贵州省遵义市2025-2026学年高二第一学期学科素养评价数学试题（原卷版+解析版）

这是一份贵州省遵义市2025-2026学年高二第一学期学科素养评价数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 圆：与圆：的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
4. 若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在平行四边形中，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（ ）
A. 5B. 6C. D.
7. 在正三棱柱容器中，，，能够放入该三棱柱的球的最大半径为，将一些半径为的小球放入该三棱柱（球要全部进入三棱柱中），则放入的小球个数最多为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
8. 已知直线：与圆：交于，两点，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题其3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为上的一点，则（ ）
A. 的虚轴长为B.
C. 焦距为3D. 的渐近线方程为
10. 已知点，则（ ）
A
B.
C. 在上的投影向量为
D. 点到直线的距离为
11. 当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数中，是同号增函数的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线与直线平行，则______．
13. 已知复数的模为，且为纯虚数，请写出一个满足条件的复数：______．
14. 已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊车”的概率为0.8，成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互独立.现对该款智能汽车进行一次变道测试和一次泊车测试.
（1）求汽车两项功能测试都成功的概率；
（2）求汽车恰有一项功能测试成功的概率.
16. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为的直角三角形．
（1）求的方程．
（2）设直线：与交于，两点．
（ⅰ）求值；
（ⅱ）求四边形的面积．
17. 如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，为的中点，点在线段上，且，．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数（，）的最小正周期为，最大值为2．
（1）求，；
（2）求的单调递增区间；
（3）已知的三个角，，的对边分别为，，，且，的角平分线，求的最小值．
19. 已知抛物线：的准线方程为．
（1）求的方程．
（2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的取值范围；
（ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上．
2025—2026学年第一学期高二学科素养评价
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出集合的补集和并集，再结合交集运算求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，则
又因为或，则，
所以
故选：D.
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得，再结合模长公式及数量积的坐标表示即可求解.
【详解】由得，即，又，，所以，解得
故选：C
3. 圆：与圆：的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
【答案】A
【解析】
【分析】先写出圆的圆心及半径，再根据圆心间距离和半径的关系判断圆与圆的位置关系.
【详解】圆与圆的半径分别为2，1，圆心坐标分别为，，
则，
故圆与圆的位置关系是外离.
故选：A.
4. 若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线的焦点和准线，再利用抛物线的定义求解．
【详解】
抛物线，
焦点为，准线为，
设点，由抛物线的定义可得，
，
，解得，故B正确．
故选：B．
5. 在平行四边形中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到即为的中点，，从而得到.
【详解】，故，
即为的中点，所以与相交于点，
又，，所以，，
故.
故选：B
6. 已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（ ）
A. 5B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设由点差法可得直线的斜率，可得答案.
【详解】设由AB的中点坐标为，则且 ，
所以.
又A，B两点在双曲线上，
所以由相减可得，即，
所以，即，解得，
所以的斜率为.
故选：A.
7. 在正三棱柱容器中，，，能够放入该三棱柱的球的最大半径为，将一些半径为的小球放入该三棱柱（球要全部进入三棱柱中），则放入的小球个数最多为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据球与正三棱柱的侧面相切，求得球的最大半径，再根据正三棱柱的高求解.
【详解】在正三棱柱中，，，
能够放入该三棱柱的球的最大半径为，则该球与正三棱柱的侧面相切，
所以，解得，
所以，因为，，
所以将一些半径为的小球放入该三棱柱，则放入的小球个数最多为5个.
故选：B
8. 已知直线：与圆：交于，两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由直线方程确定经过，进而可得圆心到直线的距离的最大值为，从而可得弦的最小值.
【详解】因为直线：，变形为，
令，解得，所以直线经过定点，且该点在圆内.如图：
过原点O作，所以.
所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题其3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为上的一点，则（ ）
A. 的虚轴长为B.
C. 的焦距为3D. 的渐近线方程为
【答案】AB
【解析】
【分析】将双曲线方程化为标准方程，结合虚轴、定义、焦距、渐近线的定义求解.
【详解】双曲线的标准方程为，则
则虚轴长为，A正确；
，B正确；
焦距为，C错误；
渐近线方程为，故D错误.
故选：AB
10. 已知点，则（ ）
A.
B.
C. 在上的投影向量为
D. 点到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算判断AB；求出投影向量坐标判断C；利用点到直线距离公式计算判断D.
【详解】由点，得，
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，因此在上的投影向量为，C错误；
对于D，点到直线的距离为，D正确.
故选：ABD
11. 当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数中，是同号增函数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】解，再判断在对应区间上是否为增函数.
【详解】A选项，得，得，
在，上单调递增，故A正确；
B选项，，得，
而，故B错误；
C选项，得，得，
因为在上单调递增，且，
所以在上单调递增，
则在上单调递增，故C正确；
D选项，得；得，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
故上单调递增，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线与直线平行，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得
故答案为：.
13. 已知复数的模为，且为纯虚数，请写出一个满足条件的复数：______．
【答案】，（答案不唯一，只需即可）.
【解析】
【分析】设，从而得到方程组，求出，从而得到答案.
【详解】设，则，
，
又为纯虚数，故，，
联立可得，故，不妨令.
故答案为：（答案不唯一，只需即可）.
14. 已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性及双曲线定义，结合余弦定理列式求出离心率.
【详解】令双曲线的左焦点为，半焦距为，连接，
由点关于原点对称，得四边形为平行四边形，则，不妨令点在第一象限，
由，得，而，
则，在中，由余弦定理得，
因此，解得，
所以的离心率为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊车”的概率为0.8，成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互独立.现对该款智能汽车进行一次变道测试和一次泊车测试.
（1）求汽车两项功能测试都成功的概率；
（2）求汽车恰有一项功能测试成功的概率.
【答案】（1）0.72；
（2）0.26.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式列式计算.
（2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式求解.
【小问1详解】
记事件成功完成“自动泊车”，事件成功完成“自动辅助变道”，事件相互独立，
则，汽车两项功能测试都成功的事件为，
所以汽车两项功能测试都成功的概率.
【小问2详解】
汽车恰有一项功能测试成功的事件为，
因此，
所以汽车恰有一项功能测试成功的概率为0.26.
16. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为的直角三角形．
（1）求的方程．
（2）设直线：与交于，两点．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）根据三角形的周长及三角形为直角三角形可得，进而可得方程；
（2）（ⅰ）直接根据根与系数的关系可得；（ⅱ）将四边形的面积转化为两个三角形面积的和，进而转化为计算可得.
【小问1详解】
因为是周长为的直角三角形，再由椭圆的定义可得，即.
又因为为直角三角形，且为上顶点，所以为等腰直角三角形，故.
又由，即，代入，解得.
故的方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）将直线：代入，消去x得，
，.
所以.
（ⅱ）由（ⅰ）知，且与异号，
所以..
所以
.
所以四边形的面积为.
17. 如图，在三棱锥中，平面，，为中点，为的中点，为的中点，点在线段上，且，．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）.
【解析】
【分析】（1）先通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量，再证明与平面的法向量垂直，且不在平面内，从而得出线面平行；
（2）先求出平面的法向量，再根据线面角的向量公式进行计算即可.
【小问1详解】
因为平面，，故以为原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
已知，则，，，，
因为为的中点，所以点坐标为，即，
又因为为的中点，所以点坐标为，即，
因为为的中点，所以点坐标为，即，
因为，所以，，则，
所以点坐标为，
则，平面的一个法向量为，
因为，所以，
又因为不在平面内，所以平面，
【小问2详解】
由（1）知，，
设平面的法向量为，
则， 即
令，则，，所以，
因为，设直线与平面所成角为，
因为，
，
，
所以，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知函数（，）的最小正周期为，最大值为2．
（1）求，；
（2）求的单调递增区间；
（3）已知的三个角，，的对边分别为，，，且，的角平分线，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先化简函数，再根据周期和最大值，计算得到参数的值；
（2）利用函数整体代入求单调区间；
（3）先根据条件求角，再根据余弦定理结合基本不等式求的最小值，进而求得答案.
【小问1详解】
因为函数最小正周期为，最大值为2．，
所以，，解得
【小问2详解】
由（1）可知，
令，解得：，
所以的单调增区间为.
【小问3详解】
因为，所以，
结合，解得，
由为角平分线，，，
由面积法：
化简得，由余弦定理
设，则，代入得
由均值不等式（当且仅当时取等号）.
在时单调递增，故时，最小，即的最小值为.
19. 已知抛物线：的准线方程为．
（1）求的方程．
（2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的取值范围；
（ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合准线方程求出，进而求出抛物线的方程；
（2）设直线方程，联立抛物线方程，利用2个不同交点得出二次项系数不为0，判别式大于0求出的取值范围；利用韦达定理结合向量数量积公式求出范围；利用韦达定理结合中点的性质求出直线方程，从而证明结论．
【小问1详解】
抛物线：的准线方程为，
，解得，
抛物线的方程为：
【小问2详解】
过点且斜率为的直线的方程为：，
联立抛物线方程得，整理得，
（ⅰ）直线与交于，两个不同的点，
，
的取值范围为；
（ⅱ），，
设，由韦达定理得，
，
，
，
，令，则，
，开口向上，对称轴为，故在上单调递减，
即，
取值范围为；
（ⅲ）直线的方程为，，，
过点作轴的垂线，交直线于点，则，，，
，中点的坐标为，
，，
，
中点坐标满足，即．
线段的中点在直线上．