河北省石家庄市七县联合体2025-2026学年第一学期高一上学期1月质量检测数学试题（含答案）

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全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置．
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题
区域均无效．
3.选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚．
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：A
2. 与 角终边相同的最小正角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把 化成弧度制，再写成 ， 的形式， 确定选项.
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【详解】因为 .
所以与 角终边相同的最小正角是 .
故选：B
3. “ ”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出 的范围，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案.
【详解】由 ，得 ，
故“ ”是“ ”的一个充分不必要条件.
故选：B.
4. 已知函数 若 ，则 的值是（ ）
A. 或 2 B. 或 2 或 7 C. 或 7 D. 2 或 7
【答案】C
【解析】
【分析】对 进行分类讨论，由 ，根据分段函数解析式列方程，由此求得 的值.
【详解】若 ，则 ，解得 或 （舍），
若 ，则 ，解得 .
综上，a 的值是 或 7.
故选：C
5. 若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】应用常数代换结合基本不等式计算求解.
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【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时， 取最小值 9.
故选：B.
6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式、倍角公式，得到 ，再结合条件，由“齐次式”，
即可求解.
【详解】因为
，
又 ，所以 ，
故选：B.
7. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，
假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形 OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形 OCD（作为扇骨留白），
形成扇环形状的扇面 ABCD．当扇子扇形的圆心角为 时，扇面看上去形状较为美观．已知 ，
弧 AB 的长为 ，则此扇面的面积为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通过弧长公式求出大扇形半径 ，再结合 的长度得到小扇形半径 ，最后利用扇形面
积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积.
【详解】设 ，因为圆心角 ，弧 AB 的长为 ，
代入弧长公式 可得 ，解得 .
所以 .
由扇形面积公式 可得，
，
，
所以此扇面的面积 ．
故选：B
8. 已知函数 若对任意的 ，且 ，都有
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】根据 时， 在 不单调递增，然后 时，列出不等式
求解.
【详解】因为函数 对任意的 ，且 ，都有 ，
所以函数 在 上单调递增，
当 时， 在 上递减，不合题意；
当 时， 在 上是常函数，不合题意；
当 时，所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】借助不等式的性质判断即可.
【详解】由 ，则 ，故 ，则 ，
又 ，故 ， ， ，
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则 ，即 ，
故 B、C、D 正确，A 错误.
故选：BCD.
10. 下列各式结果为 1 的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用倍角公式可求 AB，利用两角差的正切公式可求 C，对于 D，化切为弦，结合辅助角公式即可
求解.
详解】对于 A： ，所以 A 错误；
对于 B： ，所以 B 错误；
对于 C： ，所以 C 正确；
对于 D：
，所以 D 正确，
故选：CD．
11. 已知函数 ，若 （ ）是关于 x 的方程
的四个不相等的实数根，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为 0 D. 方程 有 6 个不相等的实数根
【答案】ABD
【解析】
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【分析】根据分段函数作出其图象，利用图象的对称性和翻折特点，利用函数与方程的思想，根据各选项
逐一分析，推理计算即可.
【详解】
如图作出函数 的图象.
对于 A，关于 x 的方程 有四个不相等的实数根 ，
即函数 与 有四个不同的交点，
因为 ，故有 ，即 A 正确；
对于 B，由图知 ，由 可得
，
即 ，整理得 ，故有 ，即 B 正确；
对于 C，由图知 ，因为 ，
由 可得 ，
当且仅当 时等号成立，故 ，即 ，故 C 错误；
对于 D，设 ，则 ，由图知该方程有三个实根为 2 和 ，满足
，
又由图知方程 无实根；方程 有 2 个实根；
方程 有 4 个实根，故方程 有 6 个不相等的实数根，即 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
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12. 命题 ： 的否定是_________.
【答案】
【解析】
【分析】由含全称量词命题否定可得答案.
【详解】命题 ： 的否定是 .
故答案为：
13. 已知幂函数 在 上递减，则不等式 的解集为
________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数定义可构造方程求得 的值，结合单调性可确定 的最终结果；根据奇偶性定义可得
的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果.
【详解】 为幂函数， ，解得： 或 ；
当 时， 在 上单调递增，不合题意；
当 时， 在 上单调递减，符合题意；
综上所述： ；
的定义域为 ， ，
为定义在 上的偶函数，故 ， ，
由 且 ，
解得： 或 ，
的解集为 .
故答案为： .
14. 已知函数 图象的相邻两个对称中心之间的距离是 ，若将
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图象上的每个点向左平移 个单位长度得到函数 的图象，若 为偶函数，且函数
的图象在区间 上至少含有 个零点，则在所有满足条件的区间 中， 的
最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得 ，确定函数 的解析式，再求出 的解析式，令 ，求得
或 ，若 最小，则 和 都是零点，再结合条件及 的图象与性
质，即可求解.
【详解】由 ，得 ，则 ，
所以 ，又 为偶函数，
所以 ，得到 ，即
又 ，所以 ，故 ，
所以 .
令 ，即 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
又 的最小正周期为 ，
所以相邻两个零点之间的距离为 或 ，
若 最小，则 和 都是零点，
此时在区间 分别恰有 个零点，
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所以在区间 上恰有 29 个零点，从而在区间 上至少有 1 个零点，
所以 ，所以 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知关于 的不等式 的解集是 ．
（1）解不等式 ；
（2） 为何值时， 的解集为 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三个二次关系待定系数计算参数，再解一元二次不等式即可；
（2）利用二次函数的图象与性质计算判别式即可.
【小问 1 详解】
由题意知 3 和 2 是方程 的两根，
，解得 ，
不等式
即为 ，解得 ．
所求不等式的解集为 ．
【小问 2 详解】
由上可知 ，即为 ，
即 ，
若此不等式的解集为 ，
则
．
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16. 已知 （ ，且 ）.
（1）求定义域并判断 的奇偶性；
（2）若 在区间 内的最大值为 2，求 .
【答案】（1） ，偶函数
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数解析式，建立不等式组，求得其定义域，根据奇偶性的定义，可得答案；
（2）由对数运算整理函数解析式，根据二次函数与对数函数单调性，结合复合函数的单调性，利用分类讨
论，建立方程，可得答案.
【小问 1 详解】
由函数 ，则 ，解得 ，故函数 的定义域为
.
函数 定义域的关于原点对称，且 ，所以函数 为偶
函数.
【小问 2 详解】
由函数 ，且函数 在 上单调递减，
则当 时，函数 在 上单调递增，故 在 上的最大值为 ，
由题意可得 ，解得 ，符合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，故 在 上的最大值为 ，
由题意可得 ，解得 ，不符合题意.
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综上所述， .
17. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 .
（1）求 的值；
（2）若角 满足 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义可知 ，利用诱导公式结合倍角公式运算求解；
（2）由同角三角关系可得 ，根据 结合两角和差公式运算求解.
【小问 1 详解】
因为 在角的终边上，且 ，可知点 在标准单位圆上，
由三角函数定义可知 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ， ，
则 ，
且 ，
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所以
18. 若函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）若当 时， ，求实数 t 的取值范围．
（3）已知 ，若存在非零常数λ，对任意 ，有 成立，求实数 m 的取
值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据图象可知 ， ，即可得 ，再结合最值可得 ，即可得函数解析式；
（2）利用周期得 ，以 为整体，结合正弦函数图象分析求解即可；
（3）根据题意结合正项函数值域可得 ，分类讨论，结合周期性和诱导公式运算求解.
【小问 1 详解】
设 的最小正周期为 T，且 ，
由题图可得 ，且 ，
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即 ，则 ，可得 ，
又因为 ，即 ，
且 ，则 ，
可得 ，即 ，
所以 ，
【小问 2 详解】
当 时，利用周期等价于 ，则 ，
若 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以实数 t 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
由题意可知： ，
若存在非零常数λ，对任意 ，有 成立，
因为 在 R 上的值域为 ，则 在 R 上的值域为 ，
可知 ，即 ，
当 时，则 ，可知 1 为 的一个周期，
即 1 为 最小正周期的整数倍，
可得 ，则 （ 且 ），
当 时，则 ，
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可得 ，
由诱导公式可得 ，可得
综上所述：当 时， 且 ；
当 时， ．
19. 已知函数 偶函数， 是奇函数，且 ．
（1）求 的值；
（2）设函数 ，证明：曲线 是轴对称图形；
（3）当 ，若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）4 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性得到 ，结合平方差公式，将 转化为
，代入已知式子计算.
（2）将 变形为 的形式，证明 是偶函数（利用 的偶性及构造函数的偶性），结
合函数图象的平移，得出 的图象关于直线 对称.
（3）代入 、 的表达式，换元令 ，将方程转化为关于 的函数，分析 的范围与
函数的单调性，根据零点唯一的条件确定 的取值范围.
【小问 1 详解】
由 ，得 ①
因为函数 是偶函数， 是奇函数，
则 ②
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联立①②，解得 ， ．
．
【小问 2 详解】
，即 ．
设 ，则其定义域为 ．
由 ，
所以 是偶函数．
因为 偶函数，所以 是偶函数，
所以函数 的图象关于 轴对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，
所以曲线 是轴对称图形．
【小问 3 详解】
由（1）知， ， ，
因为函数 有且只有一个零点，
所以方程 在 上有且只有一个实数根．
即方程 在 上有且只有一个实数根．
令 ，则 ，
因为 单调递增，
所以当 时， ，
所以问题转化为方程 有且只有一个实数根，
即 上有且只有一个实数根．
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因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，且 ，
所以 或 ，
所以 或
所以实数 的取值范围是 ．
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