2025-2026学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）期末数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）期末数学试卷-自定义类型，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知（a,-2）和（3，b）关于原点对称，则（a+b）2026的值为（ ）
A. 1B. -1C. -52026D. 52026
2.由二次函数y=2（x-3）2+1可知（ ）
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为x=-3
C. 其最大值为1D. 当x＜3时，y随x的增大而减小
3.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A. B. C. D.
4.若a+c=b,则关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（ ）
A. 2B. 1C. -1D. 0
5.一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A. 至少有1个球是黑球B. 至少有1个球是白球C. 至少有2个球是黑球D. 至少有2个球是白球
6.如图，线段AB是的直径，弦CD⊥AB，，则等于
A. B. C. D.
7.在反比例函数y=-的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）.若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（ ）
A. y3＞y1＞y2B. y3＞y2＞y1C. y1＞y2＞y3D. y1＞y3＞y2
8.如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与对角线BD交于点F．若AB=5，BE=3，则​​​​​​​为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB=4，则EF的长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数y=-2（x+1）2+3的顶点坐标为 .
12.已知a是方程x2+2x-2=0的一个根，则代数式（a+1）2的值为 .
13.在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．
14.从3、5、6、9中随机取一个数作为十位数字，再从余下的数中随机取一个数作为个位数字组成两位数，这个两位数是奇数的概率是 .
15.如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD=3米，DB=9米，则旗杆AB的高为 米．
16.“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型.图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm,当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：（sin30°）2+tan60°-（sin45°）2+（cs30°）2.
18.(本小题6分)
解方程：（x2+x）2-5（x2+x）+4=0.
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，，tanC=3，AB=3，求AC的长.
20.(本小题8分)
某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了促销，商场决定适当降价，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件.
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
21.(本小题8分)
如图，反比例函数与一次函数y=-x+3的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标.
22.(本小题9分)
如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，过D作射线DE交AC于点E，且满足∠ADE=∠B.
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x,CE=y,写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？
23.(本小题9分)
无人机在实际生活中应用广泛.如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A，B，C，D，P在同一平面内）.
（1）填空：∠APD=______，∠ADC=______；
（2）求楼CD的高度；（精确到0.1米）
（3）求此时无人机距离地面BC的高度.（参考数据：≈1.414，
24.(本小题10分)
已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP=AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围.
25.(本小题10分)
如图①，已知y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P在直线OE下方，连接PE、PO，当m为何值时四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，以P为旋转中心，将PO顺时针旋转90°得到PF，点F恰好落在直线l上，求出符合条件的点P的坐标.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】（-1，3）
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】8
16.【答案】108
17.【答案】+．
18.【答案】，，x3=，x4=．
19.【答案】．
20.【答案】1800元 每件商品应降价30元
21.【答案】反比例函数的解析式为 P的坐标为（-2，0）或（8，0）
22.【答案】证明过程见解析 ，当x=3时，y值最大，最大值是
23.【答案】75°;60° 楼CD的高度约为67.7米 此时无人机距离地面BC的高度为110米
24.【答案】（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵AC∥OP，
∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠OBP=90°，
在△POC与△POB中，，
∴△COP≌△BOP，
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）过O作OD⊥AC于D，
∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=AC，
∵∠DCO=∠COP，
∴△ODC∽△PCO，
∴，
∴CD•OP=OC2，
∵OP=AC，
∴AC=OP，
∴CD=OP，
∴OP•OP=OC2
∴=，
∴sin∠CPO==；
（3）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵AC=9，AB=15，
∴BC==12，
当CM⊥AB时，
d=AM，f=BM，
∴d+f=AM+BM=15，
当M与B重合时，
d=9，f=0，
∴d+f=9，
∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤15．
25.【答案】y=x2-4x+3 当时，S有最大值是 P的坐标是或