2025-2026学年北京市顺义区第十一中学 九年级上册期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市顺义区第十一中学 九年级上册期中数学试卷 [附答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如果，那么 的值是( )
A．B．C．D．
2．如图，中，，分别交边、于、两点，若，，则的值为（ ）
A．6B．4C．10D．3
3．实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．aB．bC．cD．d
4．下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．它的图象经过点
B．它的图象的对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小
D．当时，有最大值为0
5．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为( )
A．B．1C．9D．6
6．将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+1B．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣3
7．二次函数的图象如图所示，则其解析式是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题
9．分解因式: .
10．两个相似三角形的周长比是，则面积比为 ，对应高的比为 ．
11．已知函数是反比例函数，则的值为 ．
12．抛物线的顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而减小．
13．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为 ．
14．已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过（1，1）点；②当时，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的函数： ．
15．二次函数的图象如图所示，则 ，
16．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

三、解答题
17．计算：
18．解不等式组：．
19．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
20．已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．
21．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，且点坐标为，与轴交于点
（1）求出这个二次函数解析式；
（2）求出这个二次函数图象的对称轴和点坐标．
22．如图，BO 是△ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD．
（1）求证：△AOB∽△COD．
（2）若 AB＝2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长．
23．已知二次函数
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并画出它的示意图；
（3）当x取何值时，y随x增大而减小？当x取何值时，y最小还是最大？是多少？
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与双曲线y=(k≠0)相交于A，B两点，且点A的横坐标是3．
（1）求k的值；
（2）过点P(0，n)作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M，与双曲线y= (k≠0)交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．
25．已知抛物线．
（1）求证：该抛物线与x轴有两个交点；
（2）求出它的交点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）当两交点之间的距离是4时，求出抛物线的表达式．
26．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．
（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？
（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？
27．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．
应用：
（1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
（2）如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值．
28．已知：抛物线经过坐标原点，且当时，随的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式．
（2）结合图象写出时，对应的的取值范围．
（3）设点是该抛物线上位于轴下方的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，再作轴于点，轴于点，当时，直接写出矩形的周长．
答案
1．【正确答案】D
【分析】先将原式化为，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
故选D．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，列出比例式是本题的关键．根据，得出，再根据的长求出即可得的长．
【详解】解：，
∴
，
∴
，
故选A．
3．【正确答案】C
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．
【详解】解：由图可知：c到原点O的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是c；
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】由二次函数的解析式为，把代入即可判断是否在抛物线上，对称轴x=-=0，图象开口向上，即可判断CD两个选项.
【详解】A. 它的图象经过点，A错误；
B. 它的图象的对称轴是直线，B错误；
C. 当时，随的增大而减小，正确；
D. 当时，有最小值为0,D错误.
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质．由点在反比例函数图象上，可得，代入代数式计算即可．
【详解】点在反比例函数的图象上，
，
．
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】y＝x2﹣4x+1
＝（x2﹣4x+4）+1﹣4
＝（x﹣2）2﹣3．
所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．
故选C．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查了求二次函数解析式．设交点式，然后把代入求出a即可．
【详解】由图象可得抛物线过、、三点，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，
故选A．
8．【正确答案】A
【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
，整理得：，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
9．【正确答案】
【详解】先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解．
解答：解：a2b-2ab+b，
=b（a2-2a+1），…（提取公因式）
=b（a-1）2．…（完全平方公式）
10．【正确答案】；
【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比．
【详解】解：已知两个相似三角形的周长比为，因此相似比为．
面积比等于相似比的平方，即．
对应高的比等于相似比，即．
11．【正确答案】1
【分析】根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得，n2﹣2＝﹣1且n+1≠0，
整理得，n2＝1且n+1≠0，
解得n＝1．
12．【正确答案】；
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
由二次函数的顶点式可直接得出顶点坐标，根据二次项系数的正负判断开口方向，从而确定增减性，据此即可求得x的取值范围．
【详解】解：∵二次函数是顶点式，
∴该二次函数的抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为，
∴当时，y随x的增大而减小．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据抛物线平移规则，左移加右移减对于，上移加下移减对于．
【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为
14．【正确答案】y=-x+2（答案不唯一）
【详解】①图象经过（1，1）点；②当x＞1时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为 y=-x+2，
故答案为y=-x+2（答案不唯一）．
15．【正确答案】；
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；抛物线由抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴为直线得
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
.
16．【正确答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
.
17．【正确答案】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用绝对值及二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可．
【详解】解：原式
18．【正确答案】
【详解】试题分析：先分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可.
试题解析：，
解不等式①得 ，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
19．【正确答案】（1）见详解；（2）CD＝2．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝2．
20．【正确答案】7
【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．
【详解】解：
=
=
∵
∴
∴原式=7．
21．【正确答案】（1）
（2）对称轴，点的坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，以及抛物线的对称轴和交点坐标的求法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据对称轴即可求得对称轴，由于、关于对称轴对称，根据的坐标即可求得的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和轴交于点，
，
，，
二次函数解析式为：；
（2）解：二次函数的图象的对称轴是：，
，两点关于直线对称，
点的坐标为
22．【正确答案】（1）见详解；（2）2．
【详解】试题分析：由BD是∠ABC的角平分线得，再由BC=CD得，所以，又，从而∽；
（2）根据∽可求出结果.
试题解析：（1）证明： BO是的角平分线

BC=CD


又
∽
（2） ∽

又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD
OC=2
23．【正确答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线
（2）函数图象与x轴的交点坐标为或，函数图象与y轴的交点坐标为，画见详解.
（3）当时，y随x的增大而减小；当时，y有最小值，最小值为
【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）根据配方法把解析式化为顶点式即可求解；
（2）令和，解方程求解即可求出抛物线与坐标轴的交点，然后列表，描点，连线即可；
（3）根据函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：，
该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）将代入函数，则，
函数图象与y轴的交点坐标为；
令，
解得，，
函数图象与x轴的交点坐标为或；
列表如下：
描点，连线作出图形的图象，如图：
（3）由图象可知，当时，y随x的增大而减小．当时，y有最小值，最小值为
24．【正确答案】（1） k=3；（2） n＞1或﹣3＜n＜0．
【分析】（1）把点A的横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出点A的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）根据题意画出直线，根据图象确定出点M在N右边时n的取值范围即可．
【详解】解：（1）令x=3，代入y=x﹣2，则y=1，
∴A(3，1)，
∵点A(3，1)在双曲线y=(k≠0)上，
∴k=3；
（2）联立得：，
解得或，即B(﹣1，﹣3)，
如图所示：
当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣3＜n＜0．
25．【正确答案】（1）见详解
（2）（1， 0）和（ ， 0）
（3） 或
【分析】（1）求出b2-4ac的值，根据根与系数的关系求出即可；
（2）求出方程的解即可；
（3）根据距离公式求出m的值，即可求出抛物线的解析式．
【详解】（1）证明：根据题意得，
∵Δ=b2-4ac=(-2m)2-4•(m-1)•(m+1)=4＞0，
∴该抛物线与x轴有两个交点．
（2）解：令y=0 ，则，
∴[(m-1)x-(m+1)](x-1)=0，
∴x1=1，x2=，
∴交点坐标为：(1，0)和(，0)；
（3）解：由题意得，
|-1|=4，
解得m=或m=，
经检验m=或m=符合题意，
∴ 或．
26．【正确答案】（1）800元
（2）当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元
【分析】本题考查了二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
（1）根据总获利单件利润数量得出答案；
（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，根据根据总获利单件利润数量得出函数解析式，然后利用配方法得出最大值．
【详解】（1）获利：（元）
（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元
由题意，得
当时，y的最大值为845
故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元
27．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可；
（2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据图象过原点，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据函数与不等式的关系：图象位于x轴下方部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得A、D点关于对称轴对称，根据轴于点B，轴于点C，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，
∴，
∴，
∵当时，随的增大而减小，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：令，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点为，，
根据图象可得：当时，；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，
根据题意可得：点B、C关于直线对称，
∵，
∴，，
将代入得：．
∴，，
∴矩形的周长为．