四川省凉山州2025-2026学年高二上学期期末学科素养检测数学试题及参考答案

这是一份四川省凉山州2025-2026学年高二上学期期末学科素养检测数学试题及参考答案，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，a5=−5，则a3+a7=( )
A. −5B. 5C. −10D. 10
2.椭圆x225+y216=1的长轴长为( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
3.已知点P(−1,2)到抛物线：x2=2py(p>0)的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为( )
A. (0,3)B. (0,−3)C. (4,0)D. (−4,0)
4.设F1−5,0，F25,0为平面上两个定点，动点Px,y满足PF1−PF2=10，则动点P的轨迹为( )
A. 直线B. 两条射线C. 椭圆D. 双曲线
5.集合A=−6,2,3，集合B=−7,1,2，从A，B中各任意取一个数相加为a，则直线l1:4x+ay−3=0与直线l2:ax+4y+4=0平行的概率为( )
A. 19B. 49C. 13D. 29
6.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为( )
A. 2 39B. 4 39C. 39D. 5 39
7.数列an中，a1=3，an+1=3an，若ak+1+ak+2+⋯+ak+10=12319−39，则k=( )
A. 11B. 10C. 9D. 8
8.如图，设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若PF1=4QF2，则直线PF2的斜率为( )
A. −2B. −53C. −43D. −1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记数列an的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若an+1+an−1=2ann≥2，则数列an是等差数列
B. 若an=2n−1，则数列an是递增数列
C. 若an+1−an=−4，则Sn有最小值
D. 若a1=16，an+1−an=−4n，则an=−2n2+2n+16
10.已知事件A，B满足PA=0.6，PB=0.2，则下列说法正确的是( )
A. 若A与B互斥，则PA∪B=0.8
B. 若B⊆A，则PAB=0.6
C. 若A与B相互独立，则PAB=0.32
D. 若PA∪B=0.92，则A与B相互独立
11.已知抛物线y2=8x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是( )
A. 若|PF|=4，则O为线段PQ中点B. 若|OP|=4 3，则|PF|=6
C. 存在直线l，使得PF⊥QFD. △PFQ面积的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线x+y+1=0的倾斜角是 ．
13.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，2a为半径的圆截得的弦长为2a，则双曲线C的离心率为 ．
14.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知斜率为1，经过点Q2,1的直线l，交圆C:x2+y2=4于A,B两点．
(1)求直线l的方程；
(2)求AB的长度．
16.(本小题15分)
已知等差数列an中，a2=2，a5=5．
(1)求数列an的通项公式；
(2)记bn=an+2an，求数列bn的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不正常工作的概率分别为15，14，13，各个部件是否正常工作相互独立．

(1)求该电子元件第①条路是正常工作的概率；
(2)求该电子元件能正常工作的概率．
18.(本小题17分)
已知点P1t+1,t在抛物线C:x2=4y上，按照如下方法依次构造点Pnn=2,3,4,⋯⋯，过点Pn−1作斜率为−1的直线与抛物线C交于另一个点Qn−1，令Pn为Qn−1关于y轴对称的点，记Pn的坐标为xn,yn．
(1)求t的值；
(2)求证：数列xn是等差数列，并求xn；
(3)记an=2n−1xn，求数列an的前n项和Sn．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB= 3．

(1)证明：BC⊥平面PAB；
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为 427，E为PC中点．
①求AD的长度； ②求直线BE与平面CPD所成角的正弦值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.B
5.B
6.C
7.D
8.A
9.ABD
10.AC
11.ABD
12.135°
13.2
14.2 17
15.(1)由题可设直线l的点斜式y−1=x−2，
整理得直线l:x−y−1=0．
(2)由题可知，圆C的圆心C(0,0)，半径r=2，
又因为圆心C(0,0)到直线AB的距离d=|−1| 12+12= 22，
故弦长AB=2 4−( 22)2= 14．

16.(1)设等差数列an的公差为d，
由题可得，a5−a2=3d=3，得d=1，
又因为a1=a2−d=2−1=1，
故an=1+n−1×1=n．
(2)由(1)可知，an=n，
则bn=an+2an=n+2n，
则Sn=n(n+1)2+2(1−2n)1−2=2n+1+n(n+1)2−2．

17.(1)由题意，该电子元件第①条路是正常工作的概率为1−15×1−14=35．
(2)由(1)知，该电子元件第①条路是正常工作的概率为35，
而该电子元件第②条路是正常工作的概率为1−15×14×1−13=1930，
所以该电子元件能正常工作的概率为1−1−35×1−1930=6475．

18.(1)∵点P1t+1,t在抛物线C:x2=4y上，
∴t+12=4t，解得t=1．
(2)由(1)知P12,1，即x1=2,y1=1，
当n≥2时，∵点Pnxn,yn在抛物线C:x2=4y上，则yn=xn24，且Qn−1−xn,yn，
过Pn−1xn−1,xn−124，且斜率为−1的直线Pn−1Qn−1:y−xn−124=−x−xn−1，
联立方程组y−xn−124=−x−xn−1x2=4y，得x2+4x−4xn−1−xn−12=0，
解得x=xn−1或x=−xn−1−4，
∴−xn=−xn−1−4，可得xn−xn−1=4，
∴数列xn是以首项为2，公差为4的等差数列，
∴xn=2+4n−1=4n−2．
(3)an=2n−1xn=2n−14n−2=2n−1⋅2n，
Sn=a1+a2+a3+⋯+an=2+3×22+5×23+⋯+2n−1⋅2n，
2Sn=22+3×23+5×24+⋯+2n−1⋅2n+1，
两式相减得：
−Sn=2+2×22+2×23+2×24+⋯+2×2n−2n−1⋅2n+1
=2+2×221−2n−11−2−2n−1⋅2n+1=−6+3−2n⋅2n+1，
所以Sn=6+2n−3⋅2n+1．

19.(1)在四棱锥P−ABCD中，由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得BC⊥PA，
由AC=2,BC=1,AB= 3，得AC2=4=BC2+AB2，则BC⊥AB，
而PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
(2)①过点D作DG⊥AC于G，过点G作GF⊥CP于F，连接DF，
由PA⊥平面ABCD，DG⊂平面ABCD，得PA⊥DG，而PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC，
则DG⊥平面PAC，又CP⊂平面PAC，则DG⊥CP，而DG∩GF=G,DG,GF⊂平面DGF，
因此CP⊥平面DGF，而DF⊂平面DGF，则CP⊥DF，∠DFG是二面角A−CP−D的平面角，
于是sin∠DFG= 427，cs∠DFG= 77，tan∠DFG= 6，
由AD⊥DC，可设AD=t0