴AD=PE=12t+4，
∴OD=OA+AD=3+12t+4=12t+7，
BD=AE=3−t，
设B(x，y)，
∴x=12t+7y=3−t，
消去t得y=−2x+17；
②当点B第三象限时，过点A作直线l⊥x轴于点A，过点P作PG⊥l于点G，过点B作BH⊥l于点H，设BH与y轴交于点M，
同理可得BH=AG=12t+4，BM=12t+4−3=12t+1，
AH=PG=3−t，
设B(x，y)，
∴x=−12t−1y=t−3，
消去t得y=−2x−5；
综上所述，点B随点P变化而运动所形成的图象的解析式为y=−2x+17或y=−2x−5．
16．【答案】（1）等腰直角三角形
（2）解：△ACE为等边三角形
∵在△ABC和△CDE中， AB=CD∠ABC=∠EDCBC=ED
∴△ABC≌△CDE(SAS)
∴∠BAC=∠DCE，AC=CE
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB=120°，
∴∠ACE=60°
∵AC=CE，∠ACE=60°，
∴△ACE为等边三角形．
（3）解：∵AB=CD，BC=ED，∠ABC=∠EDC=120°
∴△ABC≌△CDE
∴∠CED=∠ACB
∵∠BAC和∠CED的角平分线交于点P
∴∠PAC=12∠BAC，∠CEP=12∠CED=12∠ACB
∴∠PAC+∠CEP=12(∠BAC+∠ACB)=12(180−∠ABC)=30°
∴∠P=180°−(∠PAC+∠CEP)−60°=90°．
17．【答案】（1）解：如图所示，
∴PA+PB=PA'+PB≥A'P，
∴A'P的长度即为PA+PB的最小值，
∵AM=50，BN=160，MN=210，
∴NC=A'M=AM=50，A'C=MN=210，
∴BC=BN+NC=210，
∴A'B=A'C2+BC2=2102；
（2）①P1I+IB>P1B_；
②B；
③如图所示，过点A作AM⊥l，过点B作BN⊥l，作点A关于l的对称点A'，连接AD交l于点P，过点A'作A'E⊥CD交CD延长线于点E，过点D作DG⊥BN，
∵DR=40，MR=120，A'M=AM=50，
∴A'E=MR=120，RE=A'M=50，
∴DE=DR+ER=90，
∴A'D=A'E2+DE2=150，
∵BN=160，RN=90，
∴GN=DR=40，DG=RN=90，
∴BG=BN−GN=160−40=120，
∴DB=DG2+BG2=150，
∴A'D+DB=150+150=300．
∴最短路程为300米．