重庆南开中学2025-2026学年七年级上学期数学期末试卷（原卷版+解析版）

这是一份重庆南开中学2025-2026学年七年级上学期数学期末试卷（原卷版+解析版），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的图形是（ ）
A. B.
C D.
3. 2026年恰逢重庆南开中学建校90周年，学校为了了解七年级1100名学生对校史知识的掌握情况，从中随机抽取了200名学生进行问卷调查．该项调查中的样本是（ ）
A. 1100名学生的校史知识掌握情况
B. 从中抽取的200名学生
C. 从中抽取的200名学生的校史知识掌握情况
D. 1100
4. 下列说法正确是（ ）
A. 不相交的两条直线叫做平行线
B. 若，则点B为线段的中点
C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5. 南开中学所在的重庆市沙坪坝区是巴渝文化的重要发祥地，汇集了磁器口古镇、歌乐山烈士陵园等诸多历史文化地标与人文景观．如图所示，以南开中学为观测点，磁器口古镇大约位于南开中学的（ ）
A. 北偏东B. 西偏北C. 北偏西D. 西偏南
6. 从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A. 2027B. 2028C. 2029D. 2030
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有诸生分笺，六人共笺一叠，恰余一叠；四人共笺一叠，尚有八人无笺可分．问生与笺各几何？译文为：现有一群学生分纸笺，要是6个人共用一叠纸笺，会空出来一叠纸笺没人用；要是4个人共用一叠纸笺，会有8个学生没有纸笺可用．问学生有多少人，纸笺有多少叠？设纸笺有x叠，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，每个图案都是由若干条边和若干个圆点组成，其中图①有9个圆点，图②有16个圆点，图③有25个圆点，图④有36个圆点，……，按此规律，图⑧中圆点的个数是（ ）
A 100B. 120C. 121D. 144
10. 按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，大长方形由6个长宽比均为的小长方形组成，其中仅两个小长方形的形状大小相同．已知小长方形的宽为7，则这个大长方形的面积为（ ）
A. 1701B. 1702C. 1703D. 1704
12. 已知整式：，其中均为正整数，n为正整数，且满足，下列说法：①当时，整式A可以为二次三项式；②当时，满足条件的多项式A有15个；③当且时，记满足条件的整式分别为，则关于x的方程的解为或．其中正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：（本大题共14个小题，每空2分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上．
13. 新时代全面深化改革取得重大实践成果，我国经济实力跃上新台阶，2025年全年国内生产总值大约1400000亿元．将数据1400000用科学记数法表示应为______．
14. 重庆冬季某日四个城区的最低气温记录如下：
那么，这四个气温中的最高值与最低值之差为______℃．
15. 下列代数式：，其中单项式有______个．
16. 一个棱柱有条棱，那么它的底面是______边形．
17. 在重庆某长江大桥的工程测量中，需要精确计算桥梁索塔的倾斜监测角．其中一个监测点的理论垂直角度为，则______．（将度、分、秒转化成度）
18. 若单项式与的差是，则______．
19. 规定：，那么______．
20. “二十四节气”是中国古代指导农事的补充历法．2026年“春分”交节时间是3月20日22时45分，此时钟表的时针与分针的夹角是______度．
21. 某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排______个船坞用于建造航母．
22. 如图，数轴上从左到右的三个点分别对应数a，b，c，那么______．
23. 若关于x的方程是一元一次方程，且关于y的方程的解为整数，则满足条件的整数k的值有______个．
24. 如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则______．
25. 如图，已知正方形的边长为．若点N从点A出发，以每秒的速度沿线段运动到点D后立即反向以原速向点A运动；同时点M从点B出发，以每秒的速度沿折线B→C→D方向运动．当点M到达点D时，两点同时停止运动．当运动时间是______秒时，．
26. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“倍分数”，例如：四位数5228，因为，所以5228是“倍分数”．按照这个规定，最大的“倍分数”是______．一个“倍分数”将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记F（M）＝，Q（M）＝，若被7除余2，则满足条件的所有“倍分数”M中，最大值与最小值的和是______．
三、计算题：（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
27. 计算：
（1）；
（2）．
28. 合并同类项：
（1）；
（2）．
29. 解方程：
（1）；
（2）．
30. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题：（本大题共5个小题，31－34题每小题10分，35题12分，共52分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
31. 如图，已知，C为射线上一点，F为射线上一点，连接．
（1）请按要求完成尺规作图：在射线下方作出射线，使得（不写作法，只保留作图痕迹）．
（2）在（1）的结论下，证明：，请完成下面的证明过程，并在括号中填上理论依据．
证明：∵（已知），
∴_______（②_______），
∴③_______（④_______），
∵（已知），
∴⑤______（等量代换）．
32. 为深入贯彻教育部《进一步加强中小学生心理健康工作十条措施》文件精神，全面落实“双减”政策核心要求，南开中学随机抽取了部分学生开展每日完成作业时间（用t表示，单位：小时）的问卷调查，并对收集到的数据逐一整理，深入分析．现将所有数据分为四组（A．；B．；C．；D．），绘制了如下两幅不完整的统计图，其中每日完成作业时间低于1小时的人数占总人数的．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次调查的学生有______人，请补全频数分布直方图：
（2） ______，扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角度数为______；
（3）若该校共有学生3300人，根据本次调查结果，请估计该校学生每日完成作业时间不低于1.5小时的学生人数是多少？
33. 如图，点M为线段的中点，点C为线段上一点，满足，．
（1）求的长；
（2）若点D在直线上，满足，且点N为线段的中点，求的长．
34. 列一元一次方程解应用题：
冬日街头雪地靴热销，某鞋店上新了两款长、短不同的雪地靴．已知每双长款雪地靴的售价为700元，利润率为；每双短款雪地靴的进价为450元，利润为50元．
（1）每双长款雪地靴的进价为______元，每双短款雪地靴的售价为______元；
（2）若该鞋店第一次用12万元购进两款雪地靴，其中长款雪地靴的数量比短款雪地靴的数量多，求该鞋店购进长款雪地靴和短款雪地靴各多少双？
（3）在（2）的条件下，该鞋店对两款雪地靴进行第二次采购，相较于第一次采购，短款雪地靴的进价增加了10元，数量增加了双，售价增加了60元；长款雪地靴的进价减少了m元，数量和售价均不变；销售一段时间后，为了回馈消费者，该鞋店进行打折促销，规定：同时购买一双短款雪地靴和一双长款雪地靴可打八折，按照打折的销售方式该鞋店共售出了100双雪地靴；最终第二次购进的所有雪地靴销售一空．若第二次购进的两款雪地靴总共获利，求m的值．
35. 已知，现将绕点O逆时针旋转．

（1）如图1，，当射线平分时，则______；
（2）如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程；
（3）如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点Q，当时，请直接写出所有满足条件的t的值．沙坪坝区：
两江新区：
渝中区：
九龙坡区：
重庆南开中学2025－2026学年度（上）期末考试初2028届
数学试题
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中，的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的意义是解题的关键；因此此题可根据倒数的意义进行求解即可．
【详解】解：的倒数是2；
故选A．
2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，理解题意是解决本题的关键．
由图可得，从正面观察几何体即可．
【详解】解：从正面看到的图形是：
，
故选：D．
3. 2026年恰逢重庆南开中学建校90周年，学校为了了解七年级1100名学生对校史知识的掌握情况，从中随机抽取了200名学生进行问卷调查．该项调查中的样本是（ ）
A. 1100名学生的校史知识掌握情况
B. 从中抽取的200名学生
C. 从中抽取的200名学生的校史知识掌握情况
D. 1100
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查样本的定义，样本是从总体中抽取的一部分个体的特征，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵学校为了了解七年级1100名学生对校史知识的掌握情况，从中随机抽取了200名学生进行问卷调查．
∴总体是1100名学生的校史知识掌握情况，样本是从中抽取的200名学生的校史知识掌握情况，
故选：C．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 不相交的两条直线叫做平行线
B. 若，则点B为线段的中点
C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质，根据平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质分别判断即可．
【详解】解：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面，∴A错误；
∵点B可能不在线段上，∴B错误；
∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，∴C错误；
∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴D正确；
故选：D．
5. 南开中学所在的重庆市沙坪坝区是巴渝文化的重要发祥地，汇集了磁器口古镇、歌乐山烈士陵园等诸多历史文化地标与人文景观．如图所示，以南开中学为观测点，磁器口古镇大约位于南开中学的（ ）
A. 北偏东B. 西偏北C. 北偏西D. 西偏南
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了方位角的定义，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．先明确观测点是南开中学，再根据图中给出的角度和方向标识，判断磁器口古镇相对于观测点的方位，最后结合选项进行选择．
【详解】解：图中磁器口古镇位于南开中学的北方向向西偏的位置，
磁器口古镇大约位于南开中学的北偏西，
故选：C．
6. 从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A. 2027B. 2028C. 2029D. 2030
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查多边形的对角线与三角形个数的关系，解题关键是记住“从边形一个顶点引对角线，可将其分成个三角形”这一核心结论．
1． 利用结论：三角形个数=边数；
2． 代入已知三角形个数2026，列方程：边数；
3． 解得边数．
【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线，把多边形分成个三角形．
已知分成2026个三角形，则：
解得：
所以这个多边形的边数是2028．
故选：B．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等式的性质，需注意等式变形中的隐含条件，如分母不能为零．
【详解】解：选项A：∵，∴或，故A错误；
选项B：如果且，则，故B错误；
选项C：，两边同时乘以20得：；故C错误；
选项D：如果，由题意得，等式两边同时乘以a，可得，故D正确；
故选D．
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有诸生分笺，六人共笺一叠，恰余一叠；四人共笺一叠，尚有八人无笺可分．问生与笺各几何？译文为：现有一群学生分纸笺，要是6个人共用一叠纸笺，会空出来一叠纸笺没人用；要是4个人共用一叠纸笺，会有8个学生没有纸笺可用．问学生有多少人，纸笺有多少叠？设纸笺有x叠，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，设纸笺有x叠，由6人共一叠，空出一叠，得到学生人数为人；由4人共一叠，有8人无笺，得到学生人数为人，根据两种分法下学生人数相等列方程即可解答．
【详解】解：设纸笺有x叠．根据题意，得．
故选：C．
9. 如图，每个图案都是由若干条边和若干个圆点组成，其中图①有9个圆点，图②有16个圆点，图③有25个圆点，图④有36个圆点，……，按此规律，图⑧中圆点的个数是（ ）
A. 100B. 120C. 121D. 144
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形类的一般规律；由题意易得图①有个圆点，图②有个圆点，图③有个圆点，图④有个圆点，……，然后问题可求解．
【详解】解：图①有个圆点，图②有个圆点，图③有个圆点，图④有个圆点，……，按此规律，第⑧个图形圆点的个数为；
故选A．
10. 按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求代数式的值，把的值代入运算程序中进行计算，直到运算结果大于为止．
【详解】解：当时，
可得：,
当时，
可得：,
当时，
可得：,
输出的值为．
故选：C．
11. 如图，大长方形由6个长宽比均为的小长方形组成，其中仅两个小长方形的形状大小相同．已知小长方形的宽为7，则这个大长方形的面积为（ ）
A. 1701B. 1702C. 1703D. 1704
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查长方形的性质、一元一次方程的应用以及几何图形的拼接与面积计算，解题关键是根据小长方形的长宽比和图形拼接关系，设出未知数并列出方程求出大长方形的长和宽，最终求得面积．
根据题意得小长方形的长为14；设小长方形、的宽为，长为，结合图形拼接关系，得到小长方形的长和宽，根据长宽比为，列出关于的方程，解方程即可求出大长方形的长和宽，进而求得大长方形的面积．
【详解】解：每个小长方形的长宽比均为，小长方形的宽为，
小长方形的长为，
依题意，设小长方形、的宽为，则长为，
由图可知，小长方形的宽为，则长为，
小长方形的长为，则宽为，
∴小长方形的宽为，长为，
则
解得
大长方形长为，
宽为，
大长方形的面积为．
故选：B．
12. 已知整式：，其中均为正整数，n为正整数，且满足，下列说法：①当时，整式A可以为二次三项式；②当时，满足条件的多项式A有15个；③当且时，记满足条件的整式分别为，则关于x的方程的解为或．其中正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的定义、解绝对值方程、一元一次方程及分类讨论思想的应用．对于说法①，当时，存在系数序列满足条件，对应二次三项式；对于说法②，当时，仅考虑的情况，枚举所有满足条件的系数序列，共15个；对于说法③，当且时，有两个多项式，解绝对值方程，可得或．
【详解】解：说法①：当时，取，，，
则满足且乘积为8，为二次三项式，
∴说法①正确；
∵说法②：当时，，枚举序列：
：至共9对，，，共3对，
故时总计有个多项式；
：，，共3个；
：无序列满足乘积；
∴总15个多项式，
∴说法②正确．
说法③：当且时，序列为和，对应，，
则方程．
分段讨论：
当时，则，解得；
当时，则，解得（不符合题意，舍去）；
当时，则，解得；
综上，解为或，说法③正确．
综上，三个说法均正确．
故选：D．
二、填空题：（本大题共14个小题，每空2分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上．
13. 新时代全面深化改革取得重大实践成果，我国经济实力跃上新台阶，2025年全年国内生产总值大约为1400000亿元．将数据1400000用科学记数法表示应为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，然后问题可求解．
【详解】解：将数据1400000用科学记数法表示应为．
故答案为．
14. 重庆冬季某日四个城区的最低气温记录如下：
那么，这四个气温中的最高值与最低值之差为______℃．
【答案】34
【解析】
【分析】本题主要考查有理数减法的应用，解题的关键是理解题意；先计算各城区的实际气温值，再比较得出最高值和最低值，最后计算它们的差即可．
【详解】解：两江新区的气温为，渝中区的气温为．
∴最高气温为，最低气温为，它们的差为．
故答案为34．
15. 下列代数式：，其中单项式有______个．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键；根据单项式的定义，由数字与字母的乘积或单独的数字、字母组成的代数式是单项式，分母中含有字母的代数式不是单项式；然后问题可求解．
【详解】解：是数字与字母的乘积，是单项式；是数字与字母的乘积，是单项式；1是单独的数字，是单项式；是多项式，不是单项式；分母中含有字母，是分式，不是单项式．
故答案为3．
16. 一个棱柱有条棱，那么它的底面是______边形．
【答案】九
【解析】
【分析】本题考查了棱柱的棱数与底面边数的关系，根据棱柱的棱数是底面边数的倍列方程解答即可求解，掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：设底面边数为，则，
解得，
∴它的底面是九边形，
故答案为：九．
17. 在重庆某长江大桥的工程测量中，需要精确计算桥梁索塔的倾斜监测角．其中一个监测点的理论垂直角度为，则______．（将度、分、秒转化成度）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查角度的换算，熟练掌握角度的换算是解题的关键；将分和秒转换为度的小数部分，然后与度部分相加即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为．
18. 若单项式与的差是，则______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，已知字母的值，求代数式的值．根据同类项的定义，两个单项式的差为，需满足相同字母的指数相等，从而求出 m 和 n 的值，最后把数值代入计算，即可作答．
【详解】解：∵单项式与的差是，
∴与，都是同类项，
∴，，
解得，
∴
故答案为：12.
19. 规定：，那么______．
【答案】120
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据定义的运算规则，先计算括号内的，再计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
故答案为：．
20. “二十四节气”是中国古代指导农事的补充历法．2026年“春分”交节时间是3月20日22时45分，此时钟表的时针与分针的夹角是______度．
【答案】52.5
【解析】
【分析】本题考查钟面角的计算，根据时针每小时移动30度、每分钟移动0.5度，分针每分钟移动6度，分别计算时针和分针的位置，再求夹角即可．
【详解】解：22时即10时，时针在10时整为，加上45分钟移动的度数为，总角度为322.5度；
分针在45分钟时为；
∴时针与分针的夹角为；
故答案为52.5．
21. 某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排______个船坞用于建造航母．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每年安排x个船坞建造航母，则建造驱逐舰的船坞数为个，根据配套关系列方程求解即可．
【详解】解：设每年安排x个船坞建造航母，则安排个船坞建造驱逐舰；由题意可得方程：
；
解得：；
故答案为4．
22. 如图，数轴上从左到右的三个点分别对应数a，b，c，那么______．
【答案】c
【解析】
【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及合并同类项，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及合并同类项是解题的关键；由数轴可知，且，然后根据绝对值的意义进行求解即可．
【详解】解：由数轴可知：，且，
∴，
∴；
故答案为c．
23. 若关于x的方程是一元一次方程，且关于y的方程的解为整数，则满足条件的整数k的值有______个．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解，先根据一元一次方程的定义求出m的值，再代入关于 y 的方程，根据解为整数求出k的所有可能整数值，并统计个数即可．
【详解】解： 是一元一次方程，
，，
解得：或，，
，
将代入方程，得，
整理得，
，
y为整数，
则是8的因数，即，
解得：，共8个整数，
故答案：8．
24. 如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则______．
【答案】142
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键．
过点作，过点作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点作，则，因此．
【详解】解：过点作，过点作，
，
，
，，，
，
，
即，
，
，
平分，平分，
，，
．
过点作，
，
，
，，
．
故答案为：142．
25. 如图，已知正方形的边长为．若点N从点A出发，以每秒的速度沿线段运动到点D后立即反向以原速向点A运动；同时点M从点B出发，以每秒的速度沿折线B→C→D方向运动．当点M到达点D时，两点同时停止运动．当运动时间是______秒时，．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意得，则点M到达点D时，所需时间为，然后可分当时，当时，当时，进而分类进行求解即可．
【详解】解：设运动时间为t秒，由题意得：，则点M到达点D时，所需时间为，
当时，此时点N与点M分别在线段上，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，此时点N与点M分别在线段上，
∴，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
当时，此时点N到达点D后返回，点M在线段上，
∴，
∴，
解得：；
综上所述：当或，；
故答案为：或．
26. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“倍分数”，例如：四位数5228，因为，所以5228是“倍分数”．按照这个规定，最大的“倍分数”是______．一个“倍分数”将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记F（M）＝，Q（M）＝，若被7除余2，则满足条件的所有“倍分数”M中，最大值与最小值的和是______．
【答案】 ①. 9289 ②. 9270
【解析】
【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程的解，数字类规律的探索，首先，根据“倍分数”的定义由得，然后判断出c为偶数，且，取，则，故，取，得；根据题意计算 和 ，代入表达式 ，化简后得到，再分情况当时与时，枚举 和可得所有满足条件的，计算出其和即可解答．
【详解】解：，
，
∵a、b、d均为整数，一定是偶数，
∴一定是整数，
∴c偶数，
∵，
∴，
当数为最大的“倍分数”时，千位取最大的9，
，
，
，
令，则，
，
取，则，故 ，取最大的时，，得最大的“倍分数”是；
对于满足条件的，有，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
∵被7除余2，
令（为整数），
，
，
是7倍数，
由可知c为偶数，且，
，
经检验当或时，是7倍数，
当时，有，代入方程中，当，时有最小数，
当时，有，或，
将代入方程中，当，时有最大数；
当时，，
∵被7除余2，
令（为整数），
，
是7倍数，即是7倍数，
由可知c为偶数，且，，
为偶数，
，
经检验当（是奇数，舍）时，是7倍数，
当时，有，或；
将代入方程中，当，时有最大数，
综上所述，最大数为8129，最小数为1141，和为，
故答案为：9289，．
三、计算题：（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
27. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）27 （2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．
（1）根据有理数的加减混合运算法则计算；
（2）先计算乘方，然后计算括号，再进行乘除计算，最后进行加减计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
28. 合并同类项：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据合并同类项法则计算，即可作答．
（2）先去括号，再合并同类项，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
29. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答．
（2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答．
【小问1详解】
解：，
去括号，得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得；
【小问2详解】
解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
30. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查整式加减运算的化简求值及非负性的性质，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；因此此题可先对整式进行化简，然后根据偶次幂与绝对值的非负性可得，进而问题可求解．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∴，
∴原式．
四、解答题：（本大题共5个小题，31－34题每小题10分，35题12分，共52分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
31. 如图，已知，C为射线上一点，F为射线上一点，连接．
（1）请按要求完成尺规作图：在射线下方作出射线，使得（不写作法，只保留作图痕迹）．
（2）在（1）的结论下，证明：，请完成下面的证明过程，并在括号中填上理论依据．
证明：∵（已知），
∴_______（②_______），
∴③_______（④_______），
∵（已知），
∴⑤______（等量代换）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查角的尺规作图及平行线的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图及平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）根据角的尺规作图可进行求解；
（2）根据题中所给步骤进行补全即可．
【小问1详解】
解：所作图形如图所示：
【小问2详解】
证明：∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换）．
32. 为深入贯彻教育部《进一步加强中小学生心理健康工作十条措施》文件精神，全面落实“双减”政策核心要求，南开中学随机抽取了部分学生开展每日完成作业时间（用t表示，单位：小时）的问卷调查，并对收集到的数据逐一整理，深入分析．现将所有数据分为四组（A．；B．；C．；D．），绘制了如下两幅不完整的统计图，其中每日完成作业时间低于1小时的人数占总人数的．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次调查的学生有______人，请补全频数分布直方图：
（2） ______，扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角度数为______；
（3）若该校共有学生3300人，根据本次调查结果，请估计该校学生每日完成作业时间不低于1.5小时的学生人数是多少？
【答案】（1）100，补全频数分布直方图见解析
（2），
（3）165人
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图．
（1）先由每日完成作业时间低于1小时的人数除以占比求解总人数，再由总人数减去组的人数求解组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）用组的人数除以总人数即可求解；用乘以B组的占比即可求解圆心角；
（3）利用样本估计总体的方法求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，（人），
则每日完成作业时间 人数有：（人），
补全频数分布直方图为：
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
故，
，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：（人），
答：该校学生每日完成作业时间不低于1.5小时的学生人数是人．
33. 如图，点M为线段的中点，点C为线段上一点，满足，．
（1）求的长；
（2）若点D在直线上，满足，且点N为线段的中点，求的长．
【答案】（1）30 （2）4或16
【解析】
【分析】本题考查线段的和差，线段的中点．熟练掌握线段中点定义，线段的和差关系，是解题的关键．
（1）设，，则，根据点M为中点得到，即可得到，求解即可．
（2）分当D在点C左侧和右侧两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴设，，
∴，
∵M为中点，
∴，
即：，
解得：，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知：，
当D在点C左侧时，
∵N为中点，
，
∴；
当D在点C右侧时，
∵N为中点，
，
∴，
综上所述，或．
34. 列一元一次方程解应用题：
冬日街头雪地靴热销，某鞋店上新了两款长、短不同的雪地靴．已知每双长款雪地靴的售价为700元，利润率为；每双短款雪地靴的进价为450元，利润为50元．
（1）每双长款雪地靴的进价为______元，每双短款雪地靴的售价为______元；
（2）若该鞋店第一次用12万元购进两款雪地靴，其中长款雪地靴的数量比短款雪地靴的数量多，求该鞋店购进长款雪地靴和短款雪地靴各多少双？
（3）在（2）的条件下，该鞋店对两款雪地靴进行第二次采购，相较于第一次采购，短款雪地靴的进价增加了10元，数量增加了双，售价增加了60元；长款雪地靴的进价减少了m元，数量和售价均不变；销售一段时间后，为了回馈消费者，该鞋店进行打折促销，规定：同时购买一双短款雪地靴和一双长款雪地靴可打八折，按照打折的销售方式该鞋店共售出了100双雪地靴；最终第二次购进的所有雪地靴销售一空．若第二次购进的两款雪地靴总共获利，求m的值．
【答案】（1）500，500
（2）购进短款雪地靴100双，则购进长款雪地靴150双
（3）m的值为20
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可直接列式进行求解即可；
（2）设该鞋店购进短款雪地靴x双，则购进长款雪地靴双，利用进货总价=进货单价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该鞋店购进短款雪地靴的数量），再将其代入中，即可求出该鞋店购进长款雪地靴的数量；
（3）利用总利润=销售单价×销售数量-进货单价×购进数量，结合第二次购进的两款雪地靴总共获利，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：由题意得：每双长款雪地靴的进价为（元）；
每双短款雪地靴的售价为（元）；
故答案为：500，500；
【小问2详解】
解：设购进短款雪地靴双，则购进长款雪地靴双，由题意得：
，
解得：，
∴；
答：购进短款雪地靴100双，则购进长款雪地靴150双
【小问3详解】
解：由题意得：
，
解得：；
答：m的值为20．
35. 已知，现将绕点O逆时针旋转．

（1）如图1，，当射线平分时，则______；
（2）如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程；
（3）如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点Q，当时，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）
（2）或，过程见详解
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查角的和差关系、平行线的性质、角平分线的定义及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得，则有，然后问题可求解；
（2）由可设，则，，设，由题意可分：当射线在的内部时，当射线在的外部时，进而分类进行求解即可；
（3）由题意易得，，，，由题意可分：当射线在的内部时，当射线在的外部且射线在内部时，当射线在外部时，当射线在射线下面时，进而分类进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴；
故答案为；
【小问2详解】
解：由可设，则，
∵，
∴，
设，由题意可分：
当射线在的内部时，如图，

∴，，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
当射线在的外部时，如图，

∴，，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
由将边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），可知：，
∵射线平分，射线平分，射线平分，
∴，，，
由题意可分：
当射线在的内部时，则有，即，如图，

∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当射线在的外部且射线在内部时，即，如图，

∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当射线在外部时，即，如图，

∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或；
当射线在射线下面时，即，如图，

∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述：当时，或．沙坪坝区：
两江新区：
渝中区：
九龙坡区：