重庆市西南大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. 60°C. 120°D. 150°
2. 椭圆长轴长为（ ）
A. 2B. 4
C 3D. 6
3. 向量，若与垂直，则的值为（ ）
A. B. 1C. 5D. 0
4. “”是“直线和直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则直线与平面ACD1所成的角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 若直线与椭圆交于两点，椭圆的右焦点为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数满足方程，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的范围是
C. 的最小值为-20
D. 的最大值为
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. 圆与圆有两条公切线
C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D. 平面内与两个定点距离之差为常数点的轨迹是双曲线
10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为中点，则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C.
D. 点到平面的距离为
11. 已知椭圆，其左右焦点分别为，为椭圆上任意一点，若过点的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为定值8
B. 若为中点，则
C. 最大值为3
D. 若，则的最大值为3
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线与间的距离为___________．
13. 椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则___________．
14. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为___________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，已知，点满足，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线方程；
（2）直线过点，且与曲线交于两点，若，求直线的方程．
16. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点．若的面积为，求直线的方程．
17. 如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点，，其中，．

（1）求的长；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值．
18. 已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧．
①求直线斜率的取值范围；
②若是点关于轴对称点，证明：直线过定点，并求出该定点．
19. 在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．已知．
（1）求“椭圆”的方程；
（2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围（的取值范围）、对称性，并说明理由；
（3）设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于，两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．