重庆市西南大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆市西南大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知数列满足，，则的最小值为， 已知双曲线， 设正项数列的前项和为，已知等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
2. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D.
3. 已知数列是公比为的等比数列，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
4. 已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
8. 已知双曲线（，）焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 直线的倾斜角为
C. 若，则
D. 若，则
10. 设正项数列的前项和为，已知.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A. 以为直径的圆与相切
B. 若，则直线斜率的绝对值为1
C. 为锐角三角形
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，向量，且，则________.
13. 已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________.
14. 已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知公差大于1的等差数列满足，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
16. 已知曲线在点处切线与直线平行.
（1）求；
（2）求单调区间.
17. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，连接.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
18. 已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线过定点；
（3）以原点为圆心且过点的圆与直线交于点（异于点），求面积的最大值.
19. 设，点、满足，，若线段的中点满足.
（1）记与夹角为，试问是否为定值.若是，请求出的值；若不是，请说明理由；
（2）设为与到直线的距离之和，记的最大值为，求；
（3）在（2）中，设数列的前项和为，且满足：，，证明：.
西南大学附中2025—2026学年度上期期末考试
高二数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数运算法则求出导数，进而求出导数值.
【详解】函数，求导得，所以.
故选：C
2. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合椭圆的标准方程求解即可.
【详解】由题意知，，解得或.
故选：B.
3. 已知数列是公比为的等比数列，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式及下标和性质求解即可.
【详解】因为数列是公比为的等比数列，所以，，，
所以.
故选：B.
4. 已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用异面直线夹角公式列式求解并判断.
【详解】由两条异面直线的方向向量分别是，，
得，.
故选：A
5. 已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出弦心距，再结合两点间距离公式求解即可.
【详解】圆，圆心，半径.
设弦中点为，连接.
在中，，，
所以.
是点到圆心的距离，
所以，即.
故选：D.
6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求函数的导数，由函数在给定区间上的单调性得到在上恒成立，将其转化成在上恒成立，求出函数，在区间上的最小值为，所以.
【详解】求导得到，
因函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
函数，在区间上单调递增，最小值为；
所以，
故选：B.
7. 已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到，利用累加法求得，得到，进而求得的最小值，得到答案.
【详解】由数列满足，且，可得，
所以
，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，当时，可得取得最小值，最小值为.
故选：C.
8. 已知双曲线（，）的焦距为，左、右顶点分别为，，过作轴的垂线与的渐近线交于，两点，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出双曲线渐近线方程及顶点坐标，进而求出线段长，再利用三角形面积列出不等式求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为，，
直线与渐近线方程联立得，则，，
由，得，即，则，
整理得，即，而，解得，
所以的离心率的取值范围为.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 直线的倾斜角为
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】直线化简得到，则直线过定点，故A正确；直线的斜率为 ，所以倾斜角为，故B 错误；
若，则两直线斜率乘积为，列方程求解得到，所以故C正确；若，则两直线斜率相等为，列方程求解得到，故D正确.
【详解】直线，化简得到，
令，所以，所以直线过定点，故A正确；
直线的斜率为 ，对应倾斜角为，故B 错误；
若，则两直线斜率乘积为，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以，所以，故C正确.
若，则两直线斜率相等，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 设正项数列的前项和为，已知.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，结合变形，利用等差数列定义求出，再逐项分析判断.
【详解】正项数列中，，
对于A，由，得，而，解得，A正确；
对于B，当时，，则，
整理得，由，得，，B错误；
对于C，由选项B知数列是首项为1，公差为1的等差数列，，而，
解得，当时，，满足上式，
因此，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A. 以为直径的圆与相切
B. 若，则直线的斜率的绝对值为1
C. 为锐角三角形
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出抛物线焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义，结合圆的切线判定判断A；设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线定义、数量积的坐标表示及两点间距离公式求解判断BCD.
【详解】抛物线的焦点，准线，设，
对于A，，以为直径的圆半径，
线段中点到直线的距离为，因此该圆与相切，A正确；
对于B，设直线，由消去得，则，
，由，得，于是，
解得，因此直线的斜率的绝对值为1，B正确；
对于C，由选项B知，，而，，
因此，即，，C错误；
对于D，
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，向量，且，则________.
【答案】13
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可.
【详解】因，所以，即，解得.
所以.
故答案为：13.
13. 已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】结合抛物线的定义可得，再根据三角形的性质求解即可.
【详解】由抛物线，则焦点为，准线为，
则，
当且仅当在线段上时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由数列为单调递增数列得到，对进行化简，分情况讨论计算即可.
【详解】已知，所以.
因为数列为单调递增数列，所以恒成立.
.
当为奇数时，不等式变为，即.
设（为奇数），需.
又，，，
已知在奇数项上单调递增，故.
当为偶数时，不等式变为，即.
设（为偶数），需.
又，，，
已知在偶数项上单调递减，故.
综上，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知公差大于1的等差数列满足，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设出公差，利用等比中项的定义列出方程求出公差，进而求得通项公式.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，借助放缩法推理得证.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列，
得，即，而，解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）得，
所以.
16. 已知曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）
（2）的单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）对原函数进行求导，根据切线与直线平行，得到，代入求解即可.
（2）根据导数与单调性的关系求解即可.
【小问1详解】
已知，所以.
曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即，解得.
【小问2详解】
函数的定义域为，.
令，即，又，所以，
即，也即，
解得或（舍去，因为）.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
17. 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，连接.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点，利用直角三角形判定证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
小问1详解】
在四棱锥中，取中点，连接，
因为四边形是等腰梯形，，
所以，则四边形是平行四边形，
则，是直角三角形，且，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以.
【小问2详解】
取的中点，连接，由（1）知，，平面，
由为等边三角形，得，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的一个法向量，
则，令，得；
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线过定点；
（3）以原点为圆心且过点的圆与直线交于点（异于点），求面积的最大值.
【答案】（1） （2）证明见解析
（3）8
【解析】
【分析】（1）根据题意列出的方程组，解方程组即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立求出点的坐标，同理可得点的坐标，最后根据 的坐标写出直线的方程即可得证，
（3）首先联立直线和圆，利用弦长公式求出，然后根据点线距公式求出点到直线的距离，进而得到的表达式，最后利用基本不等式即可求出最大值.
【小问1详解】
由题意可知，解得 ，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率显然存在且不为0，设直线的方程为，
由消去得，
所以，，即，
因为，所以同理可得，，
即，直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理得，
所以直线恒过定点.
【小问3详解】
以原点为圆心且过点的圆的方程为，
联立消去得，所以，
则，
点到直线的距离，
所以，
当且仅当即时取等号，所以面积的最大值为.
19. 设，点、满足，，若线段的中点满足.
（1）记与的夹角为，试问是否为定值.若是，请求出的值；若不是，请说明理由；
（2）设为与到直线的距离之和，记的最大值为，求；
（3）在（2）中，设数列的前项和为，且满足：，，证明：.
【答案】（1）为定值，大小为；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的坐标表示及向量夹角公式求解判断.
（2）由（1）的结论，结合点的坐标特征，用三角函数表示点的坐标，再利用点到直线的距离公式列式求出，并利用正弦函数的性质求出最大值.
（3）由（2）的结论求出，进而求出，再利用倒序相加法、放缩法推理得证.
【小问1详解】
由点，得点，由，
得，又，
则，，
而，因此，所以为定值，大小为.
【小问2详解】
直线，即，
点在以原点为圆心，为半径的圆上，且，
令点，
则
而，，
，
因此
，当且仅当取等号，
所以.
【小问3详解】
由（2）知，，由，得，
则，
当时，
，令，
因此，
即，所以.