重庆市南开中学2025~2026学年上册12月月考七年级数学试题【附解析】

这是一份重庆市南开中学2025~2026学年上册12月月考七年级数学试题【附解析】，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中能比较大小的是( )
A．两条线段B．两条直线C．直线与射线D．两条射线
2．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．由n条线段连接起来组成的图形叫n边形
B．一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫扇形
C．两点之间线段最短
D．连接两点之间的线段是两点之间的距离
4．如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（ ）边形
A．六B．七C．八D．九
7．如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为．若圆的半径为3，则扇形乙的面积为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，该图形中共有（ ）条不同的射线
A．16B．14C．15D．12
9．每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转°（0＜＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（ ）
A．∠AODB．∠AOCC．∠EOFD．∠DOF
11．如图，已知，，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
12．已知是的平分线，，平分，设，则（ ）
A．或B．或C．或D．
二、填空题
13．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为 ．
14．比较大小： （选填“”“”“”）．
15．计算： ； ．
16．若线段上标记了9个点（包括端点），则该线段中共有 条线段；
17．四边形中，，，，，，．在四边形内找一点．使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则其最小和为 ．
18．已知线段AC，点D为AC的中点，B是直线AC上的一点，且 BCAB，BD＝1，则AC＝ ．
19．将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠1=51°，∠2=20°，∠3的度数 ．
20．平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，的度数是 ．
三、解答题
21．如图：已知．利用尺规作，使．（保留作图痕迹，不写作法）
22．已知：如图，是直线上一点，，射线平分，求的度数．
23．如图，是的中点，是的中点，若，求的长．
24．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
（2）若 ，点C是线段A的巧点，则 ；
（3）如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由．
25．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线．
（1）如图1，若，，求．
（2）如图2，若，射线从射线位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值．
（3）如图3，若，射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值．
答案
1．【正确答案】A
【分析】直接利用直线、射线、线段的性质分析得出答案．
【详解】A．两条线段可以比较大小，故此选项正确．
B．直线没有长度，无法比较，故此选项错误；
C．直线与射线没有长度，无法比较，故此选项错误；
D．射线没有长度，无法比较，故此选项错误．
故选A．
2．【正确答案】A
【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示．
【详解】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是选项A中的图，选项B，C，D中的图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形，
故选A．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了多边形、扇形、两点之间线段最短、两点之间的距离，熟练掌握相关概念是解题关键．根据多边形、扇形、两点之间线段最短、两点之间的距离的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、在平面内，由条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做边形，则此项说法错误，不符合题意；
B、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，则此项说法错误，不符合题意；
C、两点之间线段最短，则此项说法正确，符合题意；
D、连接两点之间的线段的长度是两点之间的距离，则此项说法错误，不符合题意；
故选C．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键．
根据已知条件可直接确定的度数．
【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线，
．
故选D．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了与三角板有关的计算问题，根据题意，得，则，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，，
则，
∵，且，
∴，
∴，
故选B．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查了多边形的对角线问题．
过n边形一个顶点的所有对角线将n边形分成个三角形，根据题意分成6个三角形，因此，解得．
【详解】解：从n边形一个顶点出发的对角线将n边形分成个三角形，
∵分成了6个三角形，
∴，
∴，
因此，这个n边形是八边形．
故选C．
7．【正确答案】C
【分析】先求得扇形乙的圆心角，再根据扇形的面积公式：进行计算即可．
【详解】解：∵甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数之比为，
∴扇形乙的圆心角，
∴，
故选C．
8．【正确答案】A
【分析】本题考查了射线：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，熟练掌握射线的定义是解题关键．根据射线的定义解答即可得．
【详解】解：以点为端点的射线有5条，
以点为端点的射线有4条，
以点为端点的射线有4条，
以点为端点的射线有3条，
所以该图形中不同的射线共有（条），
故选A．
9．【正确答案】C
【分析】根据时钟上一大格是进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴时针与分针所夹的角为，
故选C．
10．【正确答案】C
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，结合平角的定义可求解∠EOF=90°，由∠EOF的度数为定值可判定求解．
【详解】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠EOD+∠DOF=90°，
即∠EOF=90°，
∴直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，∠EOF的度数与∠BOD度数变化无关．
故选C．
11．【正确答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算、方程，根据已知条件列方程即可．
【详解】设，则，．
因为，所以，解得．
所以
故选C．
12．【正确答案】A
【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可．
【详解】解：如图1，当位于内部时，
∵，是的平分线，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴，
∴；
如图2，当位于外部时，
∵，是的平分线，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴，
∴；
综上可知或．
故选A．
13．【正确答案】16
【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得．
【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2，
∴该正八边形的周长为．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握角的单位制是解题关键．根据进行换算即可得．
【详解】解：∵
，
∴．
15．【正确答案】；
【分析】本题主要考查了角度的四则运算，熟知相关运算法则是解题的关键．
（1）根据角度的减法计算法则求解即可；
（2）根据角度的四则运算法则求解即可．
【详解】（1）解.
（2）解：
.
16．【正确答案】36
【分析】本题考查了线段的数量问题，熟练掌握线段的计数方法是解题关键．根据线段的计数方法：从左起第一个点数起，使第一个点和其右边的每个点各组合一次，依次数下去，相加求和即可得．
【详解】解：∵线段上标记了9个点（包括端点），
∴该线段中共有线段（条）.
17．【正确答案】24
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题关键．画出图形，根据两点之间线段最短可得的最小值为，的最小值为，此时点为的交点，由此即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
点到四边形四个顶点的距离之和为，
由两点之间线段最短可知，的最小值为，的最小值为，此时点为的交点，
所以的最小值为.
18．【正确答案】6 或
【分析】首先根据题意画出图形，分两种情况：①点B在线段AC上，②点B在线段AC的延长线上，然后利用方程思想设出未知数，表示出BC、AB、AC和BD的长即可解决问题.
【详解】分两种情况讨论：
①点B在线段AC上，如图1.
设BC=xcm，则AB=2xcm，AC=3xcm.
∵点D为AC的中点，
∴AD=CDAC=1.5xcm，
∴BD=0.5xcm.
∵BD=1cm，
∴0.5x=1，
解得：x=2，
∴AC=6cm；
②点B在线段AC的延长线上，如图2.
设BC=xcm，则AB=2xcm，AC=xcm.
∵点D为AC的中点，
∴AD=CDAC=0.5xcm，
∴BD=1.5xcm.
∵BD=1cm，
∴1.5x=1，
解得：x，
∴ACcm.
综上所述：AC的长为6cm或cm.
19．【正确答案】49°
【分析】根据折叠，∠1=∠EFB′，∠3=∠GFC′，再根据平角意义得∠1+∠EFB′-∠2+∠3+∠GFC′=180°，由已知求出答案．
【详解】解：由折叠得，∠1=∠EFB′，∠3=∠GFC′，
∵∠1+∠EFB′-∠2+∠3+∠GFC′=180°，
∵∠1=51°，∠2=20°，
∴∠3=（180°-51°×2+20°）÷2=49°.
20．【正确答案】45°或15°
【分析】根据角平分线的定义和角的运算，分射线OD在∠AOC外部和射线OD在∠AOC内部求解即可．
【详解】解：∵射线平分，射找平分，
∴∠MOC= ∠AOC，∠NOC= ∠BOC，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=∠AOC+∠BOC=∠AOB=60°，
∵射线平分，
∴∠MOD= ∠MON=30°，
若射线OD在∠AOC外部时，如图1，
则∠COD=∠MOD－∠MOC=30°－∠AOC，
即2∠COD=60°－∠AOC，
∵，
∴，
解得：∠AOC=45°或15°；
若射线OD在∠AOC内部时，如图2，
则∠COD=∠MOC－∠MOD=∠AOC－30°，
∴2∠COD=∠AOC－60°，即∠AOC－2∠COD=60°，不满足，
综上，∠AOC=45°或15°.

21．【正确答案】见详解
【分析】本题考查了尺规作图-作角的和，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．根据作一个角等于已知角的尺规作图解答即可得．
【详解】解：如图，即为所作．
．
22．【正确答案】
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．设，根据角平分线的定义可得，再根据可得的值，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴设，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
23．【正确答案】
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．设，则，，，先根据线段中点的定义可得，，再根据可得的值，由此即可得．
【详解】解：设，
∵，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
24．【正确答案】（1）是
（2）或或
（3）t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点，理由见详解．
【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，准确理解“巧点”的概念，利用分类讨论思想解题是关键．
（1）根据“巧点”的定义即可求解；
（2）分，进行讨论求解即可；
（3）t秒后，，然后分当P为A、Q的巧点，Q为A、P的巧点时列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，当C是线段的中点，则，
∴线段的中点是这条线段的“巧点”．
故是；
（2）解：∵线段，点C是线段AB的“巧点”，
∴①当时，
此时；
②当时，
此时；
③当时，
此时；
综上，AC的长为或或，
故或或．
（3）解：t秒后，，
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；
②当P为A、Q的巧点时，
i）当，即时，
∴，
解得：；
ii）当，即时，
∴，
解得：；
iii）当，即时，
∴(12﹣t)，
解得：；
③当Q为A、P的巧点时，
i）当，即时，
∴，
解得：（舍去）；
ii）当，即时，
∴，
解得：；
iii）当，即时，
∴，
解得：；
综上，t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点．
25．【正确答案】（1）
（2）秒或秒或秒；
（3）或或或或
【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，实际问题与一元一次方程：几何问题(一元一次方程的应用)，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（）根据角的关系，列式，解得，即可作答．
（）根据奇妙线的定义要进行分类讨论：或，然后列式计算，即可作答．
（）根据和运动轨迹可知分两大类情况讨论，即射线越过之前和之后，每种情况又跟第二问一样由三种情况，再根据的范围进行取舍即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
∴
解得；
（2）解：∵当射线与射线重合时停止旋转，，且绕点以每秒的速度逆时针旋转，
∴停止旋转时所需时间：（秒），
∵射线是的奇妙线，
∴当时，则
解得，
则（秒），
∴当时，则
解得，
∴，
则（秒），
当是的角平分线，则，
∴（秒），
综上：的值为秒或秒或秒；
（3）解：由题可知，当射线是的奇妙线时，射线在内部，且为的角平分线或三等分线， 如图，当射线还没有越过时，
此，
当射线为的角平分线时，
，
∴
解得；
当射线为的三等分线时，或
∴或
解得或，
如图，当射线越过，要想在内部，此时射线越过，
此时， ，
令， 解得，
∴此时，
当射线为的角平分线时，
，
∴
解得；
当射线为的三等分线时，或
∴或
解得（舍去）或，
综上：当射线是的奇妙线时，则的值为或或或或．