2025-2026学年河南省南阳市六校联考高三（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省南阳市六校联考高三（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x||x−3|0)的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与椭圆C另一个交点为B，若|AF|=2|BF|，则椭圆C的离心率为( )
A. 53B. 33C. 54D. 34
8.若关于x的不等式lnx+k≤eex−k−1恒成立，则实数k的取值范围是( )
A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. (−∞,1e]D. (−∞,e]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A，B为两个随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，则下列结论正确的是( )
A. 若B⊂A，则P(A−∪B)=0.7
B. 若A，B相互独立，则P(AB−)=0.4
C. 若A，B相互独立，则P(A∪B)=0.7
D. 若P(B|A)=0.3，则P(A|B)=0.7
10.记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a2−2b2=c2，则( )
A. c=4bcsAB. tanA=3tanB
C. A−B的最大值为π6D. tanAtanBtanC的最小值为6
11.已知抛物线W：y2=2px(p>0)，直线AB过抛物线W的焦点F，与抛物线交于A，B两点，点M是横坐标为6的一定点，当|AB|=16时，弦AB恰被点M平分，则以下结论正确的是( )
A. p=4B. |AF|+9|BF|≥32
C. △AFM的周长可以为14D. 当S△AOF=3S△BOF时，|AB|=12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一组正整数从小到大排列为：1，2，6，7，9，m，这组数据的40%分位数等于它们的平均数，则m为
13.已知a，b∈R，若直线y=3x+a是曲线f(x)=ex+2x−b与曲线g(x)=x+2lnx的公切线，则a+b= ．
14.已知圆台的上下底面积之比为1：4，与圆台的上下底面和侧面都相切的球半径为1，则圆台的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，S2，S3+1，S5−3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令{bnan}是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3bsinC=c(1+csB)．
(1)求角B；
(2)若b=4，△ABC的面积为4 3,D为AC边上一点，满足AC=3AD．
①求△ABC的周长；
②求BD的长．
17.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，∠BAD=90°，∠A1AB=∠A1AD=60°，点A1在底面上的射影为底面中心O．
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)求直线DB1与平面ADD1A1所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)离心率为 52，O为坐标原点，F1、F2为左、右焦点，直线l过右焦点F2与右支交于A，B两点，当l⊥x轴时，|AB|=1．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动点P(x0,y0)(y0≥1)在双曲线C右支上，设∠F1PF2的平分线分别与x轴、y轴交于点M(m,0)、N，直线F1N与双曲线左、右支分别交于D、E两点，如图所示：
①求实数m的取值范围；
②求△F2DE面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax−b．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若∀a>0函数f(x)都存在两个不同零点x1，x2，求实数b的取值范围；
(3)在(2)的条件下，给定满足条件的常数b，证明：当|x1−x2|取最小值时，a=b．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.C
5.D
6.A
7.B
8.B
9.AB
10.ABD
11.ABC
12.11
13.1
14.7π
15.解：(1)已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，
a1=3，S2，S3+1，S5−3成等比数列，
设等差数列{an}的公差为d，
由题意得，S2=a1+a2=d+6，
S3+1=3(a1+a3)2+1=3a2+1=3(a1+d)+1=3d+10，
S5−3=5(a1+a5)2−3=5a3−3=5(a1+2d)−3=10d+12，
根据等比中项可得，(S3+1)2=S2(S5−3)⇒(3d+10)2=(d+6)(10d+12)，
整理得d2+12d−28=(d+14)(d−2)=0，解得d=2或d=−14，
因为{an}是单调递增的等差数列，所以d>0，即d=2，
根据等差数列的通项公式可得an=a1+(n−1)d=3+(n−1)2=2n+1；
(2)令{bnan}是以2为首项，3为公比的等比数列，
根据等比数列的通项公式可得bnan=2⋅3n−1，
由(1)得，an=2n+1，
所以bn=an⋅2⋅3n−1=(2n+1)2⋅3n−1=(4n+2)3n−1，
则Tn=6×30+10×31+⋯+(4n−2)3n−2+(4n+2)3n−1，
3Tn=6×31+10×32+⋯+(4n−2)3n−1+(4n+2)3n，
两式相减得，−2Tn=6+4(31+32+⋯+3n−1)−(4n+2)3n
=6+4⋅3−3n−1⋅31−3−(4n+2)3n
=6+2(3n−3)−(4n+2)3n，
整理得数列{bn}的前n项和Tn=2n⋅3n．
16.解：(1)根据 3bsinC=c(1+csB)，结合正弦定理得 3sinBsinC=sinC(1+csB)，
因为△ABC中，sinC≠0，所以 3sinB=1+csB，即 3sinB−csB=1，
可得2(sinBcsπ6−csBsinπ6)=1，即2sin(B−π6)=1，
所以sin(B−π6)=12，结合B为三角形的内角，可得B−π6=π6，B=π3．
(2)①由S△ABC=12acsinB= 34ac=4 3，解得ac=16，
根据余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
即16=a2+c2−ac，可得a2+c2=32，结合ac=16解得a=c=4，
所以△ABC为等边三角形，可得△ABC的周长为12；
②由AC=3AD，可得|AD|=43，
在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csπ3=16+169−2×4×43×12=1129，
所以BD= 1129=4 73．
17.解：(1)证明：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC∩BD=O，A1O⊥平面ABCD，
而BD⊂平面ABCD，则A1O⊥BD，
在▱ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°，
则四边形ABCD是正方形，BD⊥AC，而AC∩A1O=O，AC，A1O⊂平面A1AC，
因此BD⊥平面A1AC，又A1A⊂平面A1AC，
所以AA1⊥BD；
(2)由A1O⊥平面ABCD，BD⊥AC，得直线OA，OB，OA1两两垂直，
AA1= AO2+A1O2= BO2+A1O2=BA1，
又∠A1AB=60°，则△A1AB是正三角形，
A1A=A1B=AB=2，同理A1D=2，
而OB=OD=OA=12AC= 2，则OA1= 2，
以O为原点，直线OA，OB，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A( 2,0,0),B(0, 2,0),D(0,− 2,0),A1(0,0, 2)，
DA=( 2, 2,0),DB=(0,2 2,0),AA1=(− 2,0, 2)，
设平面ADA1的法向量n=(x,y,z)，
则n⊥DAn⊥AA1，则n⋅DA= 2x+ 2y=0n⋅AA1=− 2x+ 2z=0，
令x=1，得n=(1,−1,1)，
DB1=DB+BB1=DB+AA1=(− 2,2 2, 2)，
设直线DB1与平面ADD1A1所成的角为θ，
sinθ=|cs〈n,BD1〉|=|n⋅BD1||n||BD1|=2 2 3⋅2 3= 23，
所以直线DB1与平面ADD1A1所成角的正弦值为 23．
18.解：(1)设双曲线的焦距为2c，把x=c代入双曲线方程可得|y|=b2a，
由题意可知2b2a=1ca= 52a2+b2=c2，解得a=2b=1c= 5，
所以双曲线C的方程为x24−y2=1；
(2)①由(1)可知F1(− 5,0),F2( 5,0)，
由角平分线性质可得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|= 5+m 5−m，
又|PF1|−|PF2|=4，联立两式可得|PF1|=2+2 5m，
因为P(x0,y0)(y0≥1)在双曲线C右支上，所以x0>0且x024−y02=1，
即y02=x024−1≥1，所以x0≥2 2，
则|PF1|= (x0+ 5)2+y02= x02+2 5x0+5+x024−1
= 54x02+2 5x0+4≥ 54×(2 2)2+2 5×2 2+4
= 14+4 10=2+ 10，
所以2+2 5m≥2+ 10，解得m≤ 2，
又m>0，所以m的取值范围为(0, 2]；
②由①可知；当y0=1时，x0=2 2，m= 2，
此时直线PM的方程为y=1−02 2− 2(x− 2)，即y= 22x−1，
令x=0，得y=−1，直线F1N的斜率k最小，kmin=0+1− 5−0=− 55，且k0，f(t)在(−∞,− 5]上单调递增，
所以f(t)max=f(− 5)=6，
即△F2DE面积的最大值为4 5× 6=4 30．
19.解：(1)已知f(x)的定义域为R，f′(x)=ex−a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；
当a>0时，令f′(x)=ex−a=0，x=lna，
所以当x0，f(x)在(lna,+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
(2)由(1)可知，当a>0时，f(x)在x=lna处取得极小值也为最小值，
则f(lna)=elna−alna−b=a−alna−b，
若∀a>0，f(x)有两个不同的零点，又x→−∞时，f(x)→+∞，x→+∞时，f(x)→+∞，
所以f(lna)0，b>a−alna．
令g(a)=a−alna(a>0)，
则g′(a)=1−(lna+1)=−lna，
当01时，g′(a)0，b>g(a)max=1，
综上，b的取值范围为(1,+∞)．
(3)证明：设x10，即h′(t)>0，h(t)在(0,+∞)上递增，
所以t取最小值时，h(t)=et−1t取最小值，ex1−bx1ex1取最小值，
φ(x)=ex−bxex,x