重庆市长寿中学校2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份重庆市长寿中学校2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
4．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为4，则的面积为（ ）
A．6B．8C．9D．25
6．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．其图象开口向上B．其图象的对称轴是直线
C．其最大值为1D．当时，随的增大而减小
7．随着全民健身意识的提升，某景区登山步道成为热门打卡地．据统计，2023年该步道全年登山人数为20万人次，2025年全年登山人数达到28.8万人次．若这两年该步道登山人数的年平均增长率保持不变，求此年平均增长率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（ ）
A．7B．28C．252D．63
9．如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知整式，其中，，，，，为正整数，满足，且．下列说法：
①当，时，满足条件的整式有且只有一个；
②若且，则满足条件的整式的最高次项系数之和为20；
③满足条件的整式中，二次三项式有个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．若，则 ．
12．拋物线的顶点坐标是 ．
13．化简 ．
14．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为 ．
15．图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则 分米．
16．我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为7，则称A为“积减数”，并把A分解成的过程称为“积减分解”．例如：因为，15与12的十位数字相同，个位数字5与2的和为7，所以45是“积减数”．按照这个规定，最小的“积减数”是 ，把一个“积减数”A进行“积减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B与m的差除以17的余数为15，则满足条件的所有正整数A的和为 ．
三、解答题
17．解下列两个方程，并计算代数式的值
（1）；
（2）；
（3）计算：．
18．综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
（1）如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①______．
∴，
∴，
∴②______．
在和中：
∴，
∴③______，，
∴④______．
∴四边形是平行四边形．
19．如图，已知梯形内接于（梯形四顶点均在圆上），，且位于圆心的异侧．若的半径为，求梯形的面积．
20．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．
其中，八年级20名学生的成绩是：80，81，82，82，84，85，86，87，89，90，90，91，94，96，96，96，96，96，99，100．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：94，92，91，90，93，92．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值： ______， ______， ______；
（2）根据以上数据，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校九年级共1200人参加了此次航天科普知识竞赛活动，请估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数是多少？
21．某宠物用品店计划购进狗粮和猫粮两种主食，满足顾客喂养需要，已知购进2袋狗粮和3袋猫粮的总费用为310元，购进4袋狗粮和1袋猫粮的总费用为370元．
（1）求每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是多少元？
（2）该店优化采购渠道后，狗粮的进价每袋降低了元，猫粮的进价每袋降低了元．若用240元购进狗粮的数量与用160元购进猫粮的数量相同，求的值．
22．如图，锐角中，的面积为．求的值．
23．如图1，在矩形中，，动点P从点E出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发沿射线运动，速度为每秒2个单位长度，当点P停止运动时点Q也随之停止．连接，设点P运动时间为x秒，的面积为，的面积与的面积比值为．
（1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合的函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为．
（1）求点和点的坐标，以及抛物线的表达式；
（2）若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标；
（3）若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由．
25．如图， 在中，， D为的中点， 连接， E为边上一动点， 连接， 将绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1， 当E在线段上时，若 求的长；
（2）如图2， 当E在线段上时（点E不与C， D重合）， 连接交于点G， 求证:；
（3）在（2）的条件下，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， 连接与交于点 P， 当取得最小值时，直接写出的值．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
2．【正确答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选A．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数（）在第二象限内，随的增大而增大解答即可．
【详解】解：∵，且，
∴在第二象限内，随的增大而增大；
∵，
∴．
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查整式的乘法与因式分解，掌握知识点是解题的关键．
因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式．逐一检查各选项：A是整式乘法，B不是乘积形式，D分解后不等于左边，只有C正确，即可解答．
【详解】解：A∶ 是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B∶ 右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C∶ ，是正确因式分解，符合题意；
D∶ ，分解错误，不符合题意．
故选C．
5．【正确答案】C
【分析】此题是位似变换，考查了位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．
先求出，然后根据位似三角形的性质求解即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，
．
的面积为4，
的面积为9．
故选C．
6．【正确答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式可知，，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为，当时，y随增大而减小，进而问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为，最大值为，
∵，
∴当时，随的增大而减小；
故选D．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设年平均增长率r，根据两年增长模型，列出方程，解方程求解即可．
【详解】解：设年平均增长率为，
则
解得：或（舍），
即年平均增长率为，
故选C．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了图形类规律探索，归纳总结出图形中黑点的个数与白点的个数之差的规律是解题的关键．观察图形可知，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，再代入即可得出答案．
【详解】解：第1个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，
第2个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，
第3个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，
……
以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，
当时，，
∴第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为28．
故选B．
9．【正确答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质．
由旋转证明即可得到，即可判断A，而B、C、D不能证明，即可求解．
【详解】解：由旋转得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确，符合题意；
而BCD选项均不能证明，故不符合题意，
故选A．
10．【正确答案】B
【分析】本题考查整式，不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．需要根据条件 ，且，分别验证三个说法的正确性．①找出所有 时的可能情况进行判断；②找出 且 时的所有可能情况，并计算最高次项系数的和；③找出 时的所有可能，逐一讨论，结果相加即可．
【详解】解：当 时，，条件为 且
，
∴ 可取6， 7，
∴有两个：，
故①错误；
时，，条件为
，
，
，则 ，且 ，
满足条件的 有：
最高次项系数分别为 8，，，，其和为 ，
故②错误；
二次三项式即 ，且 ，满足
当 时，，
（6 个）
（4 个）
（2 个）
共 个；
当 时，前面已得 4 个；
时，，不满足条件；
∴二次三项式共有 个，
故③正确；
正确的个数1 个．
故选B．
11．【正确答案】4
【分析】本题考查比例的计算，掌握知识点是解题的关键．
由已知比例关系，可推导出的值，然后代入所求表达式进行简化计算．
【详解】解：由，得
，即．
则．
12．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握根据二次函数的顶点式求顶点坐标是解题的关键．
根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算．
先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可．
【详解】解：
．
14．【正确答案】
【分析】根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．
【详解】解：设它是n边形，则
（n−2）•180°＝1080°，
解得n＝8．
360°÷8＝45°，
故答案为．
15．【正确答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，合理的构造直角三角形进行求解是解题的关键．
延长交l于点G，易得，则，设为，则，，那么可得的余弦值，根据的余弦值列出方程求得x的值，即可求得的长即可．
【详解】解：延长交l于点G，
，，，
，
，，
，
，
，
，
设为，则，
，
，
分米，分米，
，
解得：，
分米.
16．【正确答案】；
【分析】本题考查了新定义，整式的运算，设m的十位数字为a，个位数字为b，可得，然后求出“积减数”最小时，，；表示，即可得到余数为且，然后对a，b取不同的整数解计算得到A的值求和即可．
【详解】解：，
设m的十位数字为a，个位数字为b，则，，
∴，
∵“积减数”最小，又是正整数，
∴，，
∴最小的“积减数”是；
∵，
∴，
∴，且，
当时，余数为，
即，则；
当时，余数为，
即，则；
当时，余数为，无解；
当时，余数为，
即，则；
满足条件的所有正整数A的和为.
17．【正确答案】（1），
（2）
（3）
【分析】本题考查了公式法，因式分解法解方程，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，立方根，选择适当解方程的方法，特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）利用公式法求解即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
（3）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，立方根计算即可．
【详解】（1）解：∵,
在这里，
∴，
解得，．
（2）解：∵，
∴
∴，
∴或，
解得，．
（3）解：
．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）①，②，③，④
【分析】本题考查平行四边形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，
（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）证明，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图，即为所求作角，
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，．
∴，
∴，
∴．
在和中：，
∴，
∴，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
19．【正确答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，过点O作于F，延长交于E，连接，由垂径定理和勾股定理可求出的长，可证明，则由垂径定理和勾股定理可求出的长，进而求出的长，再根据梯形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作于F，延长交于E，连接
∴，
∵的半径为4，
∴，
∴；
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【正确答案】（1）40，96，92.5
（2）九年级的成绩更好，理由见详解
（3）840
【分析】本题考查统计图，求中位数，众数，利用中位数和众数作决策，从统计图中有效的获取信息，熟练掌握中位数和众数的计算方法，是解题的关键：
（1）求出组人数所占的比例，根据比例之和为1，求出的值，根据中位数和众数的确定方法进行求解即可；
（2）利用中位数和众数作决策即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，组人数所占的比例为，
∴；
∴；
∵八年级成绩中出现次数最多的是，
∴；
九年级中两组的人数之和为，
将数据排序后，第10个和第11个数据分别为，，
，
故.
（2）九年级的成绩更好，理由如下：
两个年级成绩的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，故九年级的成绩更好；
（3）（人）；
答：估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数是840人．
21．【正确答案】（1）每袋狗粮的进价为80元，每袋猫粮的进价为50元
（2）
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，正确的列出分式方程和二元一次方程组，是解题的关键：
（1）设每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是元和元，根据购进2袋狗粮和3袋猫粮的总费用为310元，购进4袋狗粮和1袋猫粮的总费用为370元，列出方程组进行求解即可；
（2）根据用240元购进狗粮的数量与用160元购进猫粮的数量相同，列出分式方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是元和元，
由题意，得：，
解得；
答：每袋狗粮的进价为80元，每袋猫粮的进价为50元；
（2）解：由题意，得，
解得；
经检验，是原方程的解，
故．
22．【正确答案】
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，过点A作于D，根据三角形面积计算公式求出的长，则可利用勾股定理求出的长，求出的长，则可求出的长，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于D，
∵的面积为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【正确答案】（1），，；
（2）见详解，当时，函数值随自变量的增大而增大；（答案不唯一）
（3）
【分析】（1）分点P在与点P在上两种情况，即可求得；分别求出的面积与的面积，即可求得；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象画出两个函数的图象即可；利用一次函数的性质即可写出的一条性质；
（3）根据所画的函数图象即可求解．
【详解】（1）解：在矩形中，，
∴；
当点P在上时，则，此时，；
当点P在上时，则，此时，；
即；
的面积为，而，，
∴的面积为，
∴，其中；
（2）解：画图如下：
当时，函数值随自变量的增大而增大；
（3）解：由图象知，当时，．
24．【正确答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意得：，，从而得到，即可求解；
（3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解．
【详解】（1）解∶直线，当时，．
当时，．
，．
将，代入得
解得
抛物线的表达式．
（2）解∶根据题意得∶，，
．
，
开口向下，有最大值．
当时，l取最大值．
当时，．
此时；
（3）解：存在．
当时，．
解得，．
．
分两种情况讨论：
若点P在x轴上方时，如图1，此时，
根据题意得∶ ，，
．
．
．
解得，
若点P在x轴下方，如图2，此时．
．
．
．
解得，(舍去)
的值为或或．
此时点的横坐标为或或．
25．【正确答案】（1）6
（2）见详解
（3）
【分析】对于（1），根据勾股定理求出，即可求出，再证明可得答案；
对于（2），结合（1）证明，可得，进而得出，可得，可得，即可得出答案；
对于（3），先确定当点共线时，取得最小值，画出图形，由（2）得根据翻折的性质得，再设，则，根据勾股定理表示，，即可得出，，接下来说明，结合相似三角形的性质得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵
根据勾股定理，得，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴.
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
（3）解：如图所示，根据翻折的性质可知，
则，
当点共线时，取得最小值．
如图所示，由（2）得
由翻折得，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，则，
根据勾股定理，得，
则，
∴，
则，．
∵，
∴，
∴．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
38.7
九年级
90
c
100
38.1