黑龙江省绥化市绥棱县2025~2026学年九年级上册期末考试数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省绥化市绥棱县2025~2026学年九年级上册期末考试数学试题【附解析】，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．若点，，三点在抛物线的图象上则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．2025年春节热门电影有以下4部：《哪吒之魔童闹海》、《熊出没》、《封神第二部》、《唐探1900》．若小明看了其中一部，则这部影片是《唐探1900》的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点，，在上，若，．则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外心到三角形的三边的距离相等
B．垂直于弦的直径平分弦
C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
D．长度相等的弧是等弧
7．如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕着原点O顺时针旋转后，A的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0； ②﹣1≤a≤； ③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要万美元，“万”用科学记数法可表示为 ．
12．将向下平移2个单位，再向左平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式是 ．
13．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接，，若的长为，则正六边形的边长为 ．
14．用半径为2的半圆形纸片，围成一个圆锥（接缝忽略不计），这个圆锥的底面圆半径是 ．
15．如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为 ．
16．一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控制，第三轮将又有 人被传染.
17．设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
18．在半径为的中，弦，，则的度数为 度．
19．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．

三、解答题
21．解下列方程：
（1）
（2）
22．如图，已知中，，，经过点B和点C，与交于点D，且的圆心O在边上．
（1）尺规作图：请根据题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不用写作法）．
（2）判断直线与的位置关系：_____________．
（3）若，则的面积_____________．
23．我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______人；扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为__________；
（2）请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人；
（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
24．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值．
25．如图，在中，，是的角平分线，圆心在上，以为弦的交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分面积．
26．实践与探究：老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究．
【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题：
【实践操作】（1）如图1，航天小组同学将绕中点__________（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形．
【特例探究】（2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现：
①当D，B，三点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
②当，三点构成以为斜边的直角三角形时，请直接写出线段的长．

27．某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现：
材料一：当每千克苹果的售价为元时，每天能销售千克．
材料二：当每千克苹果的售价每降低元，每天的销售量就会增加千克．
任务一：建立函数模型
（1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元，求与的函数关系式；
任务二：设计销售方案
（2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？
（3）若该水果店老板月日销售这种苹果的收入为元，请求出的值．
28．如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
（3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形而不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“横纵坐标都互为相反数”是关键．根据关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数，直接作答即可．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征为：横纵坐标都互为相反数，
可得：点关于原点的对称点的坐标是．
故选B．
3．【正确答案】A
【分析】此题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是能够根据点到对称轴的距离比较点的纵坐标的大小，即当抛物线开口向上时，距离对称轴越近则点的纵坐标越小；当开口向下时，距离对称轴越近则点的纵坐标越大．
先求出函数的对称轴，再根据三个点与对称轴的距离，结合开口方向确定三点纵坐标的大小．
【详解】解：抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为，且开口向下，
，，，
点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，
∴顶点为C，则最大，
除顶点C外，到对称轴距离最近的是点B，其次是A，
，
故选A．
4．【正确答案】A
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式．直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：若小明看了其中一部，则这部影片是《唐探1900》的概率是，
故选
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理、平行线的性质，推导出是解题的关键．由圆周角定理得，根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：点，，在上，，
，
，
．
故选B．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查三角形的外心、垂径定理以及弦与弧的关系，根据定义和定理逐项判断．
【详解】A．三角形的外心是边垂直平分线的交点，到顶点距离相等，但到边距离相等的是内心，该选项错误；
B．由垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，故正确；
C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧之分，不一定相等，该选项错误；
D．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，该选项错误；
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了旋转作图，旋转性质，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，画出绕着原点O顺时针旋转得到的，再读取A的对应点的坐标，即可作答．
【详解】解：依题意，画出绕着原点O顺时针旋转得到的，如图所示：
∴A的对应点的坐标为，
故选D
8．【正确答案】C
【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，
当a＜0时，
二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴，
一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，
二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴，
一次函数经过一、二、三象限．
符合条件的只有选项C，
故选C．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，由连续两次降价，得每次降价后价格变为原价的倍，因此两次降价后价格为原价乘以，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，
∴，
故选B．
10．【正确答案】C
【分析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=-，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出-1≤a≤-，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
【详解】：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴-=1，
∴b=-2a，
∴4a+2b=0，结论①错误；
②∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），
∴a-b+c=3a+c=0，
∴a=-．
又∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤a≤-，结论②正确；
③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），
∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，
又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选C．
11．【正确答案】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：万，
．
12．【正确答案】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
【详解】∵将向下平移2个单位再向左平移2个单位
∴可得，即．
故答案为．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了圆的弧长公式和正六边形的性质，先求得，再根据弧长求圆的半径，最后解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：∵正六边形，
∴，，
∴，
∴．
∵的长为，
∴，解得，
如图，过点作，则，
∵，
∴．
14．【正确答案】1
【分析】本题考查圆锥的展开问题，利用半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长即可求得底面圆的半径．
【详解】解：半圆形纸片的半径为2，其弧长为 ，此弧长即为圆锥的底面周长．
设圆锥的底面圆半径为，
则，
解得：．
15．【正确答案】2
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案．
【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图，
∵，
∴，
∵的半径为，
∴，
在中，，
∴．
16．【正确答案】448
【详解】设一个患者一次传染给x人，由题意，得
x（x+1）+x+1=64，
解得：x1=7，x2=-9（舍去），
第三轮被传染的人数是：64×7=448人．
17．【正确答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解的定义及根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴.
18．【正确答案】
或/或
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．连接，过作于，于，根据垂径定理求出值，根据解直角三角形的知识求出和，然后分两种情况求出即可．
【详解】解：如图所示：
连接，过作于，于，
∴，
∵，，
由垂径定理得：，，
，
∴，
∴；
如图所示
连接，过作于，于，.
∴，
∵，，
由垂径定理得：，，
，
∴，
∴．
19．【正确答案】
【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，得出四边形是正方形是解题关键．根据切线的性质得到，，，进而求得 ， 推出四边形是正方形，设，在中，利用勾股定理即可得解．
【详解】解：是的内切圆，三个切点分别为，，，
，，，，，
，
，，
四边形是正方形，
设，
在中，，
即，
解得，（舍去），
的半径为．
20．【正确答案】
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．
【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，
∴，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1，
又∵，
故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得，
∴，
21．【正确答案】（1），
（2），
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
，
故该方程有两个不相等的实数根，
，
，．
（2）解：
，．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）相切
（3）
【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定，含30度的直角三角形，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点即可；
（2）证明即可判断；
（3）证明，是等边三角形可得结论．
【详解】（1）解：由题意作图如下：
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切．
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
23．【正确答案】（1）；
（2）见详解，
（3）
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键．
（1）由选择专业的人数除以所占百分比即可得本次被调查的学生人数；用乘以选择专业的人数所占比，即可得出答案；
（2）求出选择专业的人数，补全条形统计图即可；根据用样本估计总体，用乘以样本中选择的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案
【详解】（1）解：本次被调查的学生有：（人），
扇形统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为.
（2）解：条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示．
（人）
∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人.
（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为，
答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为．
24．【正确答案】（1）且
（2）
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则．
（1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可；
（2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可．
【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
且，
解得，
的取值范围为且；
（2）解：由根与系数的关系得，，，
，
即，
解得或，
经检验，，都是原分式方程的解，
由（1）可得，且
．
25．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了切线的判定，含有角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据含有角的直角三角形的性质得出，，从而求得半径的值；根据求得即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：设，在中，，
∴，，
解得：，
∴，
在中，，
∴．
∴，
∴所求图形面积为：．
26．【正确答案】（1）旋转
（2）①四边形是矩形，理由见详解
②或
【分析】（1）由旋转的性质可得答案；
（2）①由旋转可得：，进而证明，得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形，根据，可证明四边形是矩形；
②当，三点构成以为斜边的直角三角形时，，结合题意画出图形，运用勾股定理逐一求解即可．
【详解】解：（1）解：将绕中点旋转得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形.
（2）①四边形是矩形，证明如下：
证明：由旋转可得：，
由条件可知，
当，，三点共线时，，
，
∴，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
②当，三点构成以为斜边的直角三角形时，，
如图，当为锐角时，作于，

，
四边形是矩形，
，，
，
，
；
如图，当为钝角时，作，垂足为，

同理可证四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
．
综上所述，当，三点构成以为斜边的直角三角形时，线段的长度为或．
27．【正确答案】（1）；（2）当每千克苹果降价元时，每天的收入最多，最多为元；（3）当的值为或时，老板的收入为元．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用及一元二次方程的应用，根据题意列出函数解析式，同时考查利用二次函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意，销售数量可表示为，利用收入等于每千克的售价乘以销售数量，列出函数关系式即可；
（2）根据二次函数的性质即可求解最大值；
（3）令，根据二次函数解析式建立方程求解即可．
【详解】解：（1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元，
由题意得．
（2），
∵，
∴当时，有最大值为，
∴当每千克苹果降价元时，该水果店每天的收入最多，最多为元．
（3）由题意可得：y，
整理得，
解得，，
答：当的值为或时，老板的收入为元．
28．【正确答案】（1）
（2）时，有最大值，最大值为，点的坐标为
（3）存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）抛物线经过点、，用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数解析式分别求出的长，再求出的面积，如图2（见详解），过点作轴交于点，设，则，用含的式子表示出，由此即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且,设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？