2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市道外区上册期末九年级数学试卷（解析版） [附答案]

这是一份2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市道外区上册期末九年级数学试卷（解析版） [附答案]，共37页。试卷主要包含了 如图，，，，则等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1. 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2. 答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚．
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．
4. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写.字体工整、笔迹清楚．
5. 保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷选择题（共30分）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列各数中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】本题主要考查了两个负数比较大小．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：A
2. 黑龙江省传统剪纸艺术闻名遐迩．早在纸尚未普及以前，居住在黑龙江的蒙、满、索伦各部族的人们就已用薄片的金属、绢帛、鱼皮和兽皮、桦树皮等镂空剪刻各种图纹和形象了．以下四个剪纸作品中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】本题的核心是准确把握中心对称图形的定义，通过观察图形旋转后的重合情况来判断．解题时需仔细观察每个选项的图形特征，结合定义逐一分析，从而得出结论．中心对称图形的定义是：将一个图形绕着某一个点旋转后，能与原来的图形重合，则该图形为中心对称图形．解题时需依据此定义，对每个选项的剪纸作品进行观察与判断，找出不满足该条件的选项．
【详解】选项A，B，C的剪纸作品，将其绕某一合适点旋转后，能与自身重合，是中心对称图形，不符合“不是中心对称图形”的要求．选项D的剪纸作品，将其绕任意点旋转后，无法与自身重合，因此选项D不是中心对称图形，符合题意．
故选D．
3. 据报道，2025年前三个季度全国各省市成绩单中，黑龙江省的为11489亿元，将11489用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可．
【详解】解：将11489用科学记数法表示为．
故选：B．
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解．
【详解】解：∵主视图是直角三角形，
故A，C，D选项不合题意，
故选：B．
本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键．
5. 观察下列图形规律：第n个图案中“◎”的个数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】本题考查图形类规律题，根据已知图形得出 “◎”个数变化规律即可求解．
【详解】解：由图可得，第1个图案中“◎”的个数为3，，
第2个图案中“◎”的个数为6，，
第3个图案中“◎”的个数为9，，
第4个图案中“◎”的个数为12，，
……
以此类推，第n个图案中“◎”的个数为，
故选：A．
6. 已知反比例函数的图像经过两点，当时，则k的值可能为（）
A. B. C. 0D. 1
【正确答案】D
【分析】根据，且，判定函数图象在这个象限内，y随x的增大而减小，继而得到，解答即可．
本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据，且，
∴函数图象在这个象限内，y随x的增大而减小，
∴，
故选D．
7. 如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的水平距离的长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【正确答案】B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的水平距离的长为米，
，
则米，
故选：B．
8. 如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键，连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可．
详解】解：连接，
，
，
半径，互相垂直，
，
，
．
故选：C．
9. 如图，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题．
【详解】解：，
，
，，
．
故选：D．
10. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，掌握由图象得出是解题的关键．
由图象，可知当时，反比例函数和一次函数的函数值相等，得到，代入二次函数得，由反比例函数图像可知，再分析二次函数的对称轴、与y轴的交点位置、时的函数值，即可求解．
【详解】解：根据图象可知，当时，反比例函数和一次函数的函数值相等，
即，
，
由一次函数的图象，可知，
故二次函数的对称轴，在y轴的右侧，
由反比例函数的图象，可知当时，，
当时，，
故二次函数与y轴交于正半轴，
当时，，
故二次函数图象经过点，
综上所述，函数的对称轴在y轴的右侧，与y轴交于正半轴，且经过点，选项B符合题目要求．
故选：B．
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 在函数中，自变量的取值范围为__________
【正确答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围，根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数，从而求解自变量x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故．
12. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
13. 不等式组解集为__________
【正确答案】##
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解每个不等式，然后确定不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：解不等式：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边除以3得：，
所以不等式组的解集为．
故．
14. 一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为_____________．
【正确答案】##0.25
【分析】从袋子里任意摸一个球有种等可能的结果，其中是绿球的有种，根据简单概率公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，从袋子里任意摸一个球有种等可能的结果，其中是绿球的有种，
（任意摸出一个球为绿球），
故答案：．
本题考查概率问题，弄清总的结果数及符合要求的结果数，熟记简单概率公式求解是解决问题的关键．
15. 若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
【正确答案】
【分析】根据弧长公式即可求解．
【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，
∴它的弧长为，
故．
本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
16. 定义新运算：，则的运算结果为__________
【正确答案】##
【分析】本题考查整式的运算，根据新运算的定义，将和分别替换为和，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可．
【详解】解：由定义，得
，
故答案为．
17. 将抛物线的图像先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为__________
【正确答案】
【分析】本题主要考查了根据平移确定点的坐标，二次函数的性质，根据二次函数图像平移规律，向上平移改变y坐标，向右平移改变x坐标，先确定原顶点坐标再依次平移即可．
【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，先向上平移3个单位，顶点坐标变为，再向右平移1个单位，顶点坐标变为．
故．
18. 如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为__________
【正确答案】2
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，特殊角的正弦值求边长等知识，
连接，根据圆周角定理可得，再证明，即可得出，在中求出的长即可．
【详解】解：连接，
，
，
，为的切线，
，
，
，
，
，
．
故2．
19. 在半径为1的中，，为的两条弦，且，，则的度数为__________
【正确答案】或
【分析】此题主要考查了垂径定理以及利用三角函数求特殊角度，利用分类讨论得出是解题关键．
根据弦长与半径的关系，求出弦与半径的夹角和弦与半径的夹角，再根据点和点的位置关系得到的两个可能值．
【详解】解：分别作，，垂足分别是、．
∵，，
，，
，，
，
，，
当与在圆心的两侧时，，
当与在圆心的同侧时，，
∴∠°或．
故答案为或．
20. 如图，在正方形中，点，点分别为边，上动点，且，连接，交于点，在线段上截取，连接，为的角平分线，交线段于点．有如下结论：①；②；③若时，则的值为；④若，点为中点时，点为上一动点，的最小值为．其中一定正确的结论是__________．（请将正确的结论序号填在横线上）
【正确答案】①②③④
【分析】①通过证明，得出，根据，得出，即可判断①；②过点A作，交延长线于点Ｑ，连接，先证明，得出，，再证明，即可得出，即可判断②；③如图所示，过点D作于点M，由三线合一得到，证明出四边形是矩形，得到，等量代换得到，推出，即可得到，即可判断③；④如图所示，作点A关于的对称点，连接，，和交于点N，以点B为坐标原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，首先得到，判断出当点，Q，D三点共线时，即点Q和点N重合时，有最小值，即的长度，然后求出所在直线表达式为，所在直线表达式为，联立求出，然后求出，然后利用勾股定理求出，即可判断④．
【详解】解：①∵四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②过点A作，交延长线于点Ｑ，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，故②正确；
③如图所示，过点D作于点M
∵
∴
∵
∴四边形是矩形
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，故③正确；
④如图所示，作点A关于的对称点，连接，，和交于点N，以点B为坐标原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
∵
∴点A，G，E，四点共线
由对称得，
∴
∴当点，Q，D三点共线时，即点Q和点N重合时，有最小值，即的长度，
∵，点为中点，
∴，，
∴，，，，
设所在直线表达式为
将代入得，
解得
∴所在直线表达式为
同理可得，所在直线表达式为
联立得，
解得
∴
∵点A关于的对称点，
∴点G是线段的中点
∴
∴
∴的最小值为，故④正确．
综上所述，其中一定正确的结论是①②③④．
故①②③④．
本题考查正方形的性质和全等三角形的性质和判定，求角的正切值，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．
三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，每题10分）
21. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，
【分析】此题考查了分式的化简求值，特殊角三角函数，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算括号的分式加法，再计算分式的除法，得到化简结果，再求出字母的值，把字母的值代入化简结果计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
22. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．）
（1）在图中，作出以为腰，为底边的等腰，并且等腰三角形的面积为；
（2）在图中，在边上取点，连接，使得；
（3）在图中，作出的高，点为垂足，并直接写出的长．
【正确答案】（1）见解析（2）见解析
（3）
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、格点作图等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由勾股定理以及三角形面积为确定点C，然后再顺次连接即可；
（2）如图：确定格点D使得是等腰直角三角形，延长与的交点F即为所求；
（3）先确定点E，再连接与的交点为G，线段即为所求．由求解即可．
【小问1详解】
解：如图：即为所求．
理由：，等腰三角形的面积为，即即为所求．
【小问2详解】
解：如图：点F即为所求．
理由：，，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【小问3详解】
解：如图：即为所求．
由网格可知：点E、F为格线的中点，连接与的交点为G，易得，即即为所求．
∵点F为格线的中点，
∴
∴，
∵，
∴，解得：．
23. 某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
【正确答案】（1）200名
（2）见解析（3）600名
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先求出B类学生人数为：(名)，再补画长形图即可；
（3）用该校学生总数1000乘以B类的学生所占百分比即可求解．
【小问1详解】
解：(名)，
答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；
【小问2详解】
解：B类学生人数为：(名)，
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：(名)，
答：估计B类的学生人数600名．
本题考查样本容量，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从条形统计图与扇形统计图获取到有用信息是解题的关键．
24. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
（1）如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________；
（2）如图3，当，时，则长为____________；
（3）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【正确答案】（1）
（2）
（3），证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质，得到，证得是顶角为的等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到，即可求解．
（2）证，得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
（3）结论，延长到点M，使得，连接，，先证四边形是平行四边形，得到，，再由，得到，即，可证，即可求解．
【小问1详解】
解：为等边三角形，
，
，，
，
，
又是的中线，
，
，
．
【小问2详解】
解：，，
，
又，
，
，
是斜边上的中线，
．
【小问3详解】
解：结论，，
证明：如图，延长到点M，使得，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
，
，
．
25. 为促进冰雪经济，平几山滑雪景区需要购买型和型两种型号的保暖帐篷．若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需5200元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元．
（1）求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买型和型两种型号的帐篷共顶，为使购买帐篷的总费用不超过元，则最少购买种型号帐篷多少顶？
【正确答案】（1）每顶型帐篷元，每顶型帐篷元
（2）最少购买型帐篷顶
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系．
（1）设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元，根据题意列方程组即可求解；
（2）设购买型帐篷顶，则购买型帐篷为顶，根据题意列不等式即可求解．
【小问1详解】
解：设型帐篷每顶元，型帐篷每顶元，
根据题意可得，
解得，
答：每顶型帐篷元，每顶型帐篷元；
【小问2详解】
设购买型帐篷顶，则购买型帐篷为顶，
根据题意可得，
解得，
答：最少购买型帐篷顶．
26. 已知：内接于，圆心在内部，直径交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作，垂足为，交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接，，点在上，连接，过点作于点，交于点，连接，连接．若，，，，求线段的长度．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）
【分析】（1）连接，由可得，由等腰三角形三线合一可得；
（2）如图2，连接并延长交于点，连接，，先证是的中位线，得出，，再证四边形是平行四边形，即可得出；
（3）如图3，连接，分别过D，P作，的垂线，垂足分别为L，S，先根据，证明，再证，得出，再证，得出，进而可得，设，则，结合，可得，进而证明，推出，再用勾股定理解，证明，求出，再用勾股定理解，求出，进而可得，最后根据，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，连接，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图2，连接并延长交于点，连接，，
，
为中点，
又为中点，
，，
为直径，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
【小问3详解】
解：如图3，连接，分别过D，P作，的垂线，垂足分别为L，S，过点作于，过点作于，
，，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
为的直径
，
设，则，
又，
，
，
，
，
，
，，
又，
，
，
，
，
设，则
在中，由勾股定理得
，，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
连接，，
，
，
，
．
本题属于圆的综合题，考查圆周角定理，中位线的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等，第3问难度很大，正确作出辅助线是解题的关键．
27. 已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，交x轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交y轴于点E，点D横坐标为m，请用含m的式子表示的面积S；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点O作，交于点Q，过点Q作，交于点H，连接，点F为线段上一点，连接，过点H作，交于点G，点K在线段上，连接，过点K作，交y轴于点M，连接，直线交抛物线于点N，连接，若，平分，，求点N的坐标．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊三角形的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）如图：过D作轴，垂足为R，设，则，，根据正切的定义列比例式求得，易得、，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）如图：过作，过作轴，交的延长线于，再证明可得，即，进而得到，再解直角三角形和线段的和差可得；设，，，由勾股定理列方程可得，则；如图：作交于Q，则，可直线解析式为，易得；如图：过点K作x轴平行线，交延长线于T，过点A作的垂线交直线于S，证明可得，进而得到，则、，，，；如图：过点B作的垂线交直线于，可求得，易得直线解析式为，再与抛物线的解析式联立即可解答．
【小问1详解】
解：抛物线交y轴于点A，交x轴于点，
，解得，
解析式．
【小问2详解】
解：如图：过作轴，垂足为，
设，则，
，
，
，即，解得：
抛物线交轴于点，
，，
．
【小问3详解】
解：如图：过作，过作轴，交的延长线于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∵，
，
∴，
∴，
，
，
又∵，
，
，
设，，，
∴，即，解得：，
，即，
∴，
如图：作交于Q，则
设，过，两点，
∴解得：
∴直线解析式为，
由点K在上，设，
如图：过点K作x轴平行线，交延长线于T，过点A作的垂线交直线于S
，平分，
，
，
，
，
∴，
∴，解得：，
∴，，，，
如图：过点B作的垂线交直线于
，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：．
∴直线解析式为，
解析式为和二次函数
联立解得或（舍），
∴点N坐标．