重庆市万州第三中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份重庆市万州第三中学2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．2026的相反数是（ ）
A．2026B．C．D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（）
A．B．
C．D．
4．如图，和是以O为位似中心的位似图形，且，的周长是12，则的周长是（ ）
如图，和是以为位似中心的位似图形，且，的周长是，
A．4B．6C．36D．24
5．估计的值应在（ ）
A．3到4之间B．2到3之间C．1到2之间D．0到1之间
6．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，用字母“C”“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，…，按此规律排列下去，第2026个图案中字母H的个数为（ ）
A．4048B．4050C．4052D．4054
8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，，相交于点O，则（ ）
A．B．C．D．2
9．如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．已知四个整式，，，，现对四个整式进行如下操作：任取其中三个整式相加后取其绝对值再减去第四个整式，根据不同的选择可得到四个结果，，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，，再进行一次操作，可得到四个结果，，，，称为第二次操作；以此类推…，下列说法：
①若，，，，则四个结果，，，的和为14；
②若，，，，则存在一个的值是方程的实数根；
③若，且满足关于的二次函数的对称轴在轴右侧，则第次操作的结果为，，，．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 ．
12．若点，关于原点对称，则 ．
13．如图，若，，，则的度数是
14．若a，b为实数，且同时满足，，则为 ．
15．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接，若，，，则 ， ．
16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“加和数”．例如：四位数5127，因为，所以5127是“加和数”；又如：四位数6238，因为，所以6238不是“加和数”．若M是“加和数”，则 ；记，若“加和数”能被7整除，则满足条件的所有的和为
三、解答题
17．解不等式组： ，并写出所有整数解．
18．学习了尺规作图后，小南进行了拓展性研究．他发现：在等腰中， ，点是的中点，过点作交于点，在上方作，延长交于点，则四边形是平行四边形，且 ．请根据他的思路完成以下作图和推理填空：
（1）利用尺规作图：作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形为平行四边形，且．
证明：∵ ，
∴ _____①_____，
∵ ，
∴ ，
∴ _____②_____，
∵，
∴ 四边形是平行四边形，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴④_____，
∴，
∴．
19．科大讯飞推出了“讯飞星火”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分）
抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：85，83，88，86，89，87；
抽取的对B款聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有320人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
20．先化简，再求值：，其中．
21．列方程解答问题：
2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍．
（1）求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元；
（2）该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值．
22．在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿匀速运动，到点停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒，的面积为．
（1）直接写与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）在图的直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质；
（3）若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______．
23．小明和小华相约从家同时出发前往某公园赏花．如图，小明从家A处出发，乘坐公交车途经E处到F处，再从F处跑步到达公园C处，已知点E在A的北偏东方向，点F在E的东北方向，点C在F的正东方向，且相距千米；小华从家里B处出发骑自行车途经D处到达终点C处，已知点B在点A的正东方距离2千米处，点B在D的南偏西方向，点C在D的正北方向，且相距4千米，相距千米．（，，，，，）
（1）求的长度；（结果保留根号）
（2）小明坐公交车时车的速度为900米/分钟，小明跑步的速度为100米/分钟；小华骑自行车的速度为230米/分钟：若两人同时从自己家里出发，请通过计算说明谁先到达终点？（计算结果保留一位小数）
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，连接，设的面积为，的面积为，点是轴上的动点，连接，当取得最大值时，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．
25．在等边三角形中，线段绕点顺时针旋转度至，连接，，交于点．
（1）如图1，当旋转角为时，已知，求的面积．
（2）如图2，点是线段上一点，连接与相交于点，若．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，点为平面内所在直线上方一动点，满足，点为射线上一点，使得，请直接写出的最小值．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得．
【详解】解：2026的相反数是，
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，
故选D．
3．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键．
通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项．
【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A；
由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D；
由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合．
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由和是以为位似中心的位似图形得，,进而根据相似三角形的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵和是以为位似中心的位似图形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴的周长的周长，
故选C．
5．【正确答案】B
【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和夹逼法是解题的关键．
先化简后，再根据即可得到答案．
【详解】解：
，
，
，
，
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系．
设年平均增长率为x，可得出、年投入研发资金，结合到年累计三年共投入研发资金万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得，
．
故选A．
7．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索．观察可知，后面一个图形比其前面（相邻）的那个图形多2个H，据此规律求解即可．
【详解】解：第1个图案中有4个H，
第2个图案中有6个H，
第3个图案中有8个H，
……，
以此类推，可知第n个图案有个H，
∴第2026个图案中字母H的个数为，
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
通过添加辅助线构造出后，将问题转化为求的值，再利用勾股定理 、锐角三角函数解即可．
【详解】解：连接、，如图：
∵由图可知：
∴，
∴
∵小正方形的边长为
∴在中，，
∴
∴．
故选B
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，由角平分线想到作垂线是解题的关键．作于E，于G，于H，连接，由角平分线性质定理得，再由角平分线的判定知，点C在的平分线上，则可求得；当′于，则，即的最小值为，此时点C与重合，从而求得此时的度数．
【详解】解：如图，作于E，于G，于H，连接，
∵平分，，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴平分，即点C在的平分线上，
∴，
∵，
∴，
如图，作于，则，
即的最小值为，此时点C与重合，
∴，
∴，
∴当线段取最小值时，的度数为，
故选B．
10．【正确答案】C
【分析】本题考查整式的运算，读懂题意，理解题中的操作方式是解题的关键，根据题中提供的操作方式对①计算四个整式第一次操作后的结果并求和；②分析是否存在使四个结果之和为0；③验证每次操作后的结果是否满足递推关系．
【详解】解：①：由题可得：，，，，四个整式为，0，3，7，
∴第一次操作结果：
若选：，则，
若选：，则，
若选：，则，
若选：，则，
∴，
∴①正确；
②：∵四个整式为，4，3，，
若选：，则，
若选：，则，
若选：，则，
若选：，则，
则第一次操作结果之和为：，
当时，和为，
对于，，
∴方程无实根；
当时，和为，
对于，解得，但矛盾，
∴方程无解，
∴②错误；
③：∵，
∴四个整式为，，，，
∵二次函数的对称轴在轴右侧，
∴，即，
∴第一次操作结果为，，，；
第二次操作结果为，，，；
以此类推，第次结果为，，，，
∴③正确；
结论：①③正确，
故选C．
11．【正确答案】
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．本题中摸出红球的概率为红球数量与总球数的比值，据此即可求解．
【详解】解：袋中总球数为，红球有个,
因此摸出红球的概率为
12．【正确答案】
【分析】本题主要考查关于原点对称点的性质，熟练掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
根据关于原点对称点的性质得，，计算即可解得答案．
【详解】∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得，，
∴．
13．【正确答案】/40度
【分析】本题主要考查了邻补角的性质、平行线的性质、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
由邻补角的性质可得，根据平行线的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，化简绝对值，解一元一次方程，负整数指数幂．通过解绝对值方程，得到a和b的值，再计算b的a次方，即可作答．
【详解】解：由，得，代入，
得，
即，
当时，，矛盾；
当 时，，则，
解得 ，
代入 ，得，
故．
15．【正确答案】；
【分析】先证明，作于点，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
作于点，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，则，
∴，
∴.
16．【正确答案】1；
【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键．
根据“加和数”的定义，由且为两位数，结合和的取值范围，推出必须为1．然后根据能被7整除的条件，利用同余关系求出所有可能的，再计算并求和．
【详解】解：∵，且是两位数，
∴，
∵和均为1至9的整数，
∴，
∴，即．
若，则，与矛盾，
∴，
∴，
∵数字互不相等且均不为0，且，
∴，
∴．
将代入，
得
，
∵能被7整除，
∴能被7整除，即能被7整除，
由和为1至9的整数，且，，，，得
①当时，，，20不能被7整除，舍去；
②当时，或9，或21，只有21能被7整除，符合题意，
即，，，
∴；
③当时，或8或9，或20或22，都不能被7整除，不符合题意；
④当，时或7或8或9，或19或21或23，只有21能被7整除，符合题意，即，，，
∴；
⑤当时，或7或8或9，或20或22或24，都不能被7整除，不符合题意；
⑥当时，或5或6或8或9，或17或19或23或25，都不能被7整除，不符合题意，舍去；
⑦当，或4或5或6或7或9时，或16或18或20或22或26，只有14能被7整除，此时，不符合题意；
⑧当时，或3或4或5或6或7或8，或15或17或19或21或23或25，只有21能被7整除，此时，，符合题意，
∴；
∴．
17．【正确答案】，整数解为
【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
18．【正确答案】（1）见详解；
（2）；；；．
【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据作一个角等于已知角方法即可；
（）由 ，则，又 ，所以 ，可证，证明四边形是平行四边形，证明，故有 ，又，则 ，所以，得，然后通过线段和差即可求证．
【详解】（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的中点，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
19．【正确答案】（1），，
（2）A款机器人，见详解
（3）77人
【分析】本题考查了扇形统计图，平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，样本估计总体，理解平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，会用样本求总体，能从扇形统计图及表格中获取正确的数据，并能根据数据进行分析决策是解题的关键．
（1）先求出A中非常满意的人数、不满意的人数，而已知满意人数，再有总数减去这三项的人数和即可求解比较满意的人数，即可求解占比；再根据中位数、众数的定义求解；
（2）从平均数、中位数、众数几个方面综合分析，即可求解；
（3）利用用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：A中非常满意人数为，不满意人数为，而满意人数有6人，
∴比较满意人数为，
∴，
∴；
A中人数有20人，则中位数是第10个和第11个数据的平均数，不满意2人，比较满意3人，满意6人，
将“满意”的数据排列为83，85，86，87，88，89，
∴第10，11个数据为88，89
∴中位数为，
∴，
B中的数据96出现了4次，且最多，
∴众数
（2）解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款评分数据的平均数、众数都相同，但A款评分数据的中位数为88.5分比B款的中位数88分高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）解：（人）
答：此次测验中对聊天机器人不满意的共有人．
20．【正确答案】，
【分析】本题考查了分式化简求值，实数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算整式的乘法和括号内异分母的减法，然后对整式合并同类项，对分式计算分式的除法，最后再将整式和分式通分计算，根据立方根和零次幂，负整数指数幂求出a的值，最后代入求值即可．
【详解】解：
；
∵，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1）款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元
（2）
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用等知识，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元，根据两款摩托车共120辆建立方程，解方程即可得；
（2）先求出9月份，款摩托车的售价和销量，再根据两款摩托车的总销售额是8月的倍还少万元建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
所以，
答：款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元．
（2）解：由（1）可知，在8月份，款摩托车的销量为辆，款摩托车的销量为辆，
则在9月份，款每辆售价为万元，销量为辆；款每辆售价为万元，销量为辆，
由题意得：，
解得，
答：的值为20．
22．【正确答案】（1）；
（2）见详解；
（3）
【分析】根据勾股定理求出，因为点是的中点，可得，当点的运动速度为每秒个单位长度，可得：当时，，当时，；
根据分段函数的解析式画出函数图象即可；
当直线过点时，可得：，所以直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是．
【详解】（1）解：，，，
，
点是的中点，
，
，点的运动速度为每秒个单位长度，
，
当时，，
；
，
，
当时，过点作，
则，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
；
综上所述，；
（2）解：画函数图象，如下图所示，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（3）解：当直线过点时，
可得：，
解得：，
直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是．
23．【正确答案】（1）千米
（2）小明先到达终点
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，理解题意，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）延长交于点G，过点E作于点H，交的延长线于点K，则，，，设米，在中，可得到的长度， 在中，可得的长度，从而得到千米，千米，根据，可得，即可求出的长度；
（2）分别求出两人达到终点所用的时间，即可求解．
【详解】（1）解：如图，延长交于点G，过点E作于点H，交的延长线于点K，则，，，
设米，
在中，，
∴千米，千米，
在中，千米，，
∴千米，千米，
∵相距千米，点B在点A的正东方距离2千米处，
∴千米，千米，
∴千米，千米，
∴千米，
∵千米，
∴千米，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴的长度为千米；
（2）解：由（1）得：千米，
小明到达终点所用时间为分钟，
小华到达终点所用时间为分钟，
∵，
∴小明先到达终点．
24．【正确答案】（1）抛物线表达式为；
（2）
（3）3或
【分析】（1）将、代入抛物线解析式，解方程组即得；
（2）由，求出，可得直线解析式为，过点B作轴交于点E，过点P作轴于F，交于点H，则,得，由，设，，则，得所以当时，有最大值，此时，过点O作,过点P作，交于点G， 有最小值，,证明，得，得，可得，,由，得，得,即得；
（3）求出原抛物线顶点为 ，得到平移后顶点为 ，故，点 平移后得，当点K在直线右侧时，由，得，收，，得，设直线交x轴于点I，则，得，得，求出直线解析式为，联立得，可得，当点K在直线左侧时，由前可得，连接，作关于的对称，设，则，解得，得，求出直线解析式为，联立得，可得．
【详解】（1）解：将、代入抛物线解析式，
得．
．
即抛物线表达式为．
（2）解：对，当，，
解得，．
点在点的左侧，
．
设直线解析式为，
则．
∴．
∴．
过点B作轴交于点E，过点P作轴于F，交于点H，
则．
∴．
∴．
∵，
对, 时，，
∴．
∴．
设（），
则．
∴
．
∴．
∴当时，有最大值．
∴．
∴．
过点O作，过点P作，交于点G，
则，．
当点M在上时, 有最小值，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
故的最小值为．

（3）解：所有符合条件的点K的横坐标为 3或．理由：
∵，
∴原抛物线顶点为 ．
∵，
∴．
∴抛物线沿射线方向平移个单位长度是向右平移，向上平移．
∴得到平移后顶点为 ．
故．
即．
点 平移后得．
以点K的横坐标为 3的解题过程：
∵，
∴．
∴得．
∵，，
∴．
∴．
设直线交x轴于点I，
则．
∴．
∴．
设直线解析式为，
则．
∴．
∴．
与联立得，
解得（舍去），或．
以点K的横坐标为 的解题过程：
由前可得，
连接，作关于的对称，
∵，，
∴．
设，
则．
∵，
∴．
解得，或（舍去）．
∴．
设直线解析式为，
则．
∴．
∴．
与联立得．
解得（舍去），或．
综上，符合条件的点的横坐标为3或．
25．【正确答案】（1）
（2），见详解
（3）
【分析】（1）过点D作，交延长线于点H，求出 ，得，求出，即得；
（2）在上取点I，使，由已知可得是等边三角形，得，推出，根据，，得，得，，得 ，得，即得；
（3）设外接圆的圆心为O，的中点为J，连接并延长交于点M，连接，设中点为N，连接，证明，证明， ，，得，得，得，求得，得，得，根据，得最小值．
【详解】（1）解：过点D作，交延长线于点H，
∵等边三角形中，且旋转角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：．证明：
在上取点I，使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点A、B、D在以C为圆心，以长为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）设外接圆的圆心为O，的中点为J，连接并延长交于点M，连接，设中点为N，连接，
则， ，，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点K在以为直径的圆弧上运动，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴的最小值为，．
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
88
c