2022-2023学年新疆生产建设兵团第二中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

新疆兵团二中 2022-2023 学年（第一学期）期末考试试题

高一数学试卷

第 Ⅰ 卷（选择题）

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．

1. 已知集合，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先解二次不等式得出集合，然后利用集合交集运算得出集合，最后判断元素与集合间的关系.

【详解】由，

又，

所以，

所以，故选项A错误，

，故选项B正确，

，故选项C错误，

，故选项D错误，

故选：B.

2. 设命题则命题 p 的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.

【详解】根据特称命题的否定为全称命题得，

命题 p 的否定为.

故选：B.

3. 的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．

【详解】解：．

故选：A．

4. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】AD选项不是奇函数，B选项不满足在上单调递增，C选项满足要求.

【详解】，故不是奇函数，A错误；

为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，故B错误；

，在上单调递增，且定义域为R，，故为奇函数，满足要求，C正确；

定义域为R，且，故不是奇函数，D错误.

故选：C

5. 已知角终边上一点，则（    ）

A. 2 B. -2 C. 0 D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过坐标点得出角的正切值，化简式子，即可求出结果.

【详解】解：由题意，

角终边上一点，

∴

∴，

故选：B.

6. 命题“， ”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A. a  2 B. a  3 C. a  5 D. a  5

【答案】C

【解析】

【分析】根据充分不必要条件的性质，结合任意性的定义进行求解即可.

【详解】由，

因为，所以，要想该命题为真命题，只需，

由选项AB推出不出，由不一定能推出，

因此四个选项中只有C符合充分不必要的性质，

故选：C

7. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】由弧长比可得,结合扇形面积公式得答案.

【详解】因为，所以，

又因为，，

所以，所以.

故选:

8. 下列大小关系中错误的是（    ）

A. 9 1.5  3 2.7 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求得9 1.5、 3 2.7大小关系判断选项A；求得大小关系判断选项B；求得大小关系判断选项C；求得大小关系判断选项D.

【详解】选项A：由为R上增函数，可得，则9 1.5  3 2.7.判断正确；

选项B：由为上增函数，可得；

由为R上减函数，可得，则.判断正确；

选项C：由为上增函数，可得，

由为上增函数，可得，

则.判断错误；

选项D：由为R上增函数，可得，

由为R上减函数，可得，

则.判断正确；

故选：C

二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．

9. 下列说法中，正确的是（    ）

A. 第二象限的角必大于第一象限的角 B. 角度72化为弧度是

C. cos2  0 D. 若sin  sin ，则 与 为终边的相同的角

【答案】BC

【解析】

【分析】举反例否定选项A；利用角度与弧度的互化判断选项B；利用2所在的象限判断选项C；利用三角函数定义判断选项D.

【详解】第二象限的角，第一象限的角，但是.故选项A判断错误；

角度72化为弧度是.故选项B判断正确；

由，可得2为第二象限角，则cos2  0.故选项C判断正确；

若sin  sin ，则 与  的终边相同或 与  的终边关于y轴对称.

故选项D判断错误.

故选：BC

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

B. 图象关于点成中心对称

C. 的最大值为

D. 幂函数在上为减函数，则的值为1

【答案】BD

【解析】

【分析】根据函数的定义域、对称性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，函数的定义域为，

所以对于函数，有，即的定义域是，A选项错误.

B选项，，所以图象关于点成中心对称，B选项正确.

C选项，，所以，

即的最小值为，C选项错误.

D选项，是幂函数，

所以，解得或，

当时，，上递减，

当时，，在上递增，

所以D选项正确.

故选：BD

11. 函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A. 直线是函数图像的一条对称轴

B. 函数的图像关于点对称

C. 函数的单调递增区间为

D. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答.

【详解】观察图象知，，函数的周期，有，

由得：，而，则，，

对于A，因，则直线不是函数图象的对称轴，A不正确；

对于B，由得：，则函数的图象关于点对称，B正确；

对于C，由得：，

则函数的单调递增区间为，C正确；

对于D，，D正确.

故选：BCD

12. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（       ）

A.

B. 为奇函数

C. 在上为减函数

D. 方程仅有6个实数解

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用函数奇偶性以及特值可以得到，选项A正确；利用函数奇偶性可以得到函数的周期性选项B正确；利用函数奇偶性以及周期性得出函数图象可得选项C错误；通过数形结合可选项D正确.

【详解】对于选项A：为偶函数，故，令得：，

又为奇函数，故，令得：，其中，

所以，

故选项A正确；

对于选项B：因为为奇函数，所以关于对称，

又为偶函数，则关于对称，所以周期为，

故，所以，

从而为奇函数，

故选项B正确；

对于选项C：在上单调递增，又关于对称，所以在上单调递增，且周期为8，故在上单调递增，

故选项C错误；

对于选项D：根据题目条件画出与的函数图象，如图所示：

其中单调递减且，所以两函数有6个交点，故方程仅有6个实数解，

故选项D正确.

故选：ABD

第 Ⅱ 卷（非选择题）

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13. 已知幂函数的图象过点，则__________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：设，过点可得：

考点：求幂函数的解析式

14. 已知函数 是定义在 R 上的奇函数（其中实数 m  0) ．则实数 m =______

【答案】1

【解析】

【分析】利用求出m再检验即可

【详解】函数 是定义在 R 上的奇函数，

所以，解得，所以，

且，

满足是定义在R上的奇函数，故.

故答案为：.

15. 化简：  ________.

【答案】－1

【解析】

【详解】原式)(

.故答案为

【点睛】本题的关键点有：

先切化弦，再通分；

利用辅助角公式化简；

同角互化.

16. 已知函数 在 上单调递增，则的最大值是____.

【答案】4

【解析】

【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.

【详解】由函数在区间上单调递增，

可得 ，求得，故的最大值为，

故答案为：4

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.
 

（1）计算

（2）已知， 求的最小值．

【答案】（1）4    （2）

【解析】

【分析】（1）利用指数幂的运算、对数的运算可得答案；

（2）由可得，再由基本不等式可得答案.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

因为，所以，

所以，

当且仅当即时取得最小值为．

18. 已知是定义域为的奇函数，当 时，．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在上的单调性(无需证明)，并解关于t 的不等式：．

【答案】（1）   

（2）函数在上单调递增，不等式的解集为

【解析】

【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.

（2）结合函数的奇偶性以及指数函数的知识判断出的单调性，再根据奇偶性和单调性求得不等式的解集.

【小问1详解】

依题意是定义域为的奇函数，

当时，，

所以，

所以.

【小问2详解】

当 时，，

所以在区间上单调递增，

而是定义域为的奇函数，所以在区间上单调递增，

由，

得，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

19. 已知为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由于，所以代值求解即可；

（2）由求出的值，从而可求出的值，而，进而可求得结果

【详解】（1）

（2）因为为锐角，所以，，

又，所以，

，

又，

所以

因为，所以.

20. 某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于日产量x（单位：个）满足函数：.

（1）将利润（单位：元）表示成日产量x的函数；

（2）当日产量x为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入）

【答案】（1）   

（2）当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元

【解析】

【分析】（1）根据利润为总收入减去总成本，即可得到利润的解析式；

（2）结合（1）中的解析式，分讨讨论的取值范围，结合配方法与一次函数的单调性，求得的最值，同时得到相应的值.

【小问1详解】

根据题意，

当时，，

当时，，

所以.

小问2详解】

当时，，

所以当时，；

当时，易知是减函数，

所以；

综上：当时，，

所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元.

21. 已知函数 f (x)  2cos 2 x  2sin x cos x 1

（1）求函数 f (x) 的最小正周期和对称中心；

（2）将函数 f (x) 的图象向左平移单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的 g(x) 图象，求 y  g(x) 在上的值域．

【答案】（1）最小正周期；对称中心为；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先化简函数 f (x) 的解析式，利用周期公式即可求得函数 f (x) 的最小正周期，再利用整体代入法即可求得函数 f (x) 的对称中心；

（2）先求得函数的 g(x) 的解析式，再利用正弦函数的性质即可求得y  g(x)在上的值域．

【小问1详解】

f (x)  2cos 2 x  2sin x cos x 1

则函数 f (x) 的最小正周期；

由，可得，

则函数 f (x) 对称中心为

小问2详解】

将函数的图象向左平移单位长度，

所得图象的解析式为

再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，

得到函数的 g(x) 图象，则，

由可得，，则，

则，则y  g(x) 在上的值域为．

22. 已知函数 (其中  0)

（1）对x1，x2  R，都有 f (x1)  f (x)  f (x2 )，且 ，求 f (x) 的单调递增区间；

（2）已知 0＜ω＜5，函数 f (x) 图象向右平移个单位，得到函数 g(x) 的图象， x 是 g(x) 的一个零点，若函数 g(x) 在，且m  n) 上恰好有 10 个零点， 求 n  m 的最小值；

（3）已知函数(其中a  0) ，在第（2）问条件下，若对任意 ， 存在，使得 成立，求实数 a 的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）先求得的解析式，进而求得f (x) 的单调递增区间；

（2）先求得的解析式，再求得函数 g(x)的零点，进而求得n  m 的最小值；

（3）先分别求得、在上值域，再利用集合间的关系列出关于实数 a 的不等式，解之即可求得实数 a 的取值范围．

【小问1详解】

对x1，x2  R，都有 f (x1)  f (x)  f (x2 )，且 ，

则的最小正周期为，由，可得，则.

由，可得，

则f (x) 的单调递增区间为；

【小问2详解】

函数 f (x) 图象向右平移个单位，得到函数 g(x) 的图象，

则，又x 是 g(x) 的一个零点，

则，即

则，或

即，或，又0＜ω＜5，则，

则.

又函数 g(x) 在，且m  n) 上恰好有 10 个零点，

则，或，

解之得或，

则在一个周期内有二个零点0和

则的最小值为

【小问3详解】

由（2）可得，

当时，，则，

则，则在上值域为

又(其中a  0) ，

当时，，则，

则，

则在上值域为

若对任意，存在，使得 成立，

则，则，解之得

则实数 a 的取值范围为．

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．