黑龙江省大庆市肇源县2025~2026学年九年级上册12月期末数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省大庆市肇源县2025~2026学年九年级上册12月期末数学试题【附解析】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则下列比例式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（ ）
A．两枚硬币都正面向上的可能性最大
B．两枚硬币都反面向上的可能性最大
C．一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的可能性最大
D．以上三种情况的可能性相同
4．如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知点在反比例函数图象上，过点作轴于点，若的面积为1，则此反比例函数的表达式为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，且，若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．不能确定
10．如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（ ）

A．①B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
11．写出一个函数表达式，满足：当时，随的增大而增大，则此函数表达式可以为 （写出一个即可）．
12．若代数式可以配方为，则 ．
13．如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为 ．

14．某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 （精确到)．
15．如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则 （填“>，＜，或=”）．
16．周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）．
（1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆；
（2）若展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ．
17．中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里．
18．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是 （填序号）
三、解答题
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根．
21．甲、乙两人做游戏，同时掷两枚质地均匀的骰子，规则如下：
两枚骰子点数相同时甲胜；
两枚骰子的点数之和为时乙胜；
是否存在m的值使得甲、乙两人获胜的概率相同？请用画树状图或列表的方法说明你的结论.
22．如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求．
23．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
24．如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
25．如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．

26．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
27．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）已知是反比例函数图象上一点，求的面积；
（3）结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________．
28．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当P为的中点，，时，求的长；
（3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断．
【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；
B．因为，所以，故B不符合题意；
C．因为，所以，故C符合题意；
D．因为，所以，故D不符合题意；
故选C．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合，且为定值．
先根据点是反比例函数图象上求出的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，．
A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意．
故选C．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
先画出树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两正面朝上的、两背面朝上的和一个正面朝上，另一个背面朝上的结果数，然后分别计算它们的概率，再比较大小即可．
【详解】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两正面朝上的占1种，两背面朝上的占1种，一个正面朝上，另一个背面朝上的占2种，
所以两正面朝上的概率，两反面朝上的概率，一个正面朝上，另一个背面朝上的概率
故选C．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，建立等式求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
故选A．
5．【正确答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，解得，
故选D．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设反比例函数解析式为，根据反比例函数中的几何意义即可得到答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
由题意得：，
，
反比例函数图象位于第一、三象限，
，
，
反比例函数解析式为，
故选 A．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，先利用坐标求出与的长度得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵的面积为，
∴．
故选 D．
8．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，得出，代入数据求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选C．
9．【正确答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．
【详解】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数图象上的两点，
∴＝−6，＝−2，
∴y1＜y2．
故选C．
10．【正确答案】B
【分析】根据、是等边三角形，得出， ，证明，根据全等三角形的性质即可判断①；根据当时，，但是是变化的，得出不一定相似，即可判断②；根据题意得出当点重合时，最大，此时 ，当时， 最小，证明，根据相似三角形的性质得出，结合点D是边上一点（不与点B、点C重合），即可判断③；
【详解】解：∵、是等边三角形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，故①正确；
∵
故当时，，
∵是变化的，
∴不一定相似，故②错误；
当点重合时，最大，此时 ，
当时， 最小，
此时，
∵， ，
∴，
∴，
∵点D是边上一点（不与点B、点C重合），
∴，故③正确；
故选B．
11．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．当时，随的增大而增大，这数是一个开口向下且对称轴为轴的抛物线，这个抛物线的解析式可以是
【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为轴，
二次函数当时，随的增大而增大.
12．【正确答案】
【分析】本题考查的是配方法的应用，利用配方法原式变形，根据题意分别求出a、b，计算即可．
【详解】解：，
由题意得：，，
，，
.
13．【正确答案】米
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．先证明，再根据相似三角形对应边成比例得出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
即，
解得．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
由频率分布表可知，随着射击次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是（精确到)．
15．【正确答案】=
【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为．
【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以．
16．【正确答案】4；
【分析】本题考查了时间的计算，有理数的运算；
（1）根据题意明明有3个小时即180分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答．
（2）根据题意结合时间表，因为的时间和为90分钟，所以既不浪费时间又必须参加展馆只能是．
【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为D（15分钟）、B（30分钟）、C（45分钟）、A（60分钟）、E（60分钟），F（90分钟）最多可以参观完四个展馆．
（2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观F展馆90分钟，正好去参观B展馆30分钟，正好去参观E展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解．
17．【正确答案】8
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得，
，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键．
【详解】解：由正方形得，
，
，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
这座方城每一面的城墙长是里.
18．【正确答案】②③④
【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可．
【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误；
②由，则，
所以，，
所以，方程必有实数根，说法②正确；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确；
④若是方程的根，则，即，
而，
因此，说法④正确．
19．【正确答案】（1）
（2），
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用完全平方公式因式分解法求解即可．
（2）利用移项、提取公因式因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
所以；
（2）解：
，
，
，
则或，
所以，．
20．【正确答案】（1）见详解
（2），另一个根为．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）只需要证明即可；
（2）把代入原方程可求出k的值，进而求出原方程，再解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵方程的一个根是，
∴，
解得，
∴原方程为，即，
∴，
解得或，
∴原方程的另一个根为．
21．【正确答案】当时，甲、乙两人获胜的概率相同
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数相同和点数和的情况，再利用概率公式即可求得两人获胜的概率，可得结果．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：存在．
列表得：
共有36种等可能的结果，点数相同的结果有6种，
甲胜的概率为，
两枚骰子的点数之和为7的结果为6种，
当时，
乙胜的概率为，
即当时，甲、乙两人获胜的概率相同．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可；
（2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值．
【详解】（1）证明：在中，，于点，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
．
23．【正确答案】（1）y=；
（2）半径为28米；
（3）最多是0.4厘米．
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，解方程即可得到结论；
（2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为，
∴7=，
∴k=14，
∴y与x之间的函数表达式为y=；
（2）当x=0.5时，y==28米，
∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；
（3）当y≥35时，即≥35，
∴x≤0.4，
∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米．
24．【正确答案】（1）详见详解
（2）
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
即的长为．
25．【正确答案】路灯杆AB的高度为7m．
【分析】找出图中的相似三角形，利用三角形相似的性质解决即可．
【详解】∵CD∥AB，
∴△EAB∽△ECD，
∴=，即=①，
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴=，即=②，
由①②得，=，
解得，BD=7.5，
∴=，
解得，AB=7．
答：路灯杆AB的高度为7m．
26．【正确答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为
（2）购买的这种健身器材的套数为200套
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
27．【正确答案】（1），
（2）2
（3）
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、函数图象上点的坐标特征、利用图象解不等式、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可；
（3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，
∴反比例函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴反比例函数的表达式为：．
把点A、点B的坐标代入得：
，解得：，
∴一次函数的表达式为．
，与轴交于点．
（2）解：∵是反比例函数图象上一点，
∴，
如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则，
∴，
∴的面积为
．
（3）解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即．
28．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3），见详解
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到；
（2）根据，求得的长度，从而得出长度；
（3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系．
【详解】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．设计次数
20
40
100
200
400
1000
射中9环以上次数
15
33
78
158
321
801
展馆
A
B
C
D
E
F
专业讲解
无
每半小时一场，共3场
无
无
每1小时一场，共2场
无
参观所需时间（分钟）
60
30
45
15
60
90
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4
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