2022-2023学年广东省珠海市第一中学高一上学期11月期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省珠海市第一中学高一上学期11月期中数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式求得集合，结合补集、交集的知识求得正确答案.

【详解】，解得，所以，

，所以.

故选：C

2．如图，函数的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为，，，则（    ）

A．6 B．4 C．2 D．0

【答案】C

【解析】根据A，B，C的坐标分别为，，，得到求解.

【详解】因为A，B，C的坐标分别为，，，

所以 ，

则，

，

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数解析式及函数值的求法，属于基础题.

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

【详解】依题意，，解得且，

所以函数的定义域为.

故选：B

4．给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【答案】C

【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案.

【详解】①的定义域为，不符合.

②的定义域为，符合.

③的定义域为，不符合.

④的定义域为，符合.

⑤的定义域为，不符合.

所以符合的是②④.

故选：C

5．已知､､，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若且，则 D．若且，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】对于选项A，当为0时不成立；

对于选项B，当为负数是不成立；

对于选项C，由且可得，所以故C正确；

对于选项D，若且说明同号，当为正数时不成立.

故选：C

6．命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】B

【分析】先写出原命题的否定，然后结合判别式以及对分类讨论来求得的取值范围.

【详解】命题“”是假命题，

所以“”是真命题，

当时，不成立，不符合题意，所以，

所以或，

所以或.

故选：B

7．已知常数在上有最大值，若的最小值为，则（    ）

A．0 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】令，根据奇偶性定义可得为奇函数，再由在上有最大值可得在上有最小值，从而得到在上有最小值，可求出.

【详解】令，，

所以，所以为奇函数，

因为在上有最大值，所以在上有最大值，

所以在上有最小值，即在上有最小值，

所以在上有最小值，即，则.

故选：C.

8．已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数t的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性求出，再求出函数的最值解不等式即得解.

【详解】解：函数的对称轴为直线，

因为函数在区间上递减，

所以.

所以，，

所以.

因为，所以.

故选：B

二、多选题

9．下列四组函数中，不表示同一函数的一组是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】根据函数的定义域、值域、对应关系等知识确定正确答案.

【详解】A. ，这两个函数的定义域不相同，所以不表示同一函数.

B.，且定义域相同，两个函数表示同一函数.

C.对于，故，所以的定义域是，

而的定义域是，所以不表示同一函数.

D.的定义域是，的定义域是，所以不表示同一函数.

故选：ACD

10． (多选)已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.

【详解】由命题:，成立，得，解得.

故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，

故选：ABD.

11．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是4

B．若且，则

C．若，则的最小值为3

D．函数的最大值为0

【答案】BD

【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A.对于函数，当时，，所以A选项错误.

B.由于，所以，

所以，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.

C.，

但无解，所以等号不成立，所以C选项错误.

D.由于，所以，

当且仅当时等号成立，所以D选项正确.

故选：BD

12．已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．在区间上先增后减

B．

C．若方程在上有6个不等实根，则

D．若方程恰有3个实根，则

【答案】ABD

【分析】求得在区间上的解析式，并画出图象，对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】当时，，

.

当时，，

，

当时，.

由此画出在区间上的图象如下图所示，

A.由图可知，在区间上先增后减，A选项正确.

B.，

，

所以，B选项正确.

C.的图象与有个交点，不妨设，

结合二次函数的对称性可知，

，所以，C选项错误.

D. 方程恰有3个实根，即图象与直线有个公共点，

直线恒过点，

由消去并化简得，

，解得或（舍去）.

此时直线与的图象有个公共点，如图所示.

由消去并化简得，

，解得或（舍去），

此时直线与的图象有个公共点；

直线过点，斜率为，直线，

结合图象可知，要使图象与直线有个公共点，则需.

综上所述，，故D选项正确.

故选：ABD

【点睛】本题中的分段函数，有一部分的解析式没有直接给出，需要将具体的解析式求出，类似周期函数，可逐段求得函数的解析式，对于方程的根的问题，可转化为函数图象交点来研究.

三、填空题

13．若满足，则____________.

【答案】

【解析】①,将用替换，得②,解上面两个方程即得解.

【详解】因为①

令，②

解由①②组成的方程组得.

故答案为:

【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

14．若是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】结合函数的奇偶性、单调性化简不等式，从而求得不等式的解集.

【详解】依题意，是定义在上的奇函数，且在上是增函数，

由，得，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

15．两个正实数满足，则满足恒成立的取值范围__________.

【答案】

【分析】由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值为，再由不等式恒成立思想可得，解不等式可得所求范围.

【详解】由，，，

可得，

当且仅当式取得等号，

的最小值为，

即有，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中档题.

四、双空题

16．函数的定义域为，若对于任意，当时，都有，则称函数在上为非减函数，设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则___________， ___________.

【答案】     ##     ##

【分析】根据“非减函数”的定义以及题目所给三个条件求得的值，进而求得正确答案.

【详解】依题意，，

对于条件②③，令，得，

解得，

由令，得，

由于当时，，

所以当时，，所以.

由令，得，

由令，得.

由上述分析可知，

由令，得，

由令，得，

由于当时，，

所以当，，所以，

所以.

故答案为：；

五、解答题

17．已知关于的不等式的解集为.

（1）求的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)利用二次不等式的解的端点即相应的二次方程的根，易得的值;

(2)分类讨论解二次不等式.

【详解】（1）由题意知不等式对应的方程的两个实数根为和，且，由根与系数的关系，得

解得.

（2）由知不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论．

18．已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R．

（1）当a＝2时，求A∪B和(∁RA)∩B；

（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．

【答案】（1）A∪B＝{x|－2≤x≤7}；(∁RA)∩B＝{x|－2≤x<1}；（2）或．

【分析】（1）由a＝2，得到A＝{x|1≤x≤7}，然后利用集合的基本运算求解.

（2）由A∩B＝A，得到A⊆B．然后分A＝∅，A≠∅两种情况讨论求解.

【详解】（1）当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，

则A∪B＝{x|－2≤x≤7}，∁RA＝{x|x<1或x>7}，(∁RA)∩B＝{x|－2≤x<1}．

（2）∵A∩B＝A，

∴A⊆B．

若A＝∅，则a－1>2a＋3，解得a<－4；

若A≠∅，由A⊆B，得，

解得－1≤a≤

综上，a的取值范围是或 ．

【点睛】本题主要考查集合的基本要和基本运算，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.

19．已知函数是定义域为上的奇函数，且．

(1)求的解析式；

(2)请判断并用定义证明在的单调性．

【答案】(1)；

(2)在的单调递增；证明见解析.

【分析】（1）根据函数是定义域为上的奇函数知，可以得到，再根据，可求出的值，即可得到的解析式.

（2），不妨令，对进行化简处理为，进行符号判断得，即可判断出在的单调递增.

【详解】（1）函数是定义域为上的奇函数，

∴，∴；

又，∴；

∴.

（2）在的单调递增．

，不妨令，

∵，∴，∴，

又，所以，即，

所以在的单调递增．

20．2021年9月25日，孟晩舟乘坐中国政府包机抵达深圳，回到了祖国的怀抱.她在机场发表感言：“如果信念有颜色，那一定是中国红！”“个人利益、企业命运和国家的命运是十指相连的，祖国是我们最坚强的后盾.”历时3年之久的孟晚舟事件得以落幕.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本300万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)求出今年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）；

(2)今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)今年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元.

【分析】（1）利用利润=销售额－成本即得；

（2）分段函数分别利用二次函数的性质及基本不等式求各段的最值，然后比较即得.

【详解】（1）当时，；

当时，

∴；

（2）若，，

当时，万元.

若，，

当且仅当时，即时，万元.

∴今年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元.

21．在所给的三个条件中任选一个，将下面问题补充完整，并求解

①函数的最小值为；②函数的图像过点；③函数的图像与轴交点的纵坐标为．

已知二次函数，满足，且满足    （填所选条件的序号）．

(1)求函数的解析式

(2)设，当时，函数的最小值为，求实数的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可；

（2）根据题意，分和两种情况讨论求解.

【详解】（1）解：因为，

所以，

所以，解得，即

所以，当选①时，

因为函数的最小值为，

所以当时，函数有最小值，解得，

所以，

当选②时，

因为函数的图像过点

所以，解得，

所以

当选③时，

因为函数的图像与轴交点的纵坐标为．

所以，，解得，

所以，

（2）解：结合（1）得，

因为函数的对称轴为，

所以，当，即时，函数在上单调递增，

所以，，解得，与矛盾，舍.

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，解得或（舍），

综上，实数的值为

22．已知函数，其中为实数．

（Ⅰ）当时，求函数的最小值；

（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）对于给定的负数，若存在两个不相等的实数（ 且 ）使得，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或；（Ⅲ）见解析

【分析】（Ⅰ）由题可知

当时，，分别讨论该函数在各段上的最小值和区间端点值，进而求出在整个定义域上的最小值；

（Ⅱ）因为在上为增函数，分，，三种情况讨论即可

（Ⅲ）因为 ，则 在 上为减函数，在上为增函数，所以 ，令，分，两种情况具体讨论即可．

【详解】解：

(Ⅰ) 当时，

所以当时有最小值为 ；

当时，由得，

所以当时，函数的最小值为

（Ⅱ）因为在上为增函数，

若，则在上为增函数，符合题意；

若，不合题意；

若，则，从而

综上，实数的取值范围为或．

（Ⅲ）因为 ，则 在 上为减函数，在上为增函数，

所以 ，令

1、若 ，则，由 知且

所以

令 ，则 在 ，上为增函数，

在，上为减函数

(1)当时，且 ,

则 在 ，上为增函数，在，上为减函数

从而当且

所以 或

(2)当时，且 ,

则 在 ，上为增函数，在上为减函数

从而当且

所以 或

(3)当时，且 , 则 在 ，上为增函数，

从而当且

所以 或

2、若 ，则，且

因为

综上所述，

当时，的取值范围为；

当时，的取值范围为；

当时，的取值范围为．

【点睛】本题考查函数的综合应用，包括求最值，单调性，分类讨论思想等，属于偏难题目．