湖北省孝感市汉川市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省孝感市汉川市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共26页。
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效．
3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 4，5，9C. 5，8，15D. 6，8，9
3. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸．我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
4. 将分解因式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（ ）
A. 画出三角形三条角平分线的交点B. 画出三角形三条高线的交点
C. 画出三角形三条垂直平分线的交点D. 画出三角形三条中线的交点
6. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（ ）
A 8B. 7C. 6D. 5
8. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
9. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（ ）
A. B. 垂直平分
C. 是等边三角形D.
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 等腰三角形中一边长是，另一边长是，则它的周长为_______．
12. 如图，，若，，则的长为___________．

13. 若分式有意义，则的值可以是_______．（取一个符合条件即可）
14. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______．
15. 如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．

三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 分解因式：
（1）
（2）．
17. 解方程：．
18. 某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得的长为．
根据测量数据求河的宽度．
19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线上各点的纵坐标都为．
（1）在网格中画出与关于直线对称的，并写出点的坐标；
（2）点为轴上一点，若，则点的坐标为____．
20. 先化简，其中．
21. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）判断△OBC的形状，并说明理由．
22. 实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
【模拟练习】（1）如图，通过不同的方法计算图形的面积，直接写出一个数学等式；
【解决问题】（2）如果，求的值；
【类比探究】（3）如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
23. 【问题呈现】
已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）．
（1）连接，以为边向右侧作等边，连接．
①如图1，当点在边上时，求证：；
【类比探究】
②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：．
【拓展应用】
（2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值．
24. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线．
（3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接．
2025-2026学年度上学期期末质量监测八年级数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、学校、姓名、考号填写在试卷上指定的位置，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效．
3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 4，5，9C. 5，8，15D. 6，8，9
【答案】D
【解析】
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．
【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、，不能组成三角形，不符合题意．
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和最大的数就可以．
3. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸．我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将0.00000000052用科学记数法表示是，
故选：C．
4. 将分解因式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键．
利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：．
故选A．
5. 如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（ ）
A. 画出三角形三条角平分线的交点B. 画出三角形三条高线的交点
C. 画出三角形三条垂直平分线的交点D. 画出三角形三条中线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形重心的定义；对于质地均匀的三角形薄板，其重心与几何重心一致，而三角形的几何重心是三条中线的交点．
【详解】解：∵ 三角形的重心是三条中线的交点，且均匀薄板的重心即为几何重心，
∴ 应画出三角形三条中线的交点．
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可．
【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据求解即可得．
【详解】解：是平分线，且，
，
，
，
，即，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
8. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是掌握以上知识．
作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可．
【详解】解：由作图可得，
，
∴，
∴在嘉嘉作法中，可直接判定的依据是，
故选：B．
9. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式除法，熟练掌握分式除法的计算方法是解题的关键．根据分式的除法计算即可．
【详解】解：
故选：A．
10. 如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（ ）
A. B. 垂直平分
C. 是等边三角形D.
【答案】D
【解析】
【分析】由折叠的性质可得，则可得到，求出，，则可证明是等边三角形，再证明，得到，则可证明垂直平分，可证明，则可证明，据此可得答案．
【详解】解：∵将折叠，使点落在点处，为折痕，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∴，
∵在中，，
∴，，
∴是等边三角形，，故C结论正确，不符合题意；
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，故B结论正确，不符合题意；
在中，，
∴，
∴，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟知折叠的性质是解题的关键．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 等腰三角形中一边长是，另一边长是，则它的周长为_______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形，正确分两种情况讨论是解题关键．
分两种情况：①腰长为和②腰长为，利用三角形的三边关系和等腰三角形的定义求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当腰长为时，
此时，不满足三角形的三边关系，舍去；
②当腰长为时，
此时，满足三角形的三边关系，
则这个等腰三角形的周长为，
故答案为：20．
12. 如图，，若，，则的长为___________．

【答案】3
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质，，即可列式作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；正确掌握相关性质内容是解题的关键．
13. 若分式有意义，则的值可以是_______．（取一个符合条件即可）
【答案】
2（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
根据分式有意义的条件是分母不为零列式求解即可．
【详解】解：要使分式 有意义，则分母，即，
因此可以取（答案不唯一），
故答案为：2（答案不唯一）．
14. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知这列数满足，据此规律求解即可．
【详解】解：，
，
，
……，
以此类推可知，，
∴，
，
，
，
故答案为：36．
15. 如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．

【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由等边三角形性质可得，根据线段的和差关系求出的长即可得到答案；
（2）在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到；证明，得到，则可得到当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此可得答案．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，在上截取，连接，

∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，
∴的最小值为5．
故答案为：5．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 分解因式：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
（1）用平方差公式分解即可，
（2）先提公因式，再用完全平方公式分解．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解：
．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，通过找最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，并检验根是否满足分母不为零．
【详解】解：方程两边同乘 ，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
检验：当 时， 且 ，
所以 是原方程的解．
18. 某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得的长为．
根据测量数据求河的宽度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得．
【详解】解：由题意知，，
在和中，
，
∴，
，
∵，
∴，
答：河宽为．
19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线上各点的纵坐标都为．
（1）在网格中画出与关于直线对称的，并写出点的坐标；
（2）点为轴上一点，若，则点的坐标为____．
【答案】（1）见解析，
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据轴对称的特点找到点的位置，描出点，并顺次连接点，再写出对应点的坐标即可；
（2）先求出的面积，进而得到的面积，根据三角形的面积公式求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；
【小问2详解】
解：由题意得，，
∴，
∵点为轴上一点，
∴，
∵
∴，
∴点P的坐标为或．
20. 先化简，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
21. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）判断△OBC的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC，可证OB＝OC，可得结论．
【详解】（1）∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
22. 实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
【模拟练习】（1）如图，通过不同的方法计算图形的面积，直接写出一个数学等式；
【解决问题】（2）如果，求的值；
【类比探究】（3）如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）8
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）图中最大的正方形的面积等于其边长的平方，图中最大的正方形的面积等于两个边长分别为a和b的正方形的面积加上两个长和宽分别为a和b的长方形的面积，据此用两种方法分别表示出图中最大的正方形的面积即可得到答案；
（2）由（1）的结论可得，据此代值计算即可；
（3）设，，则，，由（1）可得，据此求出得值即可得到答案．
【详解】解：（1）图中最大的正方形的边长为，其面积为，
图中最大的正方形的面积等于两个边长分别为a和b的正方形的面积加上两个长和宽分别为a和b的长方形的面积，则其面积为，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
∵，
∴；
（3）设，，则，
∵，
∴，
由（1）可得
，
∴，
∴这个长方形的面积为8．
23. 问题呈现】
已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）．
（1）连接，以为边向右侧作等边，连接．
①如图1，当点在边上时，求证：；
【类比探究】
②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：．
【拓展应用】
（2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）8．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可；
（2）证明，得出，结合，则；
（3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值．
【详解】（1）①证明：和是等边三角形，
，，．
，
，即．
在和中，
，
．
②证明：和是等边三角形，
，，．
，
，即．
在和中，
，
．
，
，
．
（2）解：在射线上截取，连接，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，
是等边三角形，
，
∴，，
即点E在角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值，
∵，，
∴，
∴
的最小值为8．
24. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【答案】（1）每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元；
（2）商场最多购进乙商品25个；
（3）共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【解析】
【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式；
（3）根据“使销售两种商品的总利润（利润=售价-进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【小问1详解】
解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，
根据题意，得，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10-2=8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
【小问2详解】
设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个．
由题意得：3y-5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
【小问3详解】
由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380，
解得：y＞．
∵y为整数，y≤25，
∴y=24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线．
（3）以点圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接．