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专题03 勾股定理选填题压轴训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）
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这是一份专题03 勾股定理选填题压轴训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用），共41页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题03 勾股定理选填题压轴训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
选择题解题策略：（1）注意审题。把题目多读几遍，弄清这道题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。
（2）答题顺序不一定按题号进行。可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题目。这样也许能超水平发挥。
（3）数学选择题大约有70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。
（4）挖掘隐含条件，注意易错、易混点。
（5）方法多样，不择手段。中考试题凸显能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。不要在一两道小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”，也有25%的正确率。
（6）控制时间。一般不要超过40分钟，最好是25分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分”。
填空题解题策略：由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：
一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断；
二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病便是零分；
三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，防止操之过急；全——答案要全，避免对而不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
一、单项选择题：（本题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过点作交于点，根据等腰三角形三线合一性质，得；再根据坐标及勾股定理的性质计算，得，从而得；再根据轴对称、平移、数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】
过点作交于点
∵等边
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
第一次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
第二次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
第三次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
…
当为奇数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得
当为偶数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得
∵2021为奇数
∴第2021次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角坐标系、轴对称、平移、勾股定理、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、轴对称、平移、数字规律的性质，从而完成求解．
2．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．
【详解】
连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示
由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是线段BE的垂直平分线
∴BG=BE
∵D点是AB的中点
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴ ∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积．
3．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
连接根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论．
【详解】
解：连接，，点为中点，，
．，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．
，
，
．
，，
始终为等腰直角三角形．
，
．
，
．
正确的有①②③④．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明是关键．
4．如图，在中，，分别以，，为斜边作三个等腰直角，，，图中阴影部分的面积分别记为，，，，若已知的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设AC=m，BC=n，的面积为S，用含有m，n的代数式分别表示相关线段，继而表示相应的面积，确定面积与m，n，S之间的关系，从而作出判断．
【详解】
设AC=m，BC=n，的面积为S，
∵中，，分别以，，为斜边作三个等腰直角，，，
∴S=，AB=，
∴AE=EC=，BF=CF=，AD=BD=，
在直角三角形AED中，ED==，
∴DC=EC-ED=-=，
∴=，
故的值可以确定，
∴A选项符合题意；
设AC，BD的交点为G，则+=
=，
+=，
∴=+-=，与n有关系，故代数式的值不能确定，
∴B选项不符合题意；
∵+=，+=，
∴=，
∴=++-=++-=，无法确定，
∴C选项不符合题意；
∵=+=，与n有关，
∴D选项不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补，灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键．
5．已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】
如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，然后根据勾股定理构可得AB=和AC=，当A，B，C三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，
根据勾股定理可得：AB=和AC=，
所以：
，
∴当A，B，C三点共线时有最小值，即BC，
在Rt△BDC中．
故选：B
【点睛】
本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键．
6．如图，已知，线段，点为射线上一点，则下列结论正确的是（ ）
①当，时，可得到形状唯一确定的；
②当，时，可得到形状唯一确定的；
③当时，在射线上存在三个点使得为等腰三角形；
④当时，在射线上存在三个点使得为等腰直角三角形．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】
过A作AH⊥OP于点H，求出AH的长，分别根据∠α的度数画出相应图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质判断各结论．
【详解】
解：如图①所示：过A作AH⊥OP于点H，
∵OA=4，∠α=30°，
∴AH=OA=×4=2，
又AH⊥OP，AH=AB，
∴B与H重合，
则△AOB形状唯一确定，故①正确；
如图②所示，过点A作AH⊥OP于点H，
∵OA=4，∠α=45°，AH⊥OP，
∴AH=OH，，
即AH==＜=3，
∴AB＞AH，
∴当B在图②中B1，B2位置时，都能使得AB=3，
则△AOB不唯一，有2个，故②错误；
如图③所示，有3个B点使得△AOB为等腰三角形，
即AB1=AO=4，OB2=OA=4，B3A=B3O，故③正确；
如图④所示，AB⊥OA于点A时，△AOB1为等腰直角三角形，
AB2⊥OP于点B2时，△AOB2为等腰直角三角形，
OP上有2个点B使得△AOB为等腰直角三角形，故④错误；
即正确的结论为：①③，
故选A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，确定三角形的条件，解题的关键是根据各种情况画出图形，结合图形的性质解答．
7．如图，点是正半轴上一点，点是负半轴上一点，，点（在的右边）在轴上，且，点是轴上一动点，将三角形沿直线翻折，点落在点处，已知的最小值为1，则点的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，2.4） C．（0，2.5） D．（0，1.8）
【答案】B
【分析】
由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长．
【详解】
解：∵将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，
∴AB＝AE=3，
∵EC≥AC -AE，
∴当点A，点E，点C共线时，EC有最小值，
如图，
∵CE的最小值为1，
∴AC＝4，
∴AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9，
∴OC=3.2,OA＝2.4，
∴点A坐标为（0，2.4），
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】D
【分析】
设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝3，即可求解．
【详解】
解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，
∴ABa，ACb，BCc，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴2a2+2b2＝2c2，
∴a2+b2＝c2，
∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，
∴BG＝GH＝a，
∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，
∴（a+c）（c﹣a）＝9，
∴c2﹣a2＝18，
∴b2＝18，
∴b＝3，
∴ACb＝6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．
9．如图，在中，平分．边的垂直平分线分别交于点．以下说法错误的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】
利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接BD、AD，过点D作DM⊥BC于M，DN⊥CA的延长线于N，
A、在中，，，
∴．故此选项说法正确；
B、∵DM⊥BC，DN⊥CA
∴∠DNC＝∠DMC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCN＝∠DCM＝45°．
∴∠DCN＝∠CDN＝45°．
∴CN=DN．
则△CDN是等腰直角三角形．
同理可证：△CDM也是等腰直角三角形，
∴CD=．CD=，
∴DM=DN= CM=CN，∠MDN＝90°．
∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，AB=2BE．
∴Rt△BDM≌△ADN，
∴∠BDM=∠AND．
∴∠BDM+∠ADM =∠AND+∠ADM＝∠MDN．
∴∠ADB=90°．
∴AB=．
即2BE=AD．
∵在Rt△AND中，AD是斜边，DN是直角边，
∴AD＞DN，则＞．
∴2BE＞CD．故此选项说法错误．
C、∵BD=AD，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴DE=AB．
在中，，，
∴AC=AB．
∴DE=AC．故此选项说法正确．
D、∵Rt△BDM≌△ADN，
∴BM=AN．
∴CN=AC+AN=AC+BM=CM．
∴BC=BM+CM=AC+2BM．
∵CD=CN，
∴CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC．
∵AC=AB，
∴CD=AB+BC．故此选项说法正确．
故选：B．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
10．若的三边长a、b、c满足，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】
先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】
解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
11．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ( )
A．若AC=2AB，则∠C=30°
B．若AC=2AB，则3BD=2CD
C．若∠B=2∠C，则AC=2AB
D．若∠B=2∠C，则S△ABD=2△ACD
【答案】B
【分析】
根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半，可得BC=2AB＞AC，从而可判断选项A、C；
作AE⊥BC，根据勾股定理和等面积法克求得BC、BD和DC，从而得出BD和CD的关系，可判断选项B；
可先得出AD为中线，根据三角形中线平分三角形的面积可判断选项D．
【详解】
解：由题，∠BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，
A.若AC=2AB，则，
若∠C=30°，BC=2AB，故A错误；
B. 若AC=2AB，则，
作AE⊥BC，则，
可得，
∵AD=AB，
∴，
∴，
∴3BD=2CD，故B正确；
C. 若∠B=2∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠C=30°，∠B=60°，
∴BC=2AB，AC＜2AB，故C错误；
D. 若∠B=2∠C，由选项C可得∠C=30°，∠B=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=30°=∠C，
∴AD=DC=BD，即AD为△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形．熟练掌握这些定理，能借助已知条件，选择合适的定理分析是解题关键．
12．如图，在等腰中，，点P是内一点，且，，，以为直角边，点C为直角顶点，作等腰，下列结论：①点A与点D的距离为；②；③；④，其中正确结论有是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④
【答案】C
【分析】
连结AD，由等腰 ，可得AC=BC，等腰，可得CD=CP，由余角性质可∠DCA=∠PCB，可证△ADC≌△BPC（SAS）可判断①，由勾股定理DP=，再由，可证△ADP为等腰直角三角形，可判断②，由PB与PD可求BD=2，由勾股定理AB=，可判断③，由面积可判断④即可
【详解】
连结AD，
在等腰中，，
∴AC=BC，
∵是等腰三角形，
∴CD=CP，
∴∠ACD+ACP=90°，∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠DCA=∠PCB，
在△ADC和△BPC中，
AC=BC，
∠DCA=∠PCB，
DC=PC，
∴△ADC≌△BPC（SAS），
∴，
①点A与点D的距离为正确，
在Rt△DCP中，由勾股定理DP=，
在△ADP中，，
∴△ADP为等腰直角三角形，
∴AD⊥DP，
②正确；
BD=BP+PD=2，
在Rt△ADB中，由勾股定理，
AB=，
③不正确；
，
④不正确．
故选择：C．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用是解题关键．
13．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=AD1，AP2=AD2，AP3=AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∵D为斜边BC中点，
∴AD=BC=5，
由折叠可知：AD1=AD，AP1=AD，
∴AP1=AD1，
AD2=AD1=AD，AP2=AD1=AD，
∴AP2=AD2，
可知：AP3=AD3，
AD1=AD=，
AD2=AD1=AD=，
∴AD3=AD2==，
∴AP3=AD3=，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．
二、填空题
14．如图，在四边形中，，是上一点，，，______．
【答案】
【分析】
通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．
【详解】
解：如图所示，分别过A、D作于E，于F
∴
∴,
∵
∴
∴ ,
在与中
∴
∴ ，
在中，
∴
同理可得：
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键．
15．等腰三角形ABC中，过C作CD⊥AB交AB边于点E，且AB=AC=CD，连结AD并延长交CB延长线于点F，若DB=5．BC=8，则∠AFC=__，AB=__．
【答案】45°； 或
【分析】
（1）要求∠F的度数，要利用∠ADC是的外角，将其转化中已知的两个等腰三角形之中加以解决；（2）因为AB=CD，所以要求AB的长，需求CD的长即可，这样，将未知量和已知量集中在中，分别过点D、A作DM⊥FC于M，AN⊥FC于N，借助于勾股定理求得CD的长，但需考虑问题本身没有给出图形，可能需要分情况进行讨论．
【详解】
解：（1）如图1所示，
设,则．
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=．
∵CD⊥AB，
∴∠ABC+∠DCF=90°．
∴∠ABC=90°-∠DCF=．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=．
∴．
在ACD中，∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°，
∵2（）+=180°．
∴．
故答案为：45°．
（2）过点D作DM⊥FC于M，AN⊥FC于N．分两种情况：
当点M在点B左侧时，如图2所示，
∵∠CAN+∠ACB=90°，∠DCM+∠ABC=90°，∠ACB=∠ABC，
∴∠CAN=∠DCM．
在和中，，
∴．
∴．
∴在RtDBM中，．
∴CM=CB+BM=8+3=11．
在RtDCM中，．
∴AB=DC=．
当点M在点B右侧时，如图2所示，
此时，CM=CB-BM=8-3=5，其它不变．
在RtDCM中，．
∴AB=DC=．
综合得，AB=或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、分类的数学思想等知识点．熟知各种图形的性质是解题的基础，分类讨论是本题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为____________．
【答案】
【分析】
根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的坐标，从坐标中寻找其中的规律计算即可．
【详解】
∵等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，
∴（0，1），；
根据勾股定理，得，
∴，
∴，；
根据勾股定理，得，
∴，
∴，
∴；
根据勾股定理，得，
∴，
∴，；
根据勾股定理，得，
∴，
∴；
∴坐标的循环节为8，
∵2021÷8=252…5，
∴的坐标与的规律相同，
∵-4=
∴的纵坐标为=，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了坐标系中坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质，勾股定理，幂，坐标的特点，熟练掌握灯光要直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用一般与特殊的思想，构造幂运算是解题的关键．
17．如图，点为的边上一点，且，，过作于，若，四边形的面积为8，则的长度为______．
【答案】2
【分析】
过点作于点，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】
解：过点作于点，
，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴，
，
，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造等腰三角形是解决问题的关键．
18．在中，，，，以为边在外作等腰直角，连结，则＝__________．
【答案】或或
【分析】
本题需要分三种情况讨论，分别为①AB=BD时，②AB=AD，③AD=BD，再根据勾股定理分别计算出CD的值即可．
【详解】
∵AC=4，BC=2，，
∴，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，
（1）当AB=BD时，过D点作BC的垂线交BC的延长线于E，如图
∵∠CAB+∠ABC=90°，
∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
在△BED和△ACB中，
，
∴△BED≌△ACB(AAS)，
∴BE=AC=4，DE=BC=2，
∴CD=；
（2）当AB=AD时，过点D作AC的垂线，交CA延长线于E，如图，
∵∠CAB+∠ABC=90°，
∠BAC+∠DAE=90°，
∴∠ABC=∠DAE，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB(AAS)，
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CD=；
（3）当AD=BD时，过D点作AC、AB的垂线，分别交AC和CB的延长线于E、F，如图
∵∠ADE+∠ABC=90°，
∠BDF+∠BDE=90°，
∴∠ADC=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF(AAS)，
∴AE=BF，
∴AC+BC=AE+CE+CF-BF=2CE，
∴CE=3，
∴CD=；
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟悉在任何一个直角三角形中，两直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键．
19．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）
【答案】①②③
【分析】
由三角形的角平分线的含义结合三角形的内角和定理可判断①，先证明△ABP≌△FBP（ASA）与△APH≌△FPD（ASA）， 结合 可判断②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再证明HD∥EP， 可判断③，若DH平分∠CDE，推导DE∥AB，这个显然与条件矛盾，可判断④；
【详解】
解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°， ∴，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE= ，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP， BP=BP，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，
，故②正确，
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∴S△APH=S△AED，故③正确，
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH∥BE，
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动____________秒时，△ACP是直角三角形
【答案】1.75或4
【分析】
先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
当点P运动到与点D重合时，是直角三角形，
此时BP=4，
∴运动时间为4÷1=4（秒）；
当∠PAC=90°时，设PD=x
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BP=4－2.25=1.75，
所以运动时间为1.75÷1=1.75（秒）；
综上可得：当P运动4秒或1.75秒时，是直角三角形；
故答案为：1.75或4．
【点睛】
本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
21．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°．点E是BC上的一点，D为AC中点，连接ED，将△CED沿ED翻折，得到△EDC′，连接AC′，BC′．若DC′⊥AB，AC′＝2，则△ABC的面积为_____．
【答案】
【分析】
设AB与C′D交于O点，根据等腰直角三角形以及折叠找到三角形AOC′的三边关系利用勾股定理计算即可.
【详解】
∵等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点
∴DB=DC=DA，∠BAD=45°
∵将△CED沿ED翻折，得到△EDC′，
∴DC= DC′
设DB=DC=DA= DC′=x
∵DC′⊥AB
∴△AOD是等腰直角三角形
∴
∴
在Rt△AOC′中，
∵AC′＝2
∴
解得
∴
故答案为
【点睛】
本题综合考察勾股定理与等腰直角三角形，解题过程中与二次根式有关的运算也是解题的关键.
22．已知，有一个井泵如图1所示，它的一个纵向截面如图2，当活塞EF向上移动时，底面BC上的阀门打开，EF上的阀门关闭，外部液体被吸入活塞下方的空间内，活塞EF上方的液体被上推；当活塞EF向下移动时，BC上的阀门关闭，EF上的阀门打开，液体从活塞EF下方空间被压入活塞内EF上方空间．在图2中，点J在直径AD上，水泵底面直径BC＝10cm，活塞直径EF∥BC，G为EF中点．手柄IH支撑杆ID长2cm，弧JI是直径为4cm的半圆，连轴JG的长为25cm，（点C，D，F，I四点共线，J，I，H三点共线，水泵材质厚度忽略不计），则DF＝_____cm，当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中井泵的最大出水量是_____cm3．
【答案】
【分析】
连接AD，过点G作GM⊥AD于点M，则可得四边形MDFG为矩形，故有MD=5cm，GM=DF，在直角△IJD中由勾股定理可计算出JD，从而可得MJ，然后在直角△GMJ中，由勾股定理可求得GM，进而求得DF的长；当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中，点J上升的最大高度为JD=ID+IJ，从而EF的最大上升高度也为JD，此时最大出水量为一个圆柱的体积，圆柱的高为JD的长，底面直径为10cm，所以可求得其体积．
【详解】
（1）如图，连接AD，过点G作GM⊥AD于点M，则M为AD的中点，且四边形MGFD为矩形，所以有DF=MG，MD=GF=cm
∵ID⊥AD，cm，cm
∴由勾股定理得：(cm)
∴MJ=JD−MD=6-5=1(cm)
在Rt△GMJ中，由勾股定理得：(cm)
∴cm
当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中，点J上升的最大高度为JD=ID+IJ=(cm)，相应地EF也随之上升的最大高度为cm，此时井泵的最大出水量是一个底面直径为10cm高为cm的圆柱的体积．
(cm3)
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形在实际中的应用，第二问的关键是明白点J上升的最大垂直高度为图3中JD的长度，即为EF上升的最大高度，从而可求出此时的最大出水量，且这个出水量是底面直径为10cm，高为JD的圆柱的体积．
23．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC_____∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】=
【分析】
连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求得 AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，进而得到结论．
【详解】
解：连接AC，BD，
根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，
∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCD＝45°．
故答案为：＝．
【点睛】
本题考查了网格中对几何图形的理解与分析的问题，涉及到了勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的相关知识，解决本题的关键是牢记相关性质与公式，以及熟练运用即可．
24．如图，，，，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论正确的是________．
①；②为等腰三角形；③；④．
【答案】①③④
【分析】
由SAS得△AED≌△AEF，证明△ABF≌△ACD，得出BF=CD；由△AED≌△AEF，得到DE=EF；证明∠EBF=90°，即可解决问题．
【详解】
解：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=45°=∠DAE，
在△AED与△AEF中，AE=AE，∠EAF=∠EAD，AD=AF，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；
没有条件能证出△AED为等腰三角形，②错误；
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAF=∠DAC；
在△ABF与△ACD中，AB=AC，∠FAB=∠DAC，AF=AD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴BF=CD；
∵△AED≌△AEF，
∴DE=EF；
∵BE+BF＞EF，而BF=CD，
∴BE+DC＞DE，③正确；
∵∠EBF=90°，
∴BE2+BF2=EF2，
即BE2+DC2=DE2，④正确；
综上所述：①③④均正确，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，证明三角形全等是解题的关键．
专题03 勾股定理选填题压轴训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
选择题解题策略：（1）注意审题。把题目多读几遍，弄清这道题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。
（2）答题顺序不一定按题号进行。可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题目。这样也许能超水平发挥。
（3）数学选择题大约有70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。
（4）挖掘隐含条件，注意易错、易混点。
（5）方法多样，不择手段。中考试题凸显能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。不要在一两道小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”，也有25%的正确率。
（6）控制时间。一般不要超过40分钟，最好是25分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分”。
填空题解题策略：由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：
一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断；
二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病便是零分；
三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，防止操之过急；全——答案要全，避免对而不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
一、单项选择题：（本题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过点作交于点，根据等腰三角形三线合一性质，得；再根据坐标及勾股定理的性质计算，得，从而得；再根据轴对称、平移、数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】
过点作交于点
∵等边
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
第一次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
第二次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
第三次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
…
当为奇数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得
当为偶数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得
∵2021为奇数
∴第2021次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角坐标系、轴对称、平移、勾股定理、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、轴对称、平移、数字规律的性质，从而完成求解．
2．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．
【详解】
连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示
由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是线段BE的垂直平分线
∴BG=BE
∵D点是AB的中点
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴ ∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积．
3．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
连接根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论．
【详解】
解：连接，，点为中点，，
．，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．
，
，
．
，，
始终为等腰直角三角形．
，
．
，
．
正确的有①②③④．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明是关键．
4．如图，在中，，分别以，，为斜边作三个等腰直角，，，图中阴影部分的面积分别记为，，，，若已知的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设AC=m，BC=n，的面积为S，用含有m，n的代数式分别表示相关线段，继而表示相应的面积，确定面积与m，n，S之间的关系，从而作出判断．
【详解】
设AC=m，BC=n，的面积为S，
∵中，，分别以，，为斜边作三个等腰直角，，，
∴S=，AB=，
∴AE=EC=，BF=CF=，AD=BD=，
在直角三角形AED中，ED==，
∴DC=EC-ED=-=，
∴=，
故的值可以确定，
∴A选项符合题意；
设AC，BD的交点为G，则+=
=，
+=，
∴=+-=，与n有关系，故代数式的值不能确定，
∴B选项不符合题意；
∵+=，+=，
∴=，
∴=++-=++-=，无法确定，
∴C选项不符合题意；
∵=+=，与n有关，
∴D选项不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补，灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键．
5．已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】
如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，然后根据勾股定理构可得AB=和AC=，当A，B，C三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，
根据勾股定理可得：AB=和AC=，
所以：
，
∴当A，B，C三点共线时有最小值，即BC，
在Rt△BDC中．
故选：B
【点睛】
本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键．
6．如图，已知，线段，点为射线上一点，则下列结论正确的是（ ）
①当，时，可得到形状唯一确定的；
②当，时，可得到形状唯一确定的；
③当时，在射线上存在三个点使得为等腰三角形；
④当时，在射线上存在三个点使得为等腰直角三角形．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】
过A作AH⊥OP于点H，求出AH的长，分别根据∠α的度数画出相应图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质判断各结论．
【详解】
解：如图①所示：过A作AH⊥OP于点H，
∵OA=4，∠α=30°，
∴AH=OA=×4=2，
又AH⊥OP，AH=AB，
∴B与H重合，
则△AOB形状唯一确定，故①正确；
如图②所示，过点A作AH⊥OP于点H，
∵OA=4，∠α=45°，AH⊥OP，
∴AH=OH，，
即AH==＜=3，
∴AB＞AH，
∴当B在图②中B1，B2位置时，都能使得AB=3，
则△AOB不唯一，有2个，故②错误；
如图③所示，有3个B点使得△AOB为等腰三角形，
即AB1=AO=4，OB2=OA=4，B3A=B3O，故③正确；
如图④所示，AB⊥OA于点A时，△AOB1为等腰直角三角形，
AB2⊥OP于点B2时，△AOB2为等腰直角三角形，
OP上有2个点B使得△AOB为等腰直角三角形，故④错误；
即正确的结论为：①③，
故选A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，确定三角形的条件，解题的关键是根据各种情况画出图形，结合图形的性质解答．
7．如图，点是正半轴上一点，点是负半轴上一点，，点（在的右边）在轴上，且，点是轴上一动点，将三角形沿直线翻折，点落在点处，已知的最小值为1，则点的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，2.4） C．（0，2.5） D．（0，1.8）
【答案】B
【分析】
由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长．
【详解】
解：∵将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，
∴AB＝AE=3，
∵EC≥AC -AE，
∴当点A，点E，点C共线时，EC有最小值，
如图，
∵CE的最小值为1，
∴AC＝4，
∴AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9，
∴OC=3.2,OA＝2.4，
∴点A坐标为（0，2.4），
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】D
【分析】
设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝3，即可求解．
【详解】
解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，
∴ABa，ACb，BCc，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴2a2+2b2＝2c2，
∴a2+b2＝c2，
∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，
∴BG＝GH＝a，
∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，
∴（a+c）（c﹣a）＝9，
∴c2﹣a2＝18，
∴b2＝18，
∴b＝3，
∴ACb＝6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．
9．如图，在中，平分．边的垂直平分线分别交于点．以下说法错误的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】
利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接BD、AD，过点D作DM⊥BC于M，DN⊥CA的延长线于N，
A、在中，，，
∴．故此选项说法正确；
B、∵DM⊥BC，DN⊥CA
∴∠DNC＝∠DMC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCN＝∠DCM＝45°．
∴∠DCN＝∠CDN＝45°．
∴CN=DN．
则△CDN是等腰直角三角形．
同理可证：△CDM也是等腰直角三角形，
∴CD=．CD=，
∴DM=DN= CM=CN，∠MDN＝90°．
∵DE垂直平分AB，
∴BD=AD，AB=2BE．
∴Rt△BDM≌△ADN，
∴∠BDM=∠AND．
∴∠BDM+∠ADM =∠AND+∠ADM＝∠MDN．
∴∠ADB=90°．
∴AB=．
即2BE=AD．
∵在Rt△AND中，AD是斜边，DN是直角边，
∴AD＞DN，则＞．
∴2BE＞CD．故此选项说法错误．
C、∵BD=AD，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴DE=AB．
在中，，，
∴AC=AB．
∴DE=AC．故此选项说法正确．
D、∵Rt△BDM≌△ADN，
∴BM=AN．
∴CN=AC+AN=AC+BM=CM．
∴BC=BM+CM=AC+2BM．
∵CD=CN，
∴CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC．
∵AC=AB，
∴CD=AB+BC．故此选项说法正确．
故选：B．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
10．若的三边长a、b、c满足，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】
先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】
解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
11．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ( )
A．若AC=2AB，则∠C=30°
B．若AC=2AB，则3BD=2CD
C．若∠B=2∠C，则AC=2AB
D．若∠B=2∠C，则S△ABD=2△ACD
【答案】B
【分析】
根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半，可得BC=2AB＞AC，从而可判断选项A、C；
作AE⊥BC，根据勾股定理和等面积法克求得BC、BD和DC，从而得出BD和CD的关系，可判断选项B；
可先得出AD为中线，根据三角形中线平分三角形的面积可判断选项D．
【详解】
解：由题，∠BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，
A.若AC=2AB，则，
若∠C=30°，BC=2AB，故A错误；
B. 若AC=2AB，则，
作AE⊥BC，则，
可得，
∵AD=AB，
∴，
∴，
∴3BD=2CD，故B正确；
C. 若∠B=2∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠C=30°，∠B=60°，
∴BC=2AB，AC＜2AB，故C错误；
D. 若∠B=2∠C，由选项C可得∠C=30°，∠B=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=30°=∠C，
∴AD=DC=BD，即AD为△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形．熟练掌握这些定理，能借助已知条件，选择合适的定理分析是解题关键．
12．如图，在等腰中，，点P是内一点，且，，，以为直角边，点C为直角顶点，作等腰，下列结论：①点A与点D的距离为；②；③；④，其中正确结论有是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④
【答案】C
【分析】
连结AD，由等腰 ，可得AC=BC，等腰，可得CD=CP，由余角性质可∠DCA=∠PCB，可证△ADC≌△BPC（SAS）可判断①，由勾股定理DP=，再由，可证△ADP为等腰直角三角形，可判断②，由PB与PD可求BD=2，由勾股定理AB=，可判断③，由面积可判断④即可
【详解】
连结AD，
在等腰中，，
∴AC=BC，
∵是等腰三角形，
∴CD=CP，
∴∠ACD+ACP=90°，∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠DCA=∠PCB，
在△ADC和△BPC中，
AC=BC，
∠DCA=∠PCB，
DC=PC，
∴△ADC≌△BPC（SAS），
∴，
①点A与点D的距离为正确，
在Rt△DCP中，由勾股定理DP=，
在△ADP中，，
∴△ADP为等腰直角三角形，
∴AD⊥DP，
②正确；
BD=BP+PD=2，
在Rt△ADB中，由勾股定理，
AB=，
③不正确；
，
④不正确．
故选择：C．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用是解题关键．
13．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=AD1，AP2=AD2，AP3=AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∵D为斜边BC中点，
∴AD=BC=5，
由折叠可知：AD1=AD，AP1=AD，
∴AP1=AD1，
AD2=AD1=AD，AP2=AD1=AD，
∴AP2=AD2，
可知：AP3=AD3，
AD1=AD=，
AD2=AD1=AD=，
∴AD3=AD2==，
∴AP3=AD3=，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．
二、填空题
14．如图，在四边形中，，是上一点，，，______．
【答案】
【分析】
通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．
【详解】
解：如图所示，分别过A、D作于E，于F
∴
∴,
∵
∴
∴ ,
在与中
∴
∴ ，
在中，
∴
同理可得：
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键．
15．等腰三角形ABC中，过C作CD⊥AB交AB边于点E，且AB=AC=CD，连结AD并延长交CB延长线于点F，若DB=5．BC=8，则∠AFC=__，AB=__．
【答案】45°； 或
【分析】
（1）要求∠F的度数，要利用∠ADC是的外角，将其转化中已知的两个等腰三角形之中加以解决；（2）因为AB=CD，所以要求AB的长，需求CD的长即可，这样，将未知量和已知量集中在中，分别过点D、A作DM⊥FC于M，AN⊥FC于N，借助于勾股定理求得CD的长，但需考虑问题本身没有给出图形，可能需要分情况进行讨论．
【详解】
解：（1）如图1所示，
设,则．
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=．
∵CD⊥AB，
∴∠ABC+∠DCF=90°．
∴∠ABC=90°-∠DCF=．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=．
∴．
在ACD中，∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°，
∵2（）+=180°．
∴．
故答案为：45°．
（2）过点D作DM⊥FC于M，AN⊥FC于N．分两种情况：
当点M在点B左侧时，如图2所示，
∵∠CAN+∠ACB=90°，∠DCM+∠ABC=90°，∠ACB=∠ABC，
∴∠CAN=∠DCM．
在和中，，
∴．
∴．
∴在RtDBM中，．
∴CM=CB+BM=8+3=11．
在RtDCM中，．
∴AB=DC=．
当点M在点B右侧时，如图2所示，
此时，CM=CB-BM=8-3=5，其它不变．
在RtDCM中，．
∴AB=DC=．
综合得，AB=或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、分类的数学思想等知识点．熟知各种图形的性质是解题的基础，分类讨论是本题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为____________．
【答案】
【分析】
根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的坐标，从坐标中寻找其中的规律计算即可．
【详解】
∵等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，
∴（0，1），；
根据勾股定理，得，
∴，
∴，；
根据勾股定理，得，
∴，
∴，
∴；
根据勾股定理，得，
∴，
∴，；
根据勾股定理，得，
∴，
∴；
∴坐标的循环节为8，
∵2021÷8=252…5，
∴的坐标与的规律相同，
∵-4=
∴的纵坐标为=，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了坐标系中坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质，勾股定理，幂，坐标的特点，熟练掌握灯光要直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用一般与特殊的思想，构造幂运算是解题的关键．
17．如图，点为的边上一点，且，，过作于，若，四边形的面积为8，则的长度为______．
【答案】2
【分析】
过点作于点，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】
解：过点作于点，
，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴，
，
，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造等腰三角形是解决问题的关键．
18．在中，，，，以为边在外作等腰直角，连结，则＝__________．
【答案】或或
【分析】
本题需要分三种情况讨论，分别为①AB=BD时，②AB=AD，③AD=BD，再根据勾股定理分别计算出CD的值即可．
【详解】
∵AC=4，BC=2，，
∴，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，
（1）当AB=BD时，过D点作BC的垂线交BC的延长线于E，如图
∵∠CAB+∠ABC=90°，
∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
在△BED和△ACB中，
，
∴△BED≌△ACB(AAS)，
∴BE=AC=4，DE=BC=2，
∴CD=；
（2）当AB=AD时，过点D作AC的垂线，交CA延长线于E，如图，
∵∠CAB+∠ABC=90°，
∠BAC+∠DAE=90°，
∴∠ABC=∠DAE，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB(AAS)，
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CD=；
（3）当AD=BD时，过D点作AC、AB的垂线，分别交AC和CB的延长线于E、F，如图
∵∠ADE+∠ABC=90°，
∠BDF+∠BDE=90°，
∴∠ADC=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF(AAS)，
∴AE=BF，
∴AC+BC=AE+CE+CF-BF=2CE，
∴CE=3，
∴CD=；
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟悉在任何一个直角三角形中，两直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键．
19．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）
【答案】①②③
【分析】
由三角形的角平分线的含义结合三角形的内角和定理可判断①，先证明△ABP≌△FBP（ASA）与△APH≌△FPD（ASA）， 结合 可判断②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再证明HD∥EP， 可判断③，若DH平分∠CDE，推导DE∥AB，这个显然与条件矛盾，可判断④；
【详解】
解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°， ∴，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE= ，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP， BP=BP，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，
，故②正确，
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∴S△APH=S△AED，故③正确，
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH∥BE，
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动____________秒时，△ACP是直角三角形
【答案】1.75或4
【分析】
先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
当点P运动到与点D重合时，是直角三角形，
此时BP=4，
∴运动时间为4÷1=4（秒）；
当∠PAC=90°时，设PD=x
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BP=4－2.25=1.75，
所以运动时间为1.75÷1=1.75（秒）；
综上可得：当P运动4秒或1.75秒时，是直角三角形；
故答案为：1.75或4．
【点睛】
本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
21．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°．点E是BC上的一点，D为AC中点，连接ED，将△CED沿ED翻折，得到△EDC′，连接AC′，BC′．若DC′⊥AB，AC′＝2，则△ABC的面积为_____．
【答案】
【分析】
设AB与C′D交于O点，根据等腰直角三角形以及折叠找到三角形AOC′的三边关系利用勾股定理计算即可.
【详解】
∵等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点
∴DB=DC=DA，∠BAD=45°
∵将△CED沿ED翻折，得到△EDC′，
∴DC= DC′
设DB=DC=DA= DC′=x
∵DC′⊥AB
∴△AOD是等腰直角三角形
∴
∴
在Rt△AOC′中，
∵AC′＝2
∴
解得
∴
故答案为
【点睛】
本题综合考察勾股定理与等腰直角三角形，解题过程中与二次根式有关的运算也是解题的关键.
22．已知，有一个井泵如图1所示，它的一个纵向截面如图2，当活塞EF向上移动时，底面BC上的阀门打开，EF上的阀门关闭，外部液体被吸入活塞下方的空间内，活塞EF上方的液体被上推；当活塞EF向下移动时，BC上的阀门关闭，EF上的阀门打开，液体从活塞EF下方空间被压入活塞内EF上方空间．在图2中，点J在直径AD上，水泵底面直径BC＝10cm，活塞直径EF∥BC，G为EF中点．手柄IH支撑杆ID长2cm，弧JI是直径为4cm的半圆，连轴JG的长为25cm，（点C，D，F，I四点共线，J，I，H三点共线，水泵材质厚度忽略不计），则DF＝_____cm，当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中井泵的最大出水量是_____cm3．
【答案】
【分析】
连接AD，过点G作GM⊥AD于点M，则可得四边形MDFG为矩形，故有MD=5cm，GM=DF，在直角△IJD中由勾股定理可计算出JD，从而可得MJ，然后在直角△GMJ中，由勾股定理可求得GM，进而求得DF的长；当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中，点J上升的最大高度为JD=ID+IJ，从而EF的最大上升高度也为JD，此时最大出水量为一个圆柱的体积，圆柱的高为JD的长，底面直径为10cm，所以可求得其体积．
【详解】
（1）如图，连接AD，过点G作GM⊥AD于点M，则M为AD的中点，且四边形MGFD为矩形，所以有DF=MG，MD=GF=cm
∵ID⊥AD，cm，cm
∴由勾股定理得：(cm)
∴MJ=JD−MD=6-5=1(cm)
在Rt△GMJ中，由勾股定理得：(cm)
∴cm
当手柄IH从图2位置按压到与CD重合（如图3）过程中，点J上升的最大高度为JD=ID+IJ=(cm)，相应地EF也随之上升的最大高度为cm，此时井泵的最大出水量是一个底面直径为10cm高为cm的圆柱的体积．
(cm3)
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形在实际中的应用，第二问的关键是明白点J上升的最大垂直高度为图3中JD的长度，即为EF上升的最大高度，从而可求出此时的最大出水量，且这个出水量是底面直径为10cm，高为JD的圆柱的体积．
23．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC_____∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】=
【分析】
连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求得 AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，进而得到结论．
【详解】
解：连接AC，BD，
根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，
∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BCD＝45°．
故答案为：＝．
【点睛】
本题考查了网格中对几何图形的理解与分析的问题，涉及到了勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的相关知识，解决本题的关键是牢记相关性质与公式，以及熟练运用即可．
24．如图，，，，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论正确的是________．
①；②为等腰三角形；③；④．
【答案】①③④
【分析】
由SAS得△AED≌△AEF，证明△ABF≌△ACD，得出BF=CD；由△AED≌△AEF，得到DE=EF；证明∠EBF=90°，即可解决问题．
【详解】
解：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=45°=∠DAE，
在△AED与△AEF中，AE=AE，∠EAF=∠EAD，AD=AF，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；
没有条件能证出△AED为等腰三角形，②错误；
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAF=∠DAC；
在△ABF与△ACD中，AB=AC，∠FAB=∠DAC，AF=AD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴BF=CD；
∵△AED≌△AEF，
∴DE=EF；
∵BE+BF＞EF，而BF=CD，
∴BE+DC＞DE，③正确；
∵∠EBF=90°，
∴BE2+BF2=EF2，
即BE2+DC2=DE2，④正确；
综上所述：①③④均正确，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，证明三角形全等是解题的关键．
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