2025-2026学年河北省名校联合体高三上学期1月期末质检考试数学试题（含答案）

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考试说明：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．样本数据3，8，4，6，27，9，1，5的第75百分位数为（ ）
A.7.5B.8C.8.5D.9
3．已知向量与，若，则（ ）
A.4B．-4C.1D．-1
4．已知数列是等比数列，若，则（ ）
A．B．-1C．D.2
5．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，，若方程在区间上恰有四个不同的实数根，则（ ）
A.2B.4C.8D.6
8．如图，几何体中，是正三角形，，平面分别为的中点，直线与平面相交于点．则的值为（ ）
A.2B.3C．D.4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题不正确的有（ ）
A．斜二测画法不会改变边长比例
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大
D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面
10．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．的极大值为0
C．有三个零点
D．曲线在处的切线方程为
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，的内切圆圆心为，过作，垂足为为坐标原点，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．
C．圆心的横坐标为1D．为双曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线的倾斜角为，则___________．
13．已知点，点是抛物线上的一点，点是圆．上的一点，则的最小值为___________．
14．在Rt中，为空间中的一个点，，则三棱锥体积的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为边上一点，且，求．
16．（本小题满分15分）
已知，两点．
（1）求以线段为直径的圆的标准方程；
（2）若动点满足为的中点，求点的轨迹方程.
17．（本小题满分15分）已知椭圆的上焦点为，焦距为2，椭圆的上顶点到的距离与它到直线的距离之比为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点（0，4）且斜率存在的直线与椭圆交于两点，求的值．
18．（本小题满分17分）
如图，斜三棱柱的体积为为上一点，平面为锐角．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
19．（本小题满分17分）
将平面内任意向量绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到向量．已知双曲线，将双曲线绕点逆时针旋转后得到曲线．
（1）求的方程；
（2）点在曲线上，曲线在点处的切线为直线．
（i）若与两坐标轴分别交于两点，求的面积；
（ii）若两点都在曲线上（异于点），且满足，求证：．
NT20名校联合体高三年级1月质检考试数学（一）
参考答案
1．【答案】B
【解析】，所以共轭复数的虚部为，故选B．
2．【答案】C
【解析】数据1，3，4，5，6，8，9，27共8个，则，
因此第75百分位数为，故选C．
3．【答案】D
【解析】，因为，则，解得．故选D．
4．【答案】C
【解析】由等比数列的性质得，解得．故选C．
5．【答案】C
【解析】因为椭圆的离心率为，
所以，即，所以该椭圆的焦距为．
故选C．
6．【答案】A
【解析】，且，解得或．
由可得；而还可能得，
由此可知：“”是“”的充分不必要条件，故选A．
7．【答案】D
【解析】取，得，即为奇函数；
取，得，所以，
所以，所以的周期为．
又为奇函数，所以的图象的一个对称中心为，
故图象的对称轴为直线，结合上面结论可得直线也是图象的对称轴，
又方程在区间上恰有四个不同的实数根，则．
8．【答案】D
【解析】因为分别为的中点，
所以，延长至点，使得，连接，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以．
连接，交于点，过点作的垂线，垂足为，
则，又为的中点，
所以为的中点，所以，
又．
由易知，，即，解得，
所以．
故选D．
9．【答案】ABC
【解析】选项A，斜二测画法可能会改变边长比例，A选项错误；
选项B，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，故选项B错误；
选项C，过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积是否最大，取决于轴截面三角形的顶角是否不大于90°，故C错误；
选项D，用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确；故选ABC．
10．【答案】AB
【解析】函数，
由得或，所以的单调增区间为．A选项正确；
当时，有极大值B选项正确；
当时，有极小值，又，
所以的图象与轴有两个交点，C选项错误；
，所以切线方程为，
即D选项错误．
故选AB.
11．【答案】ABD
【解析】对于A选项：由题知，
所以双曲线的离心率为．A选项正确；
对于B选项：如图1所示，
设圆与的三边分别相切于点，
延长交于点，连接，
则，
，
因此B选项正确；
对于C选项：如图1所示，
．
解得，故圆心的横坐标为2，
故C选项错误；
D选项，如图2，设双曲线在点处的切线为，作，
由光学性质可以知道，
又，
所以，所以为的平分线，
故三点共线．故D选项正确．故选ABD．
12．【答案】
【解析】由题意可得直线的斜率为，所以，解得．
13．【答案】6
【解析】由题意知是抛物线的焦点，
过点作准线的垂线，垂足为，记点到抛物线的准线的距离为，
所以，
当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，等号成立，
所以的最小值为6．
14．【答案】
【解析】因为，所以在过点且与垂直的平面内，
设平面，过作的垂线，垂足为，则，且，
因为，所以点在以为底面圆心的圆周上，
如图平面平面，且平面平面，
由图可知到底面的最大距离为，
所以三棱锥体积的最大值为
15．【解析】
（1）因为，
所以由正弦定理得，
，
（2）因为，所以，
因为，
所以
即，
解得.
16．【解析】
（1）因为为直径，则的中点为，
所以圆心为，
半径，
所以圆的标准方程为
（2）设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，
所以，
（1）知，点的轨迹方程为，
将代入得，
即.
所以动点的轨迹方程为．（除两点）.
17．【解析】
（1）因为焦距为2，所以，即，
又椭圆上顶点到点的距离与到直线的距离之比为，
上顶点，则，
解得，即，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题知，设直线，
联立，得，
则，解得或，
由韦达定理可得，
所以
所以为定值0．
18．【解析】
（1）证明：连接交于点，
在斜三棱柱中，四边形为平行四边形，
为的中点，连接，
平面，
平面，平面平面，
，又在中，为的中点，
为中点，又，
，又，且平面，
平面.
（2），所以斜三棱柱的高为1．
又平面平面
平面平面.
过作于，则平面，即为斜三棱柱的高，
，
.
以为原点，所在直线分别为轴，轴，
在平面内过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
则，
设平面的法向量为，则
所以，
取平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的正弦值为.
19．【解析】
（1）取曲线上任一点，则点由双曲线上一点绕坐标原点逆时针旋转得到，
则
，即
（2）（i）设
过的切线的方程为
即，令，得；
令，得；
可设与轴的交点，与轴的交点，
.
（ii）由的方程得，设，
过的切线的斜率
，
同理，
由已知
．
，所以.