重庆市杨家坪中学2025~2026学年九年级上册第三次月考数学试题【附解析】

这是一份重庆市杨家坪中学2025~2026学年九年级上册第三次月考数学试题【附解析】，共31页。试卷主要包含了单选题，四象限B．图象经过点，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．随着时代的发展，近年20年我国城市轨道交通建设迅猛，为人们出行通勤带来了极大的便利．地铁标志图不仅能帮助人们识别该城市地铁站的位置，它也是该城市的文化名片之一，下列地铁标志图是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中十环
B．任意画一个五边形，其外角和为
C．打开电视频道，正在播放《足球世界杯》
D．方程必有实数根
4．已知反比例函数，下列说法不正确的是 （ ）
A．图象位于第二、四象限B．图象经过点
C．图象不可能与坐标轴相交D．随的增大而减小
5．四边形内接于，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在正方形中，点E为正方形内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点F落在的延长线上，的延长线交于点M，连接交于点N，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．对于两个代数式，记，以下说法正确的个数是（ ）
①若，则；
②若关于的方程的解为和，则的值为6；
③若关于的方程有两个不相等的实数根，则．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
12．已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是 ．
13．抛物线与轴有 个交点；
14．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点．若的面积为2，则的值为 ．
15．如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点．
（1） （填“、或”）：
（2）若，，则 ．
16．对于一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字的差的两倍等于百位上的数字与个位上的数字的和，则称这个四位数为“双差喜数”．将“双差喜数”M的前两位数组成的数记为s，后两位数组成的数记为t，并规定（d表示个位上的数字），则＝ ；若一个四位数（均为整数）是“双差喜数”，且被7除余4，则满足条件的M的最大值为 ．
三、解答题
17．用适当的方法解方程∶
（1）；
（2）．
18．学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下：
已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线．
作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，以为半径作，与交于两点和；
③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线．
（1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）；
（2）求证：，是的切线，且．
证明：连接，，如图，
为的直径，
___________ ，
，，
又点，在上，
，是的半径，且，
，是的切线．（经过半径的外端并且 ___________ 于这条半径的直线是圆的切线）．
在和中，
，
（ ）（填推理的依据），
．
19．某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图．
请结合图中信息解答下列问题．
（1）本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图；
（2）若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动；
（3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率．
20．先化简再求值：，其中．
21．【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（）建立函数模型
设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第______象限内的公共点坐标．
（）画出函数图象
①请在图中通过描点连线画出函数的草图；
②在同一平面直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移_______个单位长度得到．
（）研究函数图象
平移直线，观察两函数的图象；
①当直线平移到函数的图象有唯一公共点时，则的值为_______；
②当直线平移的过程中与函数的图象交于点和点时，请直接写出满足的的取值范围________．
【结论运用】
（）请写出面积为10的矩形的周长的取值范围为_______．
22．滑雪运动是一种有氧运动， 能锻炼人的意志，增强人体的平衡能力，锻炼协调能力，增强心肺功能，振奋低落的情绪，大众参与度也逐年增高．丰都南天湖滑雪场推出了一种滑雪套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买4张套票的费用比现场购买2张套票的费用多80元，从网上购买点2张套票的费用和现场购买3张套票的费用共520元．
（1）求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元；
（2）2023年元旦当天，该滑雪场按各自的价格在网上和现场售出的总票数为300张，元旦刚过，玩滑雪的人数下降，于是该滑雪场决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调，结果发现现场购票每降价2元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加6张，经统计，1月3日的总票数中有通过现场售出，其余均由网上平台售出，且当天该滑雪场的总销售额为29700元．请问该滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元?
23．【阅读理解】
中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
（1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接．
①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______；
②若，则的取值范围是______；
【方法运用】
运用上面的方法解决下面的问题：
（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分；
【问题拓展】
（3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长．
24．在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）当时，函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）当时，若函数（m为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求m的值；
（3）已知，三个顶点的坐标分别为，，．当函数（m为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为（与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，求m的值．
25．在正方形中：
（1）如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？请证明你的结论；
（2）如图2，如果点是边的中点，是上的点，过点作，分别交、于点、，若，，求线段的长；
（3）如图3，在等边三角形中，点、分别在、上，且，若与交于点，且．
①求的度数．
②判断线段与的数量关系，并说明理由．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．是中心对称图形，故C符合题意；
D．不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为：．
【详解】、是一元一次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
、等号左边是分式，不是整式，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
、中有个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
、是一元二次方程，此选项符合题意；
故选．
3．【正确答案】D
【分析】根据必然事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件．
【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个五边形，其外角和为（应为）是不可能事件，不符合题意；
C、打开电视频道，正在播放《足球世界杯》是随机事件，不符合题意；
D、方程中，，即方程必有实数根，是必然事件，符合题意；
故选D．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，直接利用反比例函数的性质，，即可得出函数图象位于第二、四象限，图象不可能与坐标轴相交，在每个象限内，随的增大而增大，即可判断A、C、D，再根据反比例函数上点的特征，即可判断B，由此得到答案，熟练掌握反比例函数的相关性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，
函数图象位于第二、四象限，故A正确，不符合题意，
当时，，
图象经过点，故B正确，不符合题意；
图象不可能与坐标轴相交，故C正确，不符合题意；
在每个象限内，随的增大而增大，故D错误，符合题意；
故选D．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，根据已知条件，即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】由二次函数开口向下，对称轴为直线，点B在顶点处取得最大值，比较点A和点C到对称轴的距离，距离越大函数值越小．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴点为顶点，且开口向下，故最大．
∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∴点C离对称轴更远，故最小．
因此．
故选C．
7．【正确答案】A
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：，
第二轮传染后患流感的人数是：，
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，
．即
故选A．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图象，能根据图象确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图象所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，再利用代入解析式，得到即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当时，
因此一次函数的图象经过一、二、四三个象限，反比例函数的图象位于二、四象限；
故选C．
9．【正确答案】A
【分析】连接，过点F作，交的延长线于点H，先证明，得到，进而推出，利用，得到，设，进而得到，求出，证明，求出，再证明，得到，即可．
【详解】解：连接，过点F作，交的延长线于点H，
∵正方形，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，，
∴，
设，
则，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
10．【正确答案】B
【分析】本题主要考查根与系数的关系、非负数的性质、一元二次方程的解、根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
将代入代数式，利用数形结合、根的判别式等知识来判断其正确性．
【详解】解：①已知，将其代入，
可得：，即，
整理得，
两边同时除以3得到．解得：或，故说法①错误；
②方程即，
∵若、是方程的解，
∴，．
∴，即②正确；
③方程可化为，即,
当时，或，
∴函数与x轴的交点坐标为，
根据题意画出函数图象如下：
当直线过点A时，两函数图象有1个交点，则，解得：；
当直线过点B时，两函数图象有3个交点，则，解得：；
当直线与函数只有一个交点C，函数与有3个交点，
由题意可得：，即，
所以，解得：，
综上，当或时，关于的方程有两个不相等的实数根，即③错误．
综上，正确的只有1个，故选B．
11．【正确答案】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
由题意及概率公式用红球的个数除以总球数进行求解．
【详解】有2个红球和5个白球，
从袋中摸出一个球是红球的概率为.
12．【正确答案】方程有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
通过计算判别式判断根的情况即可．
【详解】解：判别式 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
13．【正确答案】2/两
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与轴有两个不同的交点.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质以及三角形面积的计算，设的坐标表示相关长度，利用三角形面积公式建立方程，结合反比例函数关系式求出即可．
【详解】解：轴，
，
设的坐标为，
的面积为，
，
，
点在第二象限，
，，
，
，
点是反比例函数图象上的一点，
．
15．【正确答案】；1
【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解．
【详解】解：（1）延长交于点，连接，如图：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的长为.
16．【正确答案】48；9941
【分析】本题考查新定义运算．根据题意中“双差喜数”的定义，求出，再求出整数解即可．
【详解】解：由题意知：，
∴，
则，
∵一个四位数（均为整数）是“双差喜数”，
∴千位数为，百位数，十位数2，个位数，
∴，
，
，即：，
∵被7除余4，
∴被7除余4，
∴或，
∵求M的最大值，
∴，
∴，
∴M的最大值为.
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，
解得；
（2）解：，
，
，
，即，
∴或，
解得．
18．【正确答案】（1）见详解
（2），垂直，，
【分析】本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的基本作法和全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题中步骤作图；
（2）根据切线的判定定理和全等三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）证明：连接，，如图，
为的直径，
，
，，
又点，在上，
，是的半径，且，
，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
在和中，
，
（填推理的依据），
．
19．【正确答案】（1）100，10，补全条形统计见详解
（2）150
（3）
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，读懂统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）先由演讲与口才人数除以占比求出调查的人数，再由调查的人数减去其余的人数即可求解喜爱舞蹈的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）用样本估计总体的方法即可求解；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：调查的学生数：（人），
喜爱舞蹈的人数：（人），
补全条形统计图如图：
（2）解：（人），
∴估计有150人喜欢乒乓球运动.
（3）解：画树状图为：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中同时选中甲乙两人的结果数有2种，
∴同时选中甲乙两人的概率是．
20．【正确答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值、解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则将式子化简，再解一元二次方程，选择合适的值，代入化简后的式子进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则以及解一元二次方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：
，
，
，
解得：，，
当时，，故不符合题意，
当时，原式．
21．【正确答案】()一
()①见详解②
()①②或
()
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键．
()根据，满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标；
()①画函数的图象(第一象限的分支)即可；②先明确函数的图象，再指出的图象是由的图象向上平移个单位长度得到，根据图象平移规则：上加下减求解即可解答；
()①联立方程组，得到一元二次方 程，利用两函数有唯一交点的条件，通过判别式求出；②再根据两函数有个交点时的结论，代入点求出，联立此时的函数方程组，求解得到的解，又因为满足，即可解答；
()仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可．
【详解】（）解：∵都是边长，周长为，
∴，
∴满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标.
（）①的图象如图所示：
②的图象如图所示，
∵与轴的交点为，
∴的图象可以看成是由的图象向上平移个单位长度得到，
故；
（）①联立方程组可得：，
整理得：，
∵两图象有唯一交点，
∴，
∴，
故；
②由①知：个交点时，；
代入，得
，
解得
则，联立方程组得
，
整理，得，
解得：，
∵满足，即直线的图象在图象下方及交点处，
∴的取值范围是或；
()设相邻的两边长为，则，，即，
联立方程组可得，
整理得：，
∵两函数有交点，
∴，
∴，
故．
22．【正确答案】（1）网上购买套票的价格为80元，现场购买套票的价格为120元
（2）10元
【分析】（1）设网上购买套票的价格为元，现场购买套票的价格为元，根据从网上平台购买4张套票的费用比现场购买2张套票的费用多80元，从网上购买点2张套票的费用和现场购买3张套票的费用共520元列出方程组，解之即可；
（2）设该滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了m元，根据当天该滑雪场的总销售额为29700元，列出方程，解之即可．
【详解】（1）解：设网上购买套票的价格为元，现场购买套票的价格为元，
由题意得：，
解得：，
答：网上购买套票的价格为80元，现场购买套票的价格为120元；
（2）设该滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了m元，会多卖出张套票，
依题意得：，
解得：或（不合题意舍去），
∴该滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了10元．
23．【正确答案】（1）①；②；（2）见详解；（3）10
【分析】（1）①根据证明，即可；②由①得：，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解；
（2）延长至点F，使，连接．由（1）得：，从而得到，再由，可得，从而得到，可证明，即可求证；
（3）延长至，使得，连接，证明，得到，，进而得到，推出，，证明等边三角形，推出，证明，得到，，进而推出为等边三角形，得到，即可得出结论．
【详解】解：①∵是的中线，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
②由①得：，
∴，
在中，，
∴，即，
∴.
（2）如图，延长至点F，使，连接．
同法（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（3）延长至，使得，连接，
∵是的中点
∴
∵，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴为等边三角形，
∴．
24．【正确答案】（1）
（2）或
（3）或
【分析】（1）先把函数解析式转化为顶点式，可得出当时函数值y随x的增大而增大，然后结合题干条件，即可得出m的不等式；
（2）分，讨论， 依次建立含m的方程分别进行求解即可；
（3）根据题意分当点在边上时以及当点在边上时两种情况，进而求得并利用，建立含m的方程分别进行求解即可．
【详解】（1）解：，
∴对称轴为，开口向上，
∴当时函数值y随x的增大而增大
又∵时，函数值y随x的增大而增大，
∴；
（2）解：，
①当时，对称轴在轴左侧，
∵
∴当时，y有最小值为，
又∵函数（m为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，
∴
解得或（舍去）；
②当时，对称轴在轴右侧，
∵当时函数值y随x的增大而减小，
又∵，
∴当时，y有最小值为，
又∵函数（m为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，
∴
解得或（舍去）；
综上，的值为或；
（3）解：当时，，
∴，
又抛物线的对称轴为，
∴，
①当点在边上时，，
∵，
∴点在对称轴的左侧，所以，
由，得，
解得，
②当点在边上时，，
解方程，得，
∴，
由，得，
解得，或（舍去）．
综上，，或．
25．【正确答案】（1），见详解
（2）7
（3）①，②，理由见详解
【分析】（1）证明，即可证明结论成立；
（2）先证明，，再证明，则，由为中点，得到，则，即可求出答案；
（3）①证明，由，即可得到答案；②证明为等边三角形，得到，证明为直角三角形，求出，，则，由即可得到答案．
【详解】（1）解：，证明如下：
四边形是正方形，
，，
．
，
，
，
．
在与中，
，
，
；
（2）解：如图，过作，则四边形为矩形，
，．
，
．
，
，
．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，
．
为中点，
，
，
；
（3）解：①为等边三角形，
，．
在与中，
，
，
．
又，
．
又，
；
②，理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转得到，
由旋转性质得，，，，，
为等边三角形，
．
又，
，
．
由①得，
，
，
，
为直角三角形．
又，，
．
，
．