北京市十一学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(无答案)

这是一份北京市十一学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(无答案)，共7页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A.1，2，0B.1，2，1C.1，2，－1D.1，－2，1
2．下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
3．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A.B.C.D.
4．在平面直角坐标系xOy中，点和点关于原点对称，则的值为（ ）
A.－3B.－1C.1D.3
5．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A.B.C.D.
6．如图，抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则与x轴的另一交点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
7．如图，AD是的切线，点C是上的一点，连接CD，AC，AC交于点B，若，则∠A的度数是（ ）
A.40°B.45°C.50°D.55°
8．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点，则抛物线的图象不经过（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．抛物线的顶点的坐标为______．
10．已知a是方程的一个根，则代数式的值为______．
11．一个二次函数满足：自变量时，恒有函数值y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的二次函数解析式______．
12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶。如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，2.5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为4m，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m．
13．某工2022年生产1吨某产品的成本是700元，由于原料价格上涨，两年后，2024年生产1吨该产品的成本是850元，求该种产品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x，则所列的方程应为______．
14．如图，中，，将绕点A逆时针旋转度（）后得到，点E恰好落在BC上，，则______°．
14题图
15．如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交于点D，交AB于点C，如果知道AB，CD的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知，，则圆的半径为______cm，阴影部分的面积为______．
15题图
16．如图，与中，，，，连接BD，点F、H、G分别为DE、BD、AB的中点，则∠FHG的度数为______°；若，，在绕点C任意旋转的过程中，则面积的最大值是______．
16题图
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．解方程：．
18．如图，四边形ABCD的顶点都在上，边BC为直径，延长BA、CD交于E且，求证：．
19．已知：如图，在中，．
求作：的外接圆及的内心．
下面是小强作的外接圆作法：
①如图，作BC的垂直平分线；
②作AC的垂直平分线，与交于点O；
③以O为圆心，OA长度为半径作圆．
则是的外接圆．
（1）请你用尺规作图，在图中补全图形．
（2）小明在小强所作图的基础上，找到了的内心．
下面是小明的作法：
直线与交于点D，连接DB，交AO于点I，
则点I是的内心．
请你补全下面证明及依据．
∵，经过点O，
∴（ ① ）（填推理的依据），
∴ ② （ ③ ）（填推理的依据），
∵，，
∴，
∵DB与AO交于点I，
∴点I是的内心．
20．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当时，y的取值范围为______．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，、、，将绕原点O顺时针旋转90°得到（点，，分别是点A，B，C的对应点）．
（1）在图中画出；
（2）旋转到的过程中，点C经过的路径长为______；
（3）先将点B关于原点对称得到，再将点向右平移一个单位，向上平移h个单位得到，使落在内部（不含边界），直接写出h的取值范围为______．
22．已知关于x的方程．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求k的值．
23．一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会。某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖．为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研.经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件．
设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（2）该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润?最大利润是多少元?
24．如图，在中，，D为边AC上的点，以AD为直径作，连接BD并延长交于点E，连接CE，．
（1）求证：CE是的切线；
（2）连接AE．若，，求AE的长．
25．“十一”当天，某景区工作人员统计了上午7：30至下午16：30期间，累计进入景区的游客人数与累计离开景区的游客人数，据统计，上午8：30时该景区已累计进入游客1380人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．从上午7：30开始计时，经过的时间记为统计时间，则累计进入景区游客人数y（单位：人）与累计离开景区游客人数z（单位：人）随统计时间x（单位：h）
变化的部分数据如下表所示：
探究发现，y与x，z与x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．
（1）根据表中数据，通过描点、连线的方式，补全y与x的函数图象；
（2）根据表中数据，通过描点、连线的方式，画出z与x的函数图象，并直接写出z关于x的函数关系式为______（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）结合表格、图象推断，统计时间x大约为______时，景区内游客人数最多（保留一位小数）；
（4）当景区内游客人数达到3400人时，将触发人流高峰黄色预警，则统计时间x大约为______时，将首次触发人流高峰黄色预警（保留一位小数）．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围．
27．已知在中，，，作点B关于射线CA的对称点D，连接CD，点M是线段CD上的动点，连接AM，将线段AM绕点M逆时针旋转的角度为，得到线段MN，连接BN交射线CA于点E．
（1）当，且点M与点C重合时，如图1，请补全图形，并求证：点E为BN的中点；
（2）当，且点M不与点C、D重合时，连接AD，如图2，（1）中的结论是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
28．某郊区公园设计了赏花步道和书画展览，吸引了大量市民和游客争相“打卡”留念。已知赏花步道与公园主干道之间是一片开阔的休闲广场，计划在赏花步道与公园主干道之间设计一条美食街（美食街宽度忽略不计），使得美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等．为了便于设计，在地图上建立如图平面直角坐标系，赏花步道所在直线为，公园主干道所在直线为，展览馆坐标为，设美食街摊位．
（1）若摊位在格点处，写出符合条件的两个摊位坐标______；
（2）求y与x之间的关系式，并在图中画出美食街；
（3）对于休闲广场上的某一点M，记点M到美食街上某点N的距离，与点N到展览馆的距离之和的最小值为l．若，则称点M为便利点．
为了满足市民游客的露营需求，公园打算设置一片长方形的露营地，记为矩形ABCD，其中，点，，，．当露营地上的任意一点都是便利点时，直接写出a的取值范围为______．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
－1
0
3
8
…
统计时间x/h
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
累计进入景区游客人数y/人
240
1380
2400
3300
4080
4740
5280
5700
6000
6180
累计离开景区游客人数z/人
\
0
300
600
900
1200
1500
1800
2100
2400