湖南省邵阳市武冈市第二中学2025-2026学年高一年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省邵阳市武冈市第二中学2025-2026学年高一年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共23页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
6. “黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把图片横竖各分三部分，以比例1:0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若图片长、宽比例为8:5，设．则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. （多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和
11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A.
B. 在上单调递减
C. 为奇函数
D. 方程有且仅有个不同的实数解
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数且过定点___________.
13. 已知，则___________.
14. 函数零点为，函数的零点为，其中．则的最小值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. （1）计算
（2）设，计算的值
16. 已知幂函数在上单调递减，.
（1）当时，求的表达式并直接写出在的单调区间．
（2）若在上最小值为，求的值．
17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
18. 已知函数．函数图象与的图象关于直线对称．
（1）求表达式．
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
（3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
湖南省邵阳市武冈市第二中学2025-2026学年高一年级上学期期末考试数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式，得到，，利用交集概念求出答案.
【详解】，，故，
故.
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解分式不等式，得到或，从而得到答案.
【详解】，
即，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数和对数运算进行化简，比较大小即可判断.
【详解】由题知，，
则，
所以，即，
又，
所以.
故选：B
4. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和符号性逐项分析判断.
【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，故AC错误；
又因为当时，则，可知，
此时的符号性与的符号性一致，故D错误；
故选：B.
5. 为了得到函数图象，可以把函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】利用左加右减的平移原则得到答案.
【详解】，
故将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.
故选：C
6. “黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把图片横竖各分三部分，以比例1:0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若图片长、宽比例为8:5，设．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数得到，利用正切二倍角公式进行求解.
【详解】由题意得，故.
故选：D
7. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据已知条件构造函数，并判断该函数的单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果.
【详解】依题意，，，都有，
令，当时，，
则在定义域内单调递增，
又，则，
又，变形得，即，
，解得，即实数的取值范围为.
故选：D.
8. 若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用指定区间上无零点及周期情况列式求解.
【详解】函数，当时，，
由函数在没有零点，得，解得，
由，得是函数的周期，则，
解得，所以当时，取得最大值4.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，不等式两边同除以得A正确；B选项，由指数函数单调性得到B正确；C选项，举出反例得到C错误；D选项，得到，又在上单调递增，故D正确.
【详解】A选项，，故，不等式两边同除以得
，即，A正确；
B选项，因为在R上单调递增，又，故，B正确；
C选项，不妨设，则，故，C错误；
D选项，由于，故，又在上单调递增，
故，D正确.
故选：ABD
10. （多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可.
【详解】由图可知，，
，则，
又
则．
的图象不关于直线对称，A错误；
，的图象关于点对称，B正确；
由，得，则在区间上单调递增，C正确；
由，得，
或-．
取，得或；取，得或．
函数与的图象的所有交点的横坐标之和为，D正确，故选BCD．
11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A.
B. 在上单调递减
C. 为奇函数
D. 方程有且仅有个不同的实数解
【答案】AC
【解析】
【分析】根据为奇函数可得，为偶函数可得，可得到的对称中心、对称轴及周期，根据周期可判断A；当时，，根据将其转化到已知区间的解析式上即可判断B；通过判断是否成立即可判断C；画出函数及的图象，根据图象可判断D.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点中心对称，所以.
因为为偶函数，所以，
所以的图象关于轴对称，所以.
所以，所以，所以，
所以，所以是周期函数，一个周期为8.
对于A，，
由知，
所以，故A正确.
对于B，当时，，
由知，
而当时，，
所以，
所以当时，，
所以在上单调递增，故B错误.
对于C，由上知，
所以，
所以为奇函数，故C正确.
对于D，画出函数及的图象，如图：
由图可知，两个函数图象有10个交点，所以D错误.
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数且过定点___________.
【答案】
【解析】
【分析】令，求出的值，再代入函数解析式，可得出定点坐标.
【详解】对于函数且，
令，可得，
此时，
故函数且过定点.
故答案为：.
13. 已知，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用诱导公式把目标角转化为与已知角相关的二倍角形式，再用二倍角公式代入已知的计算出结果.
【详解】，而，
于是
故答案为：
14. 函数的零点为，函数的零点为，其中．则的最小值为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】先得到，，，故，所以，求出，结合函数单调性得到.
【详解】由题意得，，，
，，即，，
由于，与只有一个交点，
即只有1个解，故，
所以，，
所以，
由于，，故，即，，
故，，
因为在上单调递增，故.
故答案为：10
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. （1）计算
（2）设，计算的值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数，对数运算法则和诱导公式，特殊角三角函数值计算出结果；
（2）利用同角三角函数关系，齐次化，化弦为切，代入求值即可.
【详解】（1）原式
；
（2）
原式.
16. 已知幂函数在上单调递减，.
（1）当时，求的表达式并直接写出在的单调区间．
（2）若在上的最小值为，求的值．
【答案】（1），单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于实数的等式与不等式，解出值，得函数的解析式和函数的解析式，当时，根据对勾函数的单调性可得出函数在的单调区间；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.
【小问1详解】
因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，故，
所以，
当时，，
所以函数在的单调递减区间为，单调递增区间为．
【小问2详解】
由（1）可知
①当时，因为函数、在上均为减函数，
则函数在上单调递减，则，解得（舍去）；
②当时，函数在上单调递减，
此时，不符合题意；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意，
若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，解得（舍去），
当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，解得（舍去）．
综上所述，．
17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可.
（2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可.
【小问1详解】
因为，
又，所以
所以当时，
又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得.
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
当时，，
此时.
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
此时，此时的最大值为；
当时，，
此时
，
综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高.
18. 已知函数．函数图象与的图象关于直线对称．
（1）求的表达式．
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
（3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据反函数可得的表达式；
（2）由（1）可知，令，则在上单调递增且对恒成立，从而得到且，求出的取值范围；
（3）根据定义域，解得，由函数单调性得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，换元，由函数单调性求出的最大值，得到实数的取值范围．
【小问1详解】
的图象与的图象关于直线对称
与互为反函数
由得，
【小问2详解】
由（1）可知，
在上单调递增，
令，其中在上单调递增，
由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立，
且，
，
故的取值范围为；
【小问3详解】
在上恒成立，
由对数函数单调性可得且，
，只需，而单调递增，故只需，得，
不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
，
在上恒成立，
当时不等式成立，
在上恒成立，，
令，
而在上单调递增，
，
综上所述，实数的取值范围为．
19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3），的最大值为1.
【解析】
【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可；
（2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值；
（3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围.
【小问1详解】
，不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
【小问2详解】
由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集.
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
【小问3详解】
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集.
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集.
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）.
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1.
若，则上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求.
综上：，的最大值为1.
【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键.