新疆多校2025-2026学年高二上学期11月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份新疆多校2025-2026学年高二上学期11月月考数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．3B．6C．2D．4
2．已知是平面的一个法向量，点，均在平面内，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．在四面体中，点满足，为的中点，若，则（ ）
A．3B．C．4D．
4．已知某圆的圆心在直线上，且该圆经过原点和点，则该圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知的三个顶点分别是，，，则的面积为（ ）
A．B．C．5D．
6．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，点在圆弧上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
7．某海域有相距20海里的两座灯塔和，为警示船只避开一片暗礁区，海事部门划定了一个封闭的危险区域（包含边界以及内部）.该区域边界可以理解为所有满足“到灯塔的距离与到灯塔的距离之比为”的点的集合.已知灯塔和在平面直角坐标系中的坐标分别为，，某船试图沿直线从两灯塔正中间安全穿越这片海域，则直线倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知两平行直线，，则，之间的距离可能为（ ）
A．2B．C．D．
10．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为
B．圆上有4个点到直线的距离为
C．若圆与圆没有公切线，则的取值范围为
D．过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点
11．如图，在棱长为2的正方体中，，，，是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当，时，
B．当，时，平面
C．当时，的最小值为
D．三棱锥外接球的表面积的最大值为
三、填空题
12．一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为 .
13．过点作圆的切线，切点为，则 ．
14．如图1，在长方形中，已知，，将沿长方形的对角线翻折，使其构成如图2所示的三棱锥，则 .
四、解答题
15．已知直线经过点，.
(1)求直线的斜率及直线的斜截式方程；
(2)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程；
(3)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程.
16．如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，．
(1)试用，，表示向量，并求向量的长度；
(2)求；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
17．如图，在直三棱柱中，，，，E是AB的中点，F是的中点.

(1)证明：平面.
(2)求EF与平面所成角的正弦值.
18．如图，已知是边长为2的正方形所在平面外一点，是等边三角形.

(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，试问在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为60°？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
19．已知圆，直线经过点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)在直线上是否存在距离为2的两点，，使得圆上存在一点，满足？若存在，求出直线的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.
1．A
先求出直线与两坐标轴的交点，再求三角形面积即可.
【详解】令得，则该直线与轴交点；
令得，则该直线与轴交点；
所求三角形的面积.
故选：A.
2．C
由即可得解.
【详解】因为，所以.
故选:C.
3．B
用表示求出即可得解.
【详解】由题意知，
因为，所以，则.
故选：B
4．D
首先求出线段的中垂线方程，联立直线方程，求出交点坐标即为圆心坐标，再求出圆的半径，即可得解.
【详解】因为该圆经过原点和点，所以圆心在线段的中垂线上，
又，的中点为，
所以线段的中垂线方程为，即，
由，解得，所以圆心坐标为，
又圆的半径，所以该圆的方程为.
故选：D
5．D
用空间向量点到直线的距离公式计算出点到的距离，再利用三角形的面积公式计算即可.
【详解】因为，，
所以，
点到的距离为，
则.
故选：D
6．B
建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用异面直线所成角的向量公式求解即可.
【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B

7．C
求出危险区域边界对应曲线的方程，可知对应曲线是圆，分斜率不存在和斜率存在两种情况，设直线的方程，根据圆心到直线的距离大于圆的半径可求得倾斜的取值范围，进而求得倾斜角的取值范围.
【详解】设区域边界上任意点，则，化简得.
由题可知，直线经过线段的中点.
当直线的斜率不存在时，即倾斜角为时，直线的方程为，此时，点到直线的距离为，可以安全穿越；
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即.
则，所以或，此时倾斜角的范围是.
综上所述，直线倾斜角的取值范围为.
故选：C.
8．A
建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由空间向量的数量积求出平面法向量，由平面法向量通过空间向量的数量积求得面面角的余弦值.
【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，.
设平面的法向量为，
则令，得.
取平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
故选：A.
9．AB
先由两直线平行求出，再由两平行线间的距离公式求距离即可.
【详解】因为，所以，解得或.
当时，直线，的方程分别为和，则，之间的距离为2；
当时，直线，的方程分别为和，则，之间的距离.
故选：AB.
10．AB
根据点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，从而确定弦长的取值范围，判断选项A；先计算圆心到直线的距离，再结合圆的半径判断圆上到直线距离为特定值的点的个数；根据没有公切线的条件，结合两圆的半径和圆心距的关系确定的取值范围，判断选项C；利用圆的切点弦方程，结合直线方程求出直线所过定点，判断选项D．
【详解】圆的方程为，该圆的圆心为，半径．
选项A：，
点在圆内，则圆心到过点的直线的距离，
，故A正确；

选项B：圆心到直线的距离，
又圆的半径为3，
圆上有4个点到直线的距离为，故B正确；
选项C：圆的圆心为，半径为，
，圆与圆没有公切线，两圆内含，
，即，解得16，
的取值范围为，故C错误；
选项D：设，则以为直径的圆为，
整理得，
直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程，得，
整理得，
令，解得，
直线必过定点，故D错误．

故选：．
11．ACD
根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；作于，由给定长度确定点的轨迹求解C；确定外接球球心位置，利用空间两点间距离公式建立关系求出最大球半径即可.
【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由，点，
对于A，，，，，A正确；
对于B，设平面的法向量，，
则，令，得，而，则，
显然向量与不共线，因此不垂直于平面，B错误；
对于C，作，垂足为，连接，则，
因此点在以为圆心，为半径的圆上，而，
，则的最小值为，C正确，
对于D，为等腰直角三角形，则三棱锥外接球的球心在过的中点且
垂直于平面的垂线上，设球心，由，
得（为球的半径），
因此，，三棱锥外接球表面积的最大值为，D正确.
故选：ACD
12．
由反射光线所在直线与入射光线所在直线关于轴对称，可知反射光线所在直线经过点关于轴对称的点，由此求出反射光线所在直线的方程.
【详解】由入射光线和反射光线的对称性可知，反射光线所在直线经过点关于轴对称的点，
由和确定反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在直线的方程为，即.
故答案为：.
13．
由切线的性质可得出，求出，结合勾股定理可求得的值.
【详解】连接、，易知圆心，半径为，
因为是圆的切线，所以．
又，所以．
故答案为：.
14．2
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得点的坐标满足的关系，由空间向量的数量积的坐标表示求得.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，则，
设，则，，
因为，，所以，则，
所以.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
(3)
（1）由斜率公式求斜率，再写出点斜式，化为斜截式求解即可；
（2）根据平行可得直线的斜率，再由过点写出点斜式，化成一般式即可；
（3）由垂直可得直线的斜率，再由过点写出点斜式，化成一般式即可
【详解】（1）直线的斜率为，
直线的方程为，它的斜截式方程为.
（2）因为直线平行于直线，所以直线的斜率为.
又直线经过点，所以直线的方程为，它的一般式方程为.
（3）因为直线垂直于直线，所以直线的斜率为2.
又直线经过点，所以直线的方程为，
它的一般式方程为.
16．(1)，长度为；
(2)；
(3).
（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量加法表示向量，再结合已知条件求出向量的模；
（2）利用向量数量积的运算规则计算求解；
（3）先求出向量数量积，再分别求出向量的模，最后利用向量夹角余弦公式求解．
【详解】（1）由平行六面体的性质可知，
是的中点，
，
，
，
，
．
（2）．
（3），，
，
又，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
17．(1)证明见解析
(2).
（1）通过构造中位线，结合线面平行的判定定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得EF与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）连接.因为E，F分别是AB，的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）依题意可知两两相互垂直，以为坐标原点，
BC，BA，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，.
设是平面的法向量，则，即，
取，得.
设与平面所成的角为，
则，
即EF与平面所成角的正弦值为.

18．(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）证明：设与交于点，连接.
因为底面为正方形，所以.
又是等边三角形，是的中点，所以.
因为，所以平面.
（2）由（1）知，，所以是二面角的平面角，则.
因为，所以，又是等边三角形，所以，，所以，所以.
因为，，所以，，
因为，底面，所以底面.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，.
设满足条件，
则，，.
设平面的法向量为，则即
取，则.
设平面的法向量为，则即
取，则.
所以，化简得，无实根，
所以在线段上不存在点，使得平面与平面的夹角为60°.

19．(1)或；
(2)存在，.
【详解】（1）已知圆，则其圆心为，半径为，
过点的直线，当斜率不存在时，直线为，显然与圆不相切，不符合题意；
设直线的斜率为，则其方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，解得，
所以直线的方程为或.
（2）因为，所以，所以点在以为直径的圆上，设圆心为，
又，两点的距离为2，且在直线上，所以圆心在直线上，半径为1，
又点在圆上，所以以为直径的圆与圆有公共点，
所以，
设圆心到直线距离为，因为点在直线上且，
所以，即，
当直线斜率不存在时，直线为，
所以，不符合题意，
当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为，即，
所以，解不等式得，
当时，倾斜角，当时，倾斜角，